中考重要知识点(三角形四边形二次函数).doc

三角形三角形是一种基本的几何图形，是研究其他复杂图形的基础。一、认识三角形三角形基本元素边任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边；角内角和等于180；任一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；一个外角大于与它不相邻的任一内角；外角和等于360按边分类不等边三角形等腰三角形等边三角形按角分类锐角三角形直角三角形钝角三角形边与角大边对大角；大角对大边；重要线段三角形的中线（平分边）三角形的角平分线（平分角）三角形的高（垂直于边或其延长线）三角形的中位线对称性三条中线的交点叫重心三条角平分线的交点叫内心三条高的交点叫垂心一般三角形等角对等边等腰三角形有一个内角为60 等边三角形有两个内角为60两条边相等；两个内角相等三条边相等；三个内角相等二、等腰（等边）三角形等腰三角形等边三角形定义两边相等的三角形三边相等的三角形判定1、有两边相等1、三边都相等2、等边对等角2、三角都相等3、一个角为60的等腰三角形性质1、两腰相等1、三边相等2、等边对等角2、三个角都603、“三线合一”（等腰三角形底边上的中线、高线、顶角的角平分线互相重合）3、每条边上的中线、高线、及所对角的角平分线互相重合4、轴对称图形4、轴对称图形，三条对称轴判定一个三角形为等腰三角形的基本图形角平分线+平行线 角平分线+垂线 垂直平分线 三角形中角的2倍关系 三、直角三角形边：ACB=90角：ACB=90A+B=90边与角：ACB=90且B=30 三角比有关线段：（1）CD是斜边AB上的中线，则；（2）若CH是斜边AB上的高，则：角：A=HCB、B=ACH； 线段的等积式：由面积得ACBC=ABCH；由RtACHRtCBHRtABC得：；与直角三角形有关的信息图四、全等三角形1、全等三角形判定的基本思路2、全等三角形的基本类型四边形一、多边形知识点正多边形的每个内角等于或二、一般四边形与特殊四边形的定义与相互关系三、一般四边形集合与特殊四边形集合之间的从属关系四、特殊四边形的性质图形边角对角线对称轴对称中心平行四边形对边平行且相等对角相等互相平分无对角线交点矩形对边平行且相等四个角都是直角相等且互相平分两条对角线交点菱形对边平行且四条边都相等对角相等互相垂直平分且平分一组对角两条对角线交点正方形对边平行且四边都相等四个角都是直角对角线相等且互相垂直平分，每条对角线与边的夹角为45四条对角线交点等腰梯形两底平行两腰相等同一底上的两个角相等两条对角线相等一条无直角梯形一组对边平行一腰垂直上、下两底有两个直角无无无五、特殊四边形的判定方法：平行四边形矩形菱形正方形等腰梯形边两组对边分别平行；一组对边平行且相等；两组对边分别相等+一组邻边相等；四条边相等矩形+一组邻边相等一组对边平行，另一组对边相等对角线对角线互相平分+对角线相等+对角线互相垂直对角线互相垂直平分且相等对角线相等的梯形角两组对角分别相等+一个直角；三个直角菱形+一个直角同一底上的两个角相等六、几种特殊四边形的面积图型图形计算公式平行四边形S=bh或S=absinB矩形S=ab菱形S=ah或S=（和是对角线）正方形S=一般梯形或（l是中位线的长）直角梯形七、三角形、梯形的中位线以及性质定义图形性质三角形连结三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半梯形连结梯形两腰中点的连线平行于两底边，并且等于两底和得一半三角形的中位线共有三条，三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形，每一个小三角形的面积是原三角形面积的，周长是原三角形周长的八、常见的等积图形除了梯形中给出的一组面积相等的图形以外，还有如下常见的等积图形：九、梯形常见的辅助线通过添加辅助线的方法，把梯形转化为平行四边形和三角形，用三角形和平行四边形的知识研究梯形问题，这时解决梯形问题的常用思路。二次函数基础知识 相关概念及定义 二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零二次函数的定义域是全体实数 二次函数的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项 二次函数各种形式之间的变换 二次函数用配方法可化成：的形式，其中. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：；. 二次函数解析式的表示方法 一般式：（，为常数，）； 顶点式：（，为常数，）； 两根式：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化. 二次函数的性质的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值 二次函数的性质的符号开口方向顶点坐标对称轴性质性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值 二次函数的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值 二次函数的性质的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. 的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. 对称轴：平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线. 顶点坐标坐标： 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 抛物线中，与函数图像的关系 二次项系数二次函数中，作为二次项系数，显然 当时，抛物线开口向上，越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； 当时，抛物线开口向下，越小，开口越小，反之的值越大，开口越大总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小 一次项系数 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴 在的前提下，当时，即抛物线的对称轴在轴左侧；当时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的右侧 在的前提下，结论刚好与上述相反，即当时，即抛物线的对称轴在轴右侧；当时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的左侧总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置总结： 常数项 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的 求抛物线的顶点、对称轴的方法 公式法：，顶点是，对称轴是直线. 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线. 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 用待定系数法求二次函数的解析式 一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式. 顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：. 直线与抛物线的交点 轴与抛物线得交点为(0, ). 与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,). 抛物线与轴的交点:二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 有两个交点抛物线与轴相交； 有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切； 没有交点抛物线与轴相离. 平行于轴的直线与抛物线的交点 可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根. 一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时与有两个交点; 方程组只有一组解时与只有一个交点；方程组无解时与没有交点. 抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故 二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是； 关于原点对称后，得到的解析式是； 关于顶点对称 关于顶点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是 关于点对称 关于点对称后，得到的解析式是 总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式 二次函数图象的平移 平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减” 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。 三点式。1，已知抛物线y=ax2+bx+c 经过A（，0），B（，0），C（0，-3）三点，求抛物线的解析式。2，已知抛物线y=a(x-1)+4 ， 经过点A（2，3），求抛物线的解析式。 顶点式。1，已知抛物线y=x2-2ax+a2+b 顶点为A（2，1），求抛物线的解析式。2，已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。 交点式。1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。2，已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=a(x-2a)(x-b)的解析式。 定点式。1，在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线经过x 轴上一定点Q，直线经过点Q,求抛物线的解析式。2，抛物线y= x2 +(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。3，抛物线y=ax2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。 平移式。1， 把抛物线y= -2x2 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式。2， 抛物线向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式. 距离式。1，抛物线y=ax2+4ax+1(a0)与x轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。2，已知抛物线y=m x2+3mx-4m(m0)与 x轴交于A、B两点，与 轴交于C点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。 对称轴式。1、抛物线y=x2-2x+(m2-4m+4)与x轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距离的2倍，求抛物线的解析式。2、 已知抛物线y=-x2+ax+4, 交x轴于A,B（点A在点B左边）两点，交 y轴于点C,且OB-OA=OC，求此抛物线的解析式。 对称式。1， 平行四边形ABCD对角线AC在x轴上，且A（-10，0），AC=16，D（2，6）。AD交y 轴于E，将三角形ABC沿x 轴折叠，点B到B1的位置，求经过A,B,E三点的抛物线的解析式。2， 求与抛物线y=x2+4x+3关于y轴（或x轴）对称的抛物线的解析式。 切点式。1，已知直线y=ax-a2(a0) 与抛物线y=mx2 有唯一公共点，求抛物线的解析式。2， 直线y=x+a 与抛物线y=ax2 +k 的唯一公共点A（2，1）,求抛物线的解析式。 判别式式。1、已知关于X的一元二次方程（m+1）x2+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线y=-x2+(m+1)x+3解析式。2、 已知抛物线y=(a+2)x2-(a+1)x+2a的顶点在x轴上,求抛物线的解析式。3、已知抛物线y=(m+1)x2+(m+2)x+1与x轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。知识点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果特，特别注意a不为零那么y叫做x 的二次函数。叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。知识点二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：口诀- 一般 两根 三顶点（1）一般 一般式：（2）两根 当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。a 的绝对值越大，抛物线的开口越小,a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.（3）三顶点 顶点式：知识点三、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，当时，。、几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下（轴）（0,0）（轴）(0, )(,0)(,)()知识点四、二次函数的性质 1、二次函数的性质函数二次函数图像a0a0 y 0 x y 0 x 性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当x=时，y有最小值，（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当x=时，y有最大值，2、二次函数中，的含义：表示开口方向：0时，抛物线开口向上 0时，图像与x轴有两个交点；当=0时，图像与x轴有一个交点；当0时，图像与x轴没有交点。知识点五 中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） y如图：点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2）则AB间的距离，即线段AB的长度为 A 0 x B知识点六 二次函数图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.、已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A、B、C、D、函数在同一坐标系中的图象可能是（）xyOxyOxyOxyOA B C D 特别记忆-同左上加 异右下减 (必须理解记忆)说明 函数中ab值同号，图像顶点在y轴左侧同左，a b值异号，图像顶点必在Y轴右侧异右向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减3、 直线斜率： b为直线在y轴上的截距4、直线方程：4、 两点 由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式: 此公式有多种变形 牢记 点斜 斜截 直线的斜截式方程，简称斜截式: ykxb(k0)截距 由直线在轴和轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：牢记 口诀 -两点斜截距-两点 点斜 斜截 截距5