江苏省梁丰高级中学2010-2011学年度第二学期期中考试高二数学(理)试题.doc

江苏省梁丰高级中学2010-2011学年度第二学期期中考试高二数学(理)1若 （其中为虚数单位），则的值是 2.已知向量，若，则实数的值为 3.命题“若一个数的平方是正数，则它是负数”的逆命题是 .4.二项式的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为 5.已知一个三棱锥的所有棱长均相等，且表面积为，则其体积为 .6. 把分别写有“灰”、“太”、“狼”的三张卡片随意排成一排，则能使卡片排成的顺序从左向右或从右向左都可以念为“灰太狼”的概率是 .（用分数表示）7现有一个关于平面图形的命题：同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 .8由数字组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是 .9在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为，若渐近线恰好是曲线在原点处的切线，则双曲线的标准方程为 10给出下列四个命题，其中真命题的序号为 “直线直线”的必要不充分条件是“平行于所在的平面”；“直线平面”的充要条件是“垂直于平面内的无数条直线”；“平面平面”是“内有无数条直线平行于平面”的充分不必要条件；“平面平面”的充分条件是“有一条与平行的直线垂直于”11在平面直角坐标系中，若与点的距离为且与点的距离为的直线恰有两条，则实数的取值范围为 12已知,且,则 .13已知椭圆的左焦点，为坐标原点，点在椭圆上，点在椭圆的右准线上，若与不共线），则椭圆的离心率为 .14若函数的定义域与值域均为，则的取值范围是 .二、解答题：（本大题共6道题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15（本题满分14分）一袋子中装着标有数字的小球各个，共个球，现从袋子中任取个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的个小球的数字之和求：（1）求取出的个小球上的数字互不相同的概率；（2）求随机变量的概率分布及数学期望（其中）16.（本题满分14分）如图，在直三棱柱中，为的中点.（1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 17.（本题满分14分）已知数列的前项和为，通项公式为，.（1）计算的值；（2）比较与的大小，并用数学归纳法证明你的结论.18. （本题满分16分）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，且为的中点CDABSP（1）求异面直线与平面所成角的正弦值； （2）求二面角的余弦值19. （本题满分16分）已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，短轴两个端点为、，且四边形是边长为2的正方形（1）求椭圆的方程； （2）若、分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连结，交椭圆于点证明：为定值；（3）在（2）的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点Q，使得以为直径的圆恒过直线的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由20（本题满分16分）已知函数，且）（1）讨论函数的单调性；（2）若，关于的方程有唯一解，求的值；（3）当时，证明: 对一切，都有成立江苏省梁丰高级中学2010-2011学年度第二学期期中考试高二数学(理)参考答案1；2. ；3.若一个数是负数，则它的平方是正数；4.；5.；6；7；860；9 ；10；11 ；12 ；13；设右焦点为，.14 ；15（1）记“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件”为， 1分则 3分所以取出的3个小球上的数字互不相同的概率为 4分（2）由题意可能的取值为4，5，6，7，8， 5分， 6分 ， 7分， 8分， 9分. 10分所以随机变量的概率分布为4567812分. 14分16.（1）设，连结.由于点是的中点，又为的中点，所以4分而平面，平面，所以平面7分 （2）因为，所以是正方形，则， 9分 又,且平面,，所以平面12分而平面，所以平面平面14分17.（1）由已知，； 3分（2）由（1）知；当时， 6分下面用数学归纳法证明：当时，（）由（1）当时，；7分（）假设时，即， 8分那么 10分，所以当时，也成立 12分由（1）和（2）知，当时， 13分所以当，和时，；当时，14分18.因为底面，底面是矩形，所以两两垂直， 以所在直线为坐标原点建立如图所示的坐标系，1分则各点坐标如下：2分（1），4分 设平面的一个法向量为， 由可得， 平面的一个法向量为，7分 所以，8分 则直线与平面所成角的正弦值等于为；9分 （2），11分 设平面的一个法向量为， 由可得， 平面的一个法向量为，14分 由（1）可知，平面的一个法向量为， 所以，15分 由图可知，二面角为锐二面角，因此二面角的余弦值为 16分19（1）如图，由题意得，.，. 所求的椭圆方程为. 4分（2）由（1）知，（，0），（2，0）. 5分由题意可设：，（，）. ，（2，）. 6分 由 整理得:. ， . 8分 ，. 9分 . 10分 即为定值.（3）设，则.若以为直径的圆恒过，的交点，则，恒成立. 11分由（2）可知，. 13分，即恒成立. 存在使得以为直径的圆恒过直线，的交点. 16分16（1）由已知得x0且当k是奇数时，则f(x)在(0,+)上是增函数; 2分当k是偶数时，则. 4分所以当x时，当x时，. 故当k是偶数时，f (x)在上是减函数，在上是增函数5分（2）若，则.记g (x) = f (x) 2ax = x 2 2 a xlnx 2ax, ,若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解； 6分令,得.因为，所以（舍去），. 7分当时，在是单调递减函数；当时，在上是单调递增函数当x=x2时, ，. 8分因为有唯一解，所以.则 即 9分两式相减得因为a0，所以.10分设函数，因为在x0时，h (x)是增函数，所以h (