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现代控制理论讲义 第五章 状态反馈控制器设计Chapter5 状态反馈控制器设计 控制方式有“开环控制”和“闭环控制”。“开环控制”就是把一个确定的信号（时间的函数）加到系统输入端，使系统具有某种期望的性能。然而，由于建模中的不确定性或误差、系统运行过程中的扰动等因素使系统产生一些意想不到的情况，这就要求对这些偏差进行及时修正，这就是“反馈控制”。在经典控制理论中，我们依据描述控制对象输入输出行为的传递函数模型来设计控制器，因此只能用系统输出作为反馈信号，而在现代控制理论中，则主要通过更为广泛的状态反馈对系统进行综合。 通过状态反馈来改变和控制系统的极点位置可使闭环系统具有所期望的动态特性。利用状态反馈构成的调节器，可以实现各种目的，使闭环系统满足设计要求。参见例5.3.3，通过状态反馈的极点配置，使闭环系统的超调量，峰值时间（超调时间），阻尼振荡频率。5.1 线性反馈控制系统的结构与性质 设系统为 （5-1）图5-1 经典控制-输出反馈闭环系统 经典控制中采用输出(和输出导数)反馈（图5-1）：其控制规律为： 为标量，为参考输入 （5-2） 可见，在经典控制中，通过适当选择，可以利用输出反馈改善系统的动态性能。现代控制中采用状态反馈（图5-2）： 其控制规律为： ， （5-3）（的行=的行，的列=的行）称为状态反馈增益矩阵。状态反馈后的闭环系统的状态空间表达式为 （5-4） 式中： 图5-2 现代控制-状态反馈闭环系统若，“状态反馈”退化成“输出反馈”，表明“输出反馈”只是“状态反馈”的一种特例，因此，在经典控制理论中的“输出反馈”（比例控制P）和“输出导数反馈”（微分控制D）能实现的任务，状态反馈必能实现，反之则未必。定理5-1（定理5.1.1） 若阶系统是状态完全能控的，则经过状态反馈后的闭环系统仍然是状态完全能控的。即状态反馈不改变系统的能控性。但状态反馈不一定能保持原系统的能观性。证明 对系统（5-1）的任意能控状态，根据能控性定义，在时间内，存在一个控制作用，使得在该控制作用下。对（5-1）加了状态反馈控制律后，需要证明仍然是闭环系统（5-3）的能控状态。事实上，在时间段上，取 （5-5）则由于 所以，也是闭环系统（5-3）的能控状态。由于的任意性，定理得证。例5-1原系统为，状态反馈矩阵为 ，讨论系统经状态反馈前后的能控性和能观性。解：原系统能控且能观；经状态反馈后，系统经状态反馈后能控性不变；但，系统经状态反馈后不能保持原系统的能观性（状态反馈有可能改变输出端）。定理5-2（定理5.1.2）“输出反馈”不改变系统的能控性和能观性（证明略）。定理5-3（定理5.1.3）对能控的单输入、单输出系统，“状态反馈”只改变传递函数的分母多项式的系数，而不能移动系统的零点。证明：系统传递函数为 ，由于系统的能控性，状态空间模型必能通过非奇异变换得到（等价于）能控标准型，由关系式 由上式整理可得 由于等价的状态空间模型具有相同的传递函数，所以（1）采用状态反馈后，同理可得闭环系统的传递函数 （2）其中 。由（1）、（2）可知，状态反馈只改变系统的极点多项式（只改变传递函数的分母多项式的系数），而不会改变分子多项式的系数。此时，只要不发生零极点相消的现象，状态反馈就不能改变零点。证毕。5.2 稳定化状态反馈控制器的设计 本节的目的就是要寻找“反馈控制器”或者说求出“控制律”，使系统稳定以及使系统的性能满足设计要求。稳定是一个系统正常运行的首要条件。若一个系统不稳定，则必须运用外部控制设法让其稳定。如何确定增益矩阵，使下面闭环系统是渐近稳定的？ （5-6） 根据Lyapunov稳定性定理，系统（5-6）渐进稳定的充要条件是存在一个二次型的Lyapunov函数，其中是待定的对称正定矩阵。可以通过使标量函数的时间导数是负定的来确定和。5.2.1 Riccati矩阵方程处理方法这种方法可用来处理非线性系统、时滞系统等各类系统的镇定问题，也可用于鲁棒控制器的设计。（鲁棒是Robust的音译，也就是健壮和强壮的意思。鲁棒性（robustness）就是系统的健壮性。它是在异常和危险情况下系统生存的关键。比如说，计算机软件在输入错误、磁盘故障、网络过载或有意攻击情况下，能否不死机、不崩溃，就是该软件的鲁棒性。所谓“鲁棒性”，是指控制系统在一定（结构，大小）的参数摄动下，维持某些性能的特性。根据对性能的不同定义，可分为稳定鲁棒性和性能鲁棒性。以闭环系统的鲁棒性作为目标设计得到的固定控制器称为鲁棒控制器）对标量函数求时间导数，并利用状态方程得： （5-7）应用可知，后面两项“标量”相等 （5-8）于是 （5-9）若选取控制律具有以下结构形式 （5-10） （5-11）进一步，选取矩阵使其满足Riccati（里卡提）矩阵方程 （5-12）则，满足渐进稳定的充要条件。从（5-12）解出正定对称矩阵，代入（5-10）就可得到控制规律。这种基于Riccati矩阵方程（5-12）的稳定化控制器设计方法称为Riccati方程处理方法。若对给定的，Riccati方程有一个正定对称解矩阵，则对任意的， 因此，对任意，都是系统的稳定化控制律。这表明稳定化控制律具有正无穷大的稳定增益裕度，这在实际应用中是非常有用的，操作人员可以根据实际情况，在不破坏系统稳定性的前提下，调节控制器的增益参数，使系统满足其他性能要求。例5-2（例题5.2.1）对（例4.4.3）的双积分系统设计稳定化状态反馈控制器。解：已经讨论，系统不是一个渐近稳定的，取，Riccati方程为 ，可以求得： ，所以，是正定的，因此，对任意的 都是所考虑系统的稳定化状态反馈控制器（取画图）。5.2.2 线性矩阵不等式处理方法 根据线性时不变系统稳定性定理，闭环系统渐近稳定的充要条件是存在一个正定对称矩阵，使得 （5-13）求解上述和耦合的非线性矩阵方程十分困难，为此，先将上式写开成两边左、右对称矩阵 记 （5-14） （5-15）不等式（5-15）是一个关于矩阵变量的线性矩阵不等式。 如果能从（5-15）确定（正定对称矩阵），则是系统（5-1）的一个稳定化状态反馈增益矩阵，是相应闭环系统的一个Lyapunov矩阵。例5-3（例5.2.2，略）5.3 极点配置 在实际控制系统设计中，不仅要保证系统是稳定的，而且还要使系统具有某些我们所希望的动态性能。特别地，希望选择合适的矩阵，使得加入负反馈后的闭环系统的极点（特征值）位于复平面上预先给定的位置，这样就能保证系统具有我们指定的动态响应特性，这样的方法称为“极点配置”。 对给定系统，要解决其极点配置问题，需要回答两个问题：（1） 对什么样的系统，极点配置问题可解，即使得闭环系统具有给定极点的状态反馈控制器存在性；（2） 如何设计使闭环系统具有给定极点的状态反馈控制器。定理5-4系统存在状态反馈增益矩阵，使相应的闭环系统的极点可以任意配置的充要条件是系统是状态完全能控。证明：必要性。假设被控对象不是完全能控的，即有一部分能控，有一部分不能控，则一定存在某个非奇异矩阵使，使变换后得到等价系统。，；比较得到变换后的等价系统： （5-16） （5-17）是能控子系统的能控对，是不能控子系统部分。所以 这表明，非奇异变换不改变系统的特征值。进一步 （5-18）结论（5-18）表明：状态反馈的能控分量只能通过输入矩阵的能控部分来改变被控对象的能控子系统的极点，而不能改变不能控子系统的极点。因此系统（完全）能控是能够任意配置（改变）极点的必要条件。状态反馈的不能控分量对“极点配置”没有贡献。充分性。如果完全能控，就能保证通过改变状态反馈增益，使的极点任意配置。推论5-1当系统不是完全能控时，通过状态反馈使其闭环系统稳定的充要条件是系统的不能控极点都具有负实部（称为能稳定或能镇定的Stabilizable）。能控稳定最好的，也可以通过极点配置改造成更稳定不稳定可以通过极点配置改造不能控稳定能镇定的，虽不能通过极点配置改造，但也无妨不稳定最糟糕！不稳定，还不能通过极点配置改造5.3.1 能控标准形的极点配置 设被控对象为能控标准形，。原系统的特征多项式为 希望状态反馈后，闭环系统为特征值集合的特征多项式 比较两边系数可得： （5-19）例5-4（例5.3.1）2阶单输入线性定常系统为，求状态反馈控制器，使闭环系统极点为。解：利用系统特征多项式和希望的特征多项式相等的充要条件，使两多项式同次幂的系数相等，可以直接解出增益矩阵，称为直接法。本题采用直接设计方法，设，代入系统方程得，希望状态反馈后的闭环系统特征多项式为，比较可得：，所求的状态反馈为例5-4图 闭环控制系统的状态变量图结构图对于一般状态方程，如果他是能控的，即总是存在线性变换，将状态方程等价的变换成能控标准型。 ,，因此，对于一般状态方程，只要他是能控的，就可以进行任意极点配置。而直接配置方法适用于一般状态方程。5.3.2 极点配置设计状态反馈控制器的算法 单输入系统的极点配置主要采用变换法和直接法：通过能控标准型（非能控标准型可以通过非奇异变换变成能控标准型）的设计方法称为变换法；利用系统特征多项式和希望的特征多项式相等的充要条件，使两多项式同次幂的系数相等，可以直接解出增益矩阵，称为直接法。例5-5（例5.3.2）被控对象的传递函数为，设计一个状态反馈控制器，使闭环系统的极点为。解：为了使设计的状态反馈控制器便于实施，描述被控对象的状态空间模型应当尽可能地选择那些易于直接测量的信号作为状态变量。将传递函数做一下串联分解，将串联子系统的输出选为状态变量，显然，这样的状态变量容易直接测量。 由此得到状态空间模型为 ，显然，这是一个“非能控标准型”的状态空间模型。可以通过“变换法”将其变换成“能控标准型”。（1）变换法 首先确定非奇异变换，将串联分解实现变换为能控标准型。原系统的能控性矩阵为：由图我们得到 因此，能控标准型为，根据定理3.1.4，状态变换矩阵为 ， 可以验证： 由于所希望的 要设计的状态反馈控制器增益为（为能控标准型的配置） 即 （2）直接法 设 其闭环系统状态矩阵为 比较可知 即 工程实践中，系统的动态特性往往以时域指标给出，比如要求超调量小于等于多少，超调时间不超过多少，阻尼振荡频率不大于多少等。例5-6（例5.3.3）如图被控系统，设计状态反馈控制器，使得闭环系统是渐近稳定的，而且闭环系统的：超调量，峰值时间（超调时间），阻尼振荡频率。解：由系统结构图，可以得到被控系统的一个状态空间模型。容易检验该系统是能控的，因此，可以通过状态反馈来实现闭环系统的任意极点配置。本题无开环零点，闭环系统的动态性能完全由闭环极点所决定。由于所考虑的系统为3阶系统，故有3个闭环极点。期望的3个极点可以这样安排：一个极点远离虚轴，对闭环系统性能影响极小，于是可将系统近似成只有一对主导极点为的2阶系统。-2阶系统的阻尼比；-2阶系统无阻尼自振频率。由关系式：，当，时，满足上述条件。经配置后（上式取等号）闭环系统的主导极点为：此时，取另一“远离虚轴”极点为故希望的闭环特征多项式有两种方法配置：（1）把它转换成能控标准型进行配置（书上）因为传递函数为，可直接写出能控标准型。（2）直接配置 设反馈增益为所求的状态反馈为 例5-7（例5.3.4）倒立摆系统的线性化状态空间模型（对应）为 ，其中 是系统的状态向量，是摆杆的角位移，是小车的位移，是作用在小车上的力。设计一个状态反馈控制器，使系统的闭环极点是解：开环系统的特征多项式为 ，对应极点 因此，开环系统是不稳定的，这和直观感受到的现象是一致的。以初始状态的开环系统状态变量（左上，小车位移），（右上，小车速度），（左下，摆杆角位移），（右下，摆杆角速度）轨迹图进一步验证了这一事实，它们都远离原点，都是不稳定的。但倒立摆系统是能控的，因此可以进行极点配置，以保证闭环系统是渐近稳定的。用直接法求得 闭环系统为 再在闭环系统中考察初始状态的响应，编制和执行以下m-文件（参见），可得5.3.3 Ackermann公式Ackermann公式给出了极点配置的解析表达式，特别适合于编程计算。假设系统是状态完全能控的，给定的期望闭环极点为，线性状态反馈控制器为，得到闭环系统状态方程为 （5-20）则极点配置要求满足 （5-21）根据凯莱-哈米尔顿定理，应满足其自身的特征方程，即 （5-22）为简化推导，以为例，可以方便地推广到任意阶的单输入系统考虑恒等式 将上述等式分别并相加得即 应用（5-22） （5-23）由于系统完全能控，能控性矩阵可逆，故 两边左乘，（最后一行的“提取”向量）可得 （5-24）显然，此结果推广到阶单输入系统。 （5-25）式中： （5-25）称为Ackermann公式。5.3.4 应用Matlab求解极点配置 Matlab提供了两个函数acker和place来确定极点配置的增益矩阵。函数acker就是基于Ackermann公式，他只能应用到单输入系统，要配置的闭环极点中可以包括多重极点。如果系统有多个输入，则满足条件的不唯一，从而有更多的自由度去选择，如何利用这些自由度，使得系统具有给定的极点外，还具有一些其他附加功能，就是“多目标控制”。一种方法就是在使得闭环系统具有给定极点的同时，闭环系统的稳定裕度最大化，称为“鲁棒”极点配置法，Matlab函数place就是基于“鲁棒”极点配置法设计的。尽管函数place适用于多输入系统，但它要求在期望闭环极点中的相同极点个数不超过输入矩阵的秩。特别地，对单输入系统，函数place要求闭环极点均不相同。对单输入系统，函数acker和place给定的增益矩阵相同。如果一个单输入系统接近于不能控，即其能控性矩阵的行列式接近于零，则应用acker函数可能会出现计算上的问题，这种情况下，函数place可能是更合适的，但必须限制所期望的闭环极点均不相同。函数acker和place的一般形式为 （5-26） （5-27）是由个期望的闭环极点构成的向量。得到反馈增益后，可以用命令来检验闭环极点。例5-8（例5.3.6）线性化状态空间为设计一个状态反馈控制器，使系统的闭环极点是，进而对给定的初态，画出闭环系统的状态响应曲线。解：执行以下应用acker函数编制的m-文件可得 若执行以下应用place函数编制的m-文件则可得 对给定的初态，应用函数画出闭环系统的状态响应曲线，执行以下m-文件 % 输入A矩阵 % 输入B矩阵 % 输入期望特征值J向量；% 时间t从04（秒）间隔0.01秒取值； % 题头打印Response to Initiai Condition (对初条件的响应) % y轴打印x1 % y轴打印x2 % x轴打印t(sec) % y轴打印x3可得如图所示响应曲线。5.4 跟踪控制器设计例5-9（例5.4.1）被控对象为设计状态反馈控制器使系统的闭环极点是，讨论闭环系统的稳态性能。解：被控对象为能控标准型，系统能控，特征多项式为 （1）于是系统开环传递函数为（分母为特征多项式，分子为，而） （2）期望的闭环特征多项式为 （3）所要设计的状态反馈增益矩阵为 （4）所以，相应闭环系统状态矩阵为 （5）对应闭环传递函数为（分母为期望的闭环特征多项式，分子为，而） （6）考察参考输入为单位阶跃函数，系统的稳态输出为例5-9图2 闭环系统单位阶跃响应（有静差）例5-9图1 开环系统单位阶跃响应（无静差）（）由（2）开环系统输出稳态值为 ，说明开环系统无静差（参见例5-9图1）。而由（6）闭环系统输出稳态值为 ，闭环系统产生了静态绝对误差，相对误差15%。（参见例5-9图2）。 结果表明，极点配置尽管改善了闭环系统的动态特性，却使稳态性能变差了。此外实际系统还不可避免的存在随机扰动（只知道其均值、方差等统计特性）和确定性扰动（具有确定的函数形式）。实际中，许多系统都存在确定性扰动，如阵风对雷达天线的扰动，海浪对船体纵摇或横摇的扰动，飞行体在大气中受到气浪的扰动等，确定扰动的函数形式如冲击函数、阶跃函数、斜坡函数、正弦函数等。此处只讨论确定性扰动。在诸如数控机床、导弹控制等实际控制中，常常要求闭环系统的输出以给定精度跟踪参考输入信号，实现精确的跟踪控制。 以下针对外部阶跃扰动的线性时不变系统，提出一种能实现“无静差”跟踪参考输入信号的渐近跟踪调节器设计方法。考虑以下状态空间模型描述的维输入、维输出 是维扰动输入 （5-28） 假定系统的参考输入是阶跃输入，阶跃扰动为，控制的目的是在存在阶跃扰动的情况下，仍希望闭环系统的输出能很好地跟踪参考输入。为此，定义偏差向量 （5-29）引入偏差向量的积分 （5-30） （5-31）在状态方程中，将积分器的输出选择为状态向量的分量，按此，也可以将选为状态向量的分量，于是，综合（5-28）、（5-31）可得“增广系统”方程为 （5-32）新的状态向量是维的。对系统（5-32），若能设计一个状态反馈控制器 （5-33）使增广的闭环系统（5-33）代入（5-32） （5-34）是渐近稳定的，此时，矩阵是非奇异的，可逆的。对（5-34）两边取变换，得到 （5-35）由终