高三导数压轴题题型归纳2.doc

第一章 导数及其应用一， 导数的概念1.已知的值是（ ）a. b. 2 c. d. 2变式1：（ ）a2c3d1变式2：（ ）abcd导数各种题型方法总结请同学们高度重视：首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（0,=0,0）第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-（已知谁的范围就把谁作为主元）；（请同学们参看2010省统测2）例1：设函数在区间d上的导数为，在区间d上的导数为，若在区间d上，恒成立，则称函数在区间d上为“凸函数”，已知实数m是常数，（1）若在区间上为“凸函数”，求m的取值范围；（2）若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值.解:由函数 得 （1） 在区间上为“凸函数”，则 在区间0,3上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于 解法二：分离变量法： 当时, 恒成立,67 当时, 恒成立 等价于的最大值（）恒成立，而（）是增函数，则(2)当时在区间上都为“凸函数” 则等价于当时 恒成立 变更主元法-22 再等价于在恒成立（视为关于m的一次函数最值问题） 例2：设函数 （）求函数f（x）的单调区间和极值； （）若对任意的不等式恒成立，求a的取值范围. （二次函数区间最值的例子）解：（） 3aaa3a令得的单调递增区间为（a,3a）令得的单调递减区间为（，a）和（3a，+）当x=a时，极小值= 当x=3a时，极大值=b. （）由|a，得：对任意的恒成立则等价于这个二次函数 的对称轴 （放缩法）即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。上是增函数.于是，对任意，不等式恒成立，等价于 又点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系第三种：构造函数求最值题型特征：恒成立恒成立；从而转化为第一、二种题型例3；已知函数图象上一点处的切线斜率为，（）求的值；（）当时，求的值域；（）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。解：（）， 解得 （）由（）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减又 的值域是（）令思路1：要使恒成立，只需，即分离变量思路2：二次函数区间最值二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1：转化为在给定区间上恒成立， 回归基础题型解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集； 做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集例4：已知，函数（）如果函数是偶函数，求的极大值和极小值；（）如果函数是上的单调函数，求的取值范围解：. （） 是偶函数， . 此时， 令，解得：. 列表如下：(,2)2(2,2)2(2,+)+00+递增极大值递减极小值递增 可知：的极大值为， 的极小值为. （）函数是上的单调函数，在给定区间r上恒成立判别式法则解得：. 综上，的取值范围是. 例5、已知函数 （i）求的单调区间；（ii）若在0，1上单调递增，求a的取值范围。子集思想（i） 1、 当且仅当时取“=”号，单调递增。 2、 a-1-1单调增区间：单调增区间：（ii）当 则是上述增区间的子集：1、时，单调递增 符合题意2、， 综上，a的取值范围是0，1。 三、题型二：根的个数问题题1函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点=即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式（组）即可；例6、已知函数，且在区间上为增函数（1） 求实数的取值范围；（2） 若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围解：（1）由题意 在区间上为增函数，在区间上恒成立（分离变量法）即恒成立，又，故的取值范围为 （2）设，令得或由（1）知，当时，在r上递增，显然不合题意当时，随的变化情况如下表：极大值极小值由于，欲使与的图象有三个不同的交点，即方程有三个不同的实根，故需，即 ，解得综上，所求的取值范围为根的个数知道，部分根可求或已知。例7、已知函数（1）若是的极值点且的图像过原点，求的极值；（2）若，在（1）的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点？若存在，求出实数的取值范围；否则说明理由。高1考1资1源2网解：（1）的图像过原点，则 ，又是的极值点，则-1 （2）设函数的图像与函数的图像恒存在含的三个不同交点，等价于有含的三个根，即：整理得：即：恒有含的三个不等实根（计算难点来了：）有含的根，则必可分解为，故用添项配凑法因式分解， 十字相乘法分解：恒有含的三个不等实根等价于有两个不等于-1的不等实根。题2：切线的条数问题=以切点为未知数的方程的根的个数例7、已知函数在点处取得极小值4，使其导数的的取值范围为，求：（1）的解析式；（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围（1）由题意得：在上；在上；在上因此在处取得极小值，由联立得：， （2）设切点q， 过 令，求得：，方程有三个根。需：故：；因此所求实数的范围为：题3：已知在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数解法：根分布或判别式法例8、解：函数的定义域为（）当m4时，f (x) x3x210x，x27x10，令 ， 解得或.令 ， 解得可知函数f(x)的单调递增区间为和（5，），单调递减区间为（）x2(m3)xm6, 1要使函数yf (x)在（1，）有两个极值点,x2(m3)xm6=0的根在（1，）根分布问题：则， 解得m3例9、已知函数，（1）求的单调区间；（2）令x4f（x）（xr）有且仅有3个极值点，求a的取值范围解：（1） 当时，令解得，令解得所以的递增区间为，递减区间为.当时，同理可得的递增区间为，递减区间为.（2）有且仅有3个极值点=0有3个根，则或，方程有两个非零实根，所以或而当或时可证函数有且仅有3个极值点其它例题：1、（最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在上的函数在区间上的最大值是5，最小值是11.（）求函数的解析式；（）若时，恒成立，求实数的取值范围.解：（） 令=0,得 因为，所以可得下表：0+0-极大 因此必为最大值,因此， ， 即， （），等价于， 令，则问题就是在上恒成立时，求实数的取值范围，为此只需，即， 解得，所以所求实数的取值范围是0，1.2、（根分布与线性规划例子）（1）已知函数() 若函数在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线平行, 求的解析式；() 当在取得极大值且在取得极小值时, 设点所在平面区域为s, 经过原点的直线l将s分为面积比为1:3的两部分, 求直线l的方程.解： (). 由, 函数在时有极值 , 又 在处的切线与直线平行, 故 () 解法一: 由 及在取得极大值且在取得极小值, 即 令, 则 故点所在平面区域s为如图abc, 易得, , , , , 同时de为abc的中位线, 所求一条直线l的方程为: 另一种情况设不垂直于x轴的直线l也将s分为面积比为1:3的两部分, 设直线l方程为,它与ac,bc分别交于f、g, 则 , 由 得点f的横坐标为: 由 得点g的横坐标为: 即 解得: 或 (舍去) 故这时直线方程为: 综上,所求直线方程为: 或 .12分() 解法二: 由 及在取得极大值且在取得极小值, 即 令, 则 故点所在平面区域s为如图abc, 易得, , , , , 同时de为abc的中位线, 所求一条直线l的方程为: 另一种情况由于直线bo方程为: , 设直线bo与ac交于h , 由 得直线l与ac交点为: , , 所求直线方程为: 或 3、（根的个数问题）已知函数的图象如图所示。（）求的值；（）若函数的图象在点处的切线方程为，求函数f ( x )的解析式；（）若方程有三个不同的根，求实数a的取值范围。解：由题知：（）由图可知函数f ( x )的图像过点( 0 , 3 )，且= 0得 （）依题意= 3 且f ( 2 ) = 5 解得a = 1 , b = 6 所以f ( x ) = x3 6x2 + 9x + 3（）依题意f ( x ) = ax3 + bx2 ( 3a + 2b )x + 3 ( a0 )= 3ax2 + 2bx 3a 2b 由= 0b = 9a 若方程f ( x ) = 8a有三个不同的根，当且仅当 满足f ( 5 )8af ( 1 ) 由 得 25a + 38a7a + 3a3 所以 当a3时，方程f ( x ) = 8a有三个不同的根。 12分4、（根的个数问题）已知函数 （1）若函数在处取得极值，且，求的值及的单调区间； （2）若，讨论曲线与的交点个数 解：（1）令得令得的单调递增区间为，单调递减区间为5分（2）由题得即令令得或 当即时 此时，有一个交点；当即时， ,当即时,有一个交点；当即时，有两个交点；当时，有一个交点综上可知，当或时，有一个交点；当时，有两个交点5、（简单切线问题）已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数（） 若函数在处有极值，求的解析式；（） 若函数在区间上为增函数，且在区间上都成立，求实数的取值范围函数中任意性和存在性问题探究高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点，下面结合高考试题对此类问题进行归纳探究一、相关结论：结论1：；【如图一】结论2：；【如图二】结论3：；【如图三】结论4：；【如图四】结论5：的值域和的值域交集不为空；【如图五】【例题1】：已知两个函数;(1) 若对,都有成立，求实数的取值范围；(2) 若,使得成立，求实数的取值范围；(3) 若对,都有成立，求实数的取值范围；解：（1）设,（1）中的问题可转化为：时，恒成立，即。；当变化时，的变化情况列表如下：-3(-3,-1)-1(-1,2)2(2,3)3(x)+00+h(x)k-45增函数极大值减函数极小值增函数k-9因为,所以，由上表可知，故k-450，得k45,即k45,+).小结：对于闭区间i，不等式f(x)k对xi时恒成立f(x)maxk对xi时恒成立f(x)mink, xi. 此题常见的错误解法：由f(x)maxg(x)min解出k的取值范围.这种解法的错误在于条件“f(x)maxg(x)min”只是原题的充分不必要条件，不是充要条件，即不等价.（2）根据题意可知，（2）中的问题等价于h(x)= g(x)f(x) 0在x-3,3时有解,故h(x)max0.由（1）可知h(x)max= k+7，因此k+70，即k7,+).(3)根据题意可知，（3）中的问题等价于f(x)maxg(x)min，x-3,3.由二次函数的图像和性质可得, x-3,3时, f(x)max=120k.仿照（1），利用导数的方法可求得x-3,3时, g(x)min=21.由120k21得k141,即k141,+).说明：这里的x1,x2是两个互不影响的独立变量.从上面三个问题的解答过程可以看出,对于一个不等式一定要看清是对“x”恒成立，还是“x”使之成立，同时还要看清不等式两边是同一个变量，还是两个独立的变量,然后再根据不同的情况采取不同的等价条件,千万不要稀里糊涂的去猜.二、相关类型题：一、型；形如型不等式，是恒成立问题中最基本的类型，它的理论基础是“在上恒成立，则在xd上恒成立，则”.许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型.例1 ：已知二次函数，若时，恒有，求实数a的取值范围.解：，；即；当时，不等式显然成立，ar.当时，由得：，而.又，综上得a的范围是。 二、型例2 已知函数，若对，都有成立，则的最小值为_.解 对任意xr，不等式恒成立，分别是的最小值和最大值.对于函数，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是，即半个周期.又函数的周期为4，的最小值为2.三、.型例3： (2005湖北)在这四个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是() a.0b.1c.2d.3解：本题实质就是考察函数的凸凹性，即满足条件的函数，应是凸函数的性质，画草图即知符合题意；四、.型例4 已知函数定义域为，若，时，都有，若对所有，恒成立，求实数取值范围.解：任取，则，由已知，又，f，即在上为增函数.，恒有；要使对所有，恒成立，即要恒成立，故恒成立，令，只须且，解得或或。评注： 形如不等式或恒成立，实际上是函数的单调性的另一种表现形式，在解题时要注意此种类型不等式所蕴涵的重要信息.五、.型：例5： 已知，若当时，)恒成立，求实数t的取值范围.解：在恒成立，即在恒成立在上的最大值小于或等于零.令，即在0,1上单调递减，f(0)是最大值.，即。六、型例6：已知函数，若对任意，都有，求的范围.解：因为对任意的，都有成立，令得x3或x-1；得；在为增函数，在为减函数.，.，。七、（为常数）型；例7 ：已知函数，则对任意（）都有恒成立，当且仅当=_，=_时取等号.解：因为恒成立，由，易求得，。例8 ：已知函数满足：(1)定义域为；(2)方程至少有两个实根和；(3)过图像上任意两点的直线的斜率绝对值不大于1.(1)证明|；(2)证明：对任意，都有.证明 (1)略；(2)由条件(2)知，不妨设，由(3)知又；八、型例9： 已知函数，对于时总有成立，求实数的范围.解 由，得，当时，评注 由导数的几何意义知道，函数图像上任意两点连线的斜率的取值范围，就是曲线上任一点切线的斜率(如果有的话)的范围，利用这个结论，可以解决形如|或(m0)型的不等式恒成立问题.考前寄语：先易后难,先熟后生；一慢一快：审题要慢,做题要快；不能小题难做,小题大做,而要小题小做,小题巧做；我易人易我不大意,我难人难我不畏难；考试不怕题不会,就怕会题做不对；基础题拿满分,中档题拿足分,难题力争多得分,似曾相识题力争不失分；对数学解题有困难的考生的建议：立足中下题目,力争高上水平,有时“放弃”是一种策略.导数压轴题题型归纳1. 在解题中常用的有关结论(1)曲线在处的切线的斜率等于，且切线方程为。(2)若可导函数在 处取得极值，则。反之，不成立。(3)对于可导函数，不等式的解集决定函数的递增（减）区间。(4)函数在区间i上递增（减）的充要条件是：恒成立（ 不恒为0）.(5)函数（非常量函数）在区间i上不单调等价于在区间i上有极值，则可等价转化为方程在区间i上有实根且为非二重根。（若为二次函数且i=r，则有）。(6) 在区间i上无极值等价于在区间在上是单调函数，进而得到或在i上恒成立(7)若，恒成立，则; 若，恒成立，则(8)若，使得，则；若，使得，则.(9)设与的定义域的交集为d，若d 恒成立，则有.(10)若对、 ，恒成立，则.若对，使得,则. 若对，使得，则.（11）已知在区间上的值域为a,，在区间上值域为b，若对,，使得=成立，则。(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程有两个不等实根，且极大值大于0，极小值小于0.(13) 证题中常用的不等式: 1 xx+ 2. 题型归纳导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用例1（构造函数，最值定位）设函数(其中).() 当时,求函数的单调区间;() 当时,求函数在上的最大值.例2（分类讨论，区间划分）已知函数,为函数的导函数. (1)设函数f(x)的图象与x轴交点为a,曲线y=f(x)在a点处的切线方程是,求的值;(2)若函数,求函数的单调区间.例3（切线）设函数.（1）当时，求函数在区间上的最小值；（2） 当时，曲线在点处的切线为，与轴交于点求证：.例4（极值比较）已知函数其中当时，求曲线处的切线的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时，求函数的单调区间与极值.例5（零点存在性定理应用）已知函数若函数 (x) = f (x)，求函数 (x)的单调区间；设直线l为函数f (x)的图象上一点a(x0，f (x0)处的切线，证明：在区间(1,+)上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g(x)相切例6（最值问题，两边分求）已知函数.当时，讨论的单调性；设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.例7（二阶导转换）已知函数 若，求的极大值；若在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k的取值范围.例8（综合技巧）设函数讨论函数的单调性；若有两个极值点，记过点的直线斜率为,问：是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.交点与根的分布例9（切线交点）已知函数在点处的切线方程为求函数的解析式；若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值；若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围例10（根的个数）已知函数，函数是区间-1，1上的减函数. （i）求的最大值；（ii）若上恒成立，求t的取值范围； （）讨论关于x的方程的根的个数例11（综合应用）已知函数求f(x)在0,1上的极值；若对任意成立，求实数a的取值范围；若关于x的方程在0，1上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围.不等式证明例12(变形构造法)已知函数，a为正常数若，且a，求函数的单调增区间；在中当时，函数的图象上任意不同的两点，线段的中点为，记直线的斜率为，试证明：若，且对任意的，都有，求a的取值范围例13(高次处理证明不等式、取对数技巧)已知函数.（1）若对任意的恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，设函数，若，求证例14（绝对值处理）已知函数的图象经过坐标原点，且在处取得极大值（i）求实数的取值范围；ii）若方程恰好有两个不同的根，求的解析式；（iii）对于（ii）中的函数，对任意，求证：例15（等价变形）已知函数（）讨论函数在定义域内的极值点的个数；（）若函数在处取得极值，对,恒成立，求实数的取值范围；（）当且时，试比较的大小例16（前后问联系法证明不等式）已知，直线与函数的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1。（i）求直线的方程及m的值；（ii）若，求函数的最大值。 （iii）当时，求证：例17(整体把握，贯穿全题)已知函数（1）试判断函数的单调性； （2）设，求在上的最大值；（3）试证明：对任意，不等式都成立（其中是自然对数的底数）例18(化简为繁，统一变量)设,函数.（）若，求曲线在处的切线方程；（）若无零点,求实数的取值范围；（）若有两个相异零点,求证: .例19（导数与常见不等式综合）已知函数，其中为正常数（）求函数在上的最大值；（）设数列满足：，（1）求数列的通项公式； （2）证明：对任意的，；（）证明：例20（利用前几问结论证明立体不等式）已知函数f(x)=ex-ax(e为自然对数的底数). (i )求函数f(x)的单调区间；(ii)如果对任意，都有不等式f(x) x + x2成立，求实数a的取值范围；(iii)设,证明：+0时恒成立，求正整数k的最大值.例29（创新题型）设函数f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,f(x)=f(x)g(x).()若x=0是f(x)的极值点,求a的值；()当 a=1时,设p(x1,f(x1), q(x2, g(x 2)(x10,x20), 且pq/x轴,求p、q两点间的最短距离；()若x0时,函数y=f(x)的图象恒在y=f(x)的图象上方,求实数a的取值范围例30（创新题型）已知函数=，.()求函数在区间上的值域；（）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的 ，使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；（）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对于函数图象上的点（其中总能使得成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具备性质“”，并说明理由.例31(图像分析，综合应用) 已知函数，在区间上有最大值4，最小值1，设（）求的值；（）不等式在上恒成立，求实数的范围；（）方程有三个不同的实数解，求实数的范围导数与数列例32（创新型问题）设函数，是的一个极大值点若，求的取值范围；当是给定的实常数，设是的3个极值点，问是否存在实数，可找到，使得的某种排列（其中=）依次成等差数列?若存在，求所有的及相应的；若不存在，说明理由例33（数列求和，导数结合）给定函数(1)试求函数的单调减区间;(2)已知各项均为负的数列满足,求证:;(3)设,为数列的前项和,求证:.导数与曲线新题型例34（形数转换）已知函数, .(1)若, 函数 在其定义域是增函数,求b的取值范围;(2)在(1)的结论下,设函数的最小值;(3)设函数的图象c1与函数的图象c2交于点p、q,过线段pq的中点r作轴的垂线分别交c1、c2于点、,问是否存在点r,使c1在处的切线与c2在处的切线平行?若存在,求出r的横坐标;若不存在,请说明理由.例35（全综合应用）已知函数.(1)是否存在点,使得函数的图像上任意一点p关于点m对称的点q也在函数的图像上?若存在,求出点m的坐标;若不存在,请说明理由;(2)定义,其中,求;(3)在(2)的条件下,令,若不等式对且恒成立,求实数的取值范围.导数与三角函数综合例36（换元替代，消除三角）设函数（），其中（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，求函数的极大值和极小值；（）当， 时，若不等式对任意的恒成立,求的值。创新问题积累例37已知函数. i、求的极值. ii、求证的图象是中心对称图形.iii、设的定义域为,是否存在.当时，的取值范围是?若存在,求实数、的值；若不存在，说明理由例38已知函数在区间0,1上单调递增，在区间1,2上单调递减（1）求a的值；（2）设，若方程的解集恰好有3个元素，求的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数对，使为偶函数？如存在，求出如不存在，说明理由导数压轴题题型归纳 参考答案例1 () 当时, , 令,得, 当变化时,的变化如下表:极大极小值 右表可知,函数的递减区间为,递增区间为,. (), 令,得, 令,则,所以在上递增, 所以,从而,所以 所以当时,;当时,; 所以 令,则, 令,则 所以在上递减,而 所以存在使得,且当时, 当时, 所以在上单调递增,在上单调递减. 因为, 所以在上恒成立,当且仅当时取得“”. 综上,函数在上的最大值. 例2解:(), 在处切线方程为, , ,. (各1分) (). 当时, 0-0+极小值的单调递增区间为,单调递减区间为 当时,令,得或 ()当,即时,0-0+0-极小值极大值的单调递增区间为,单调递减区间为,; ()当,即时, 故在单调递减; ()当,即时,0-0+0-极小值极大值在上单调递增,在,上单调递减 综上所述,当时,的单调递增区间为,单调递减区间为; 当时,的单调递增区间为,单调递减区间为 当,的单调递减区间为 当时,的单调递增区间为,单调递减区间为、 例3解：(1)时，由，解得. 的变化情况如下表：01-0+0极小值0 所以当时，有最小值.(2)证明：曲线在点处的切线斜率 曲线在点p处的切线方程为. 令，得， ，即. 又， 所以.例4 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 以下分两种情况讨论：，则.当变化时，的变化情况如下表：+00+极大值极小值 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ，则，当变化时，的变化情况如下表：+00+极大值极小值 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 例5解：（） ，且，函数的单调递增区间为 （） ， 切线的方程为, 即, 设直线与曲线相切于点，,. 直线也为， 即， 由得 ， 下证：在区间（1,+）上存在且唯一.由（）可知，在区间上递增又，结合零点存在性定理，说明方程必在区间上有唯一的根，这个根就是所求的唯一，故结论成立例6，令当时，当,函数单调递减；当，函数单调递增.当时，由，即，解得.当时，恒成立，此时，函数单调递减；当时，,时，函数单调递减；时，函数单调递增；时，函数单调递减.当时，当,函数单调递减；当，函数单调递增.综上所述：当时，函数在单调递减，单调递增；当时,恒成立,此时，函数在单调递减；当时,函数在递减,递增,递减.当时，在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以对任意，有，又已知存在，使，所以，（）又当时，与（）矛盾；当时，也与（）矛盾；当时，.综上，实数的取值范围是.例7解：定义域为 令 由由即上单调递增，在上单调递减时，f(x)取得极大值 的定义域为(0，+)，由g (x)在定义域内单调递减知：在(0，+)内恒成立令，则 由当时为增函数当时，为减函数当x = e时，h(x)取最大值故只需恒成立，又当时，只有一点x = e使得不影响其单调性 例8解：的定义域为令当故上单调递增当的两根都小于0，在上，故上单调递增当的两根为，当时， ；当时，；当时，故分别在上单调递增，在上单调递减由知，若有两个极值点，则只能是情况，故因为，所以又由知，于是若存在，使得则即亦即再由知，函数在上单调递增，而，所以这与式矛盾故不存在，使得例9解：根据题意，得即解得 所以 令，即得12+增极大值减极小值增2因为，所以当时，则对于区间上任意两个自变量的值，都有，所以所以的最小值为4因为点不在曲线上，所以可设切点为则因为，所以切线的斜率为则=，即因为过点可作曲线的三条切线，所以方程有三个不同的实数解所以函数有三个不同的零点则令，则或02+增极大值减极小值增则 ，即，解得例10解：（i），上单调递减，在-1，1上恒成立，故的最大值为（ii）由题意（其中），恒成立，令，则，恒成立，（）由令当来源上为增函数；当时，为减函数；当来源:学*科*网而方程无解；当时，方程有一个根；当时，方程有两个根.例11解：，令（舍去）单调递增；当递减. 上的极大值.由得设，依题意知上恒成立， 上单增，要使不等式成立，当且仅当 由令，当上递增；上递减，而，恰有两个不同实根等价于 例12解：a，令得或,函数的单调增区间为.证明：当时, ,又不妨设 ， 要比较与的大小，即比较与的大小，又， 即比较与的大小 令,则,在上位增函数又， ，即 ， 由题意得在区间上是减函数 当， 由在恒成立设，则在上为增函数，. 当， 由在恒成立设，为增函数,综上：a的取值范围为.例13解：（1）,，即在上恒成立设,，时，单调减，单调增，所以时，有最大值.，所以.（2）当时，,所以在上是增函数，上是减函数.因为，所以即,同理.所以又因为当且仅当“”时，取等号.又，,所以,所以，所以：.例14（i）由，因为当时取得极大值，所以，所以；（ii）由下表：+0-0-递增极大值递减极小值递增 依题意得：，解得：所以函数的解析式是： （iii）对任意的实数都有在区间-2，2有：函数上的最大值与最小值的差等于81，所以例15解：（），当时，在上恒成立，函数 在 单调递减，在上没有极值点；当时，得，得，在上递减，在上递增，即在处有极小值当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点 （）函数在处取得极值， 令，可得在上递减，在上递增，即（）证明：， 令，则只要证明在上单调递增，又，显然函数在上单调递增 ，即，在上单调递增，即，当时，有 例16解：（i）的斜率为1，且与函数的图像的切点坐标为（1，0），的方程为又与函数的图象相切，有一解。由上述方程消去y，并整理得依题意，方程有两个相等的实数根，解之，得m=4或m=-2， （ii）由（i）可知，单调，当时，单减。，取最大值，其最大值为2。 （iii）证明，当时，例17解：（1）函数的定义域是由已知令，得因为当时，；当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减（2）由（1）可知当，即时，在上单调递增，所以当时，在上单调递减，所以当，即时，综上所述，（3）由（1）知当时所以在时恒有，即，当且仅当时等号成立因此对任意恒有因为，所以，即因此对任意，不等式例18解：在区间上,. （1）当时， 则切线方程为，即 （2）若,有唯一零点. 若,则,是区间上的增函数, ,函数在区间有唯一零点. 若,令得: .在区间上, ,函数是增函数;在区间上, ,函数是减函数; 故在区间上, 的极大值为. 由即,解得:.故所求实数a的取值范围是. (3) 设, 原不等式 令,则,于是. 设函数,求导得: 故函数是上的增函数, ，即不等式成立,故所证不等式成立. 例19解：（）由，可得，所以， 则在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以， （）（1）由，得，又，则数列为等比数列，且， 故为所求通项公式 （2）即证，对任意的， 证法一：（从已有性质结论出发）由（）知即有对于任意的恒成立 证法二：（作差比较法）由及即有对于任意的恒成立 （）证法一：（从已经研究出的性质出发，实现求和结构的放缩）由（）知，对于任意的都有，于是，对于任意的恒成立 特别地，令，即， 有，故原不等式成立以下证明小组讨论给分证法二：（应用柯西不等式实现结构放缩） 由柯西不等式： 其中等号当且仅当时成立令，可得则而由，所以故，所证不等式成立证法三：（应用均值不等式“算术平均数”“几何平均数”）由均值不等式：，其中可得 ， 两式相乘即得，以下同证法二证法四：（逆向分析所证不等式的结构特征，寻找证明思路）欲证，注意到，而从而所证不等式可以转化为证明在此基础上可以考虑用数学归纳法证明此命题例20解：（），当a0时，得函数f (x)在(-，+)上是增函数当a0时，若x(lna，+)，得函数在(lna，+)上是增函数；若x(-，lna)，得函数在(-，lna)上是减函数综上所述，当a0时，函数f (x)的单调递增区间是(-，+)；当a0时，函数f (x) 的单调递增区间是(lna，+)，单调递减区间是(-，lna)5分（）由题知：不等式ex-axx+x2对任意成立，即不等式对任意成立设(x2)，于是再设，得由x2，得，即在上单调递增， h(