第10章应力状态与强度理论及其工程应用.doc

第10章 应力状态与强度理论及其工程应用10.1 概述10.1.1 应力状态的基本概念轴向拉伸或压缩杆： 横截面 横截面面积斜截面 即用不同方位的截面截取，任意点的应力是不同的。受扭圆轴： 横截面 斜截面 即，点的应力大小和方向随截面的方位不同而不同。 应力状态：构件受力后，通过一个点的所有截面上的应力情况的总体，称为该点的应力状态。对于受力构件有必要研究其一点的应力状态。研究应力状态的目的：找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建立适当的强度条件。10.1.2 应力状态分析的基本方法 研究一点的应力状态时，往往围绕所考察的点取一微小正六面体-单元体。单元体：微小的立方体，为无限小，其侧面上的应力可看作是均匀分布的，立方体的两相对侧面的应力可看成是大小相等，方向相反。 在单元体各面上标上应力应力单元体。 根据一点的应力状态中各应力在空间的不同位置，可以将空间应力状态：所有面上均有应力作用的应力状态。平面应力状态：所有应力作用线都处于同一平面内的应力状态（有一对面上总是没有应力）。 单向应力状态：只受一个方向的正应力作用的应力状态。纯剪切应力状态：只受剪应力作用的应力状态。 对于平面应力状态，由于单元体有一对面上没有应力作用，所以三维单元体可以用一平面微元表示。 10.2 平面应力状态分析-任意方向面上应力的确定10.2.1 方向角与应力分量的正负号约定 设从某受力构件上某点处取一单元体，放在坐标系里。该单元体上作用有正应力、，剪应力、。第一个脚标表示应力作用面的法线与轴同向，第二个脚标则表示应力的方向。把单元体向平面投影将空间问题简化为平面问题。 假想用一个与平面成角的斜平面去切割单元体，取脱离体。：斜面上的正应力。：斜面上的剪应力。：斜面的外法线。斜面的切线。 任意方向面正应力、剪应力的符号约定： 角-从正方向逆时针转至正方向者为正，反之为负。正应力-拉为正，压为负。剪应力-使微元或其局部产生顺时针方向转动趋势者为正，反之为负。图中、均为正，为负。10.2.2 平面应力状态分析-解析法 若已知脱离体在应力、和、，以及未知应力、的作用下处于平衡。根据平衡条件 利用三角倍角公式，可得平面应力状态中任意方向面上应力的计算公式【例1】 图示一平面应力情况，试求与轴成角的斜面上的应力。单位： 解：由图可知，代入公式，有得负值，说明它与图中所设方向相反，即为压应力。为正值说明它与图中所设方向相同，为正剪应力。【例2】图示一矩形截面简支梁，在跨中有集中力作用。已知:，求离左支座处截面上点在斜截面上的应力。解：1.先求离左端处的剪力和弯矩。 2.求点所在横截面上的应力。 3.应用公式求斜面上的应力。 ，两个应力均是负值，说明正应力是压应力，剪应力的方向对单元体是逆时针转向的。例题10-1 分析轴向拉伸杆的最大剪应力的作用面，说明低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。解：杆承受轴向拉伸时， 其上任意一点均为单向应力状态。即，。根据上公式，任意斜截面上的正应力和剪应力分别为当时，斜截面上的正应力和剪应力为 由此可知，在所有的方向面中，斜截面上的正应力不是最大值，但剪应力却是最大。即最大剪应力发生在与轴线成倾角的斜截面上，这正是低碳钢试样拉伸至屈服时表面出现滑移线的方向。因此，可以认为屈服是由最大剪应力引起的。例题10-2 分析圆轴扭转时最大拉应力的作用面，说明铸铁圆试样扭转破坏的主要原因。解：圆轴扭转时，其上任一点的 应力状态为纯剪切应力状态，即，代入单元体任意斜截面应力公式可得当时 斜截面上只有正应力没有剪应力。时，压应力最大；时拉应力最大。铸铁试样扭转试验时，正是沿着最大拉应力作用面（螺旋面）断开的。因此。可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起的。10.3 应力状态中的主应力与最大剪应力10.3.1 主平面、主应力与主方向 1、主平面、主应力与主方向 构件受力时，过一点总可以找到一个各个面上只有正应力，没有剪应力的单元体。 主平面：剪应力为零的平面为主平面。主应力：主平面上的正应力。主方向：主平面法线方向即正应力作用线方向，主方向用方向角表示。过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力，三个主应力用、表示。 主应力排列规定：按代数值由大到小。 2、点的应力状态按主应力分类三向应力状态：0 ，0 ，0 。二（双）向应力状态：有一个主应力等于零 0。 对于二向应力状态，可以证明，主应力是所有垂直于坐标平面的方向面上正应力的极大值或极小值。单向应力状态：0 ，0 。 单向应力状态又称为简单应力状态，而三向、二向应力状态则称为复杂应力状态。10.3.2 平面应力状态的三个主应力斜截面上的应力令 ， ：主应力的作用线与轴正方向的夹角。由该式可求得相差的两个角度，从而确定两个相互垂直的主平面，其中一个是最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在平面。将求得的代回上公式，可得到平面应力状态的两个主应力对于平面应力状态，平行于坐标平面的那一对平面上既没有正应力，也没有剪应力，该平面也是主平面。这一主平面上的主应力等于零。讨论：1、的判定规则 （在范围内取值） 若，则； 若，则； 若，则。求得后，2、将 与 比较，当时，这表明在正应力达到极值的面上，剪应力必等于零。 所以和就是主应力，即若，则，；若，则，3、若将与相加可得 即：对于同一个点所截取的不同方位的单元体，其相互垂直面上的正应力之和是一个不变量。此关系可用来校核计算结果。10.3.3 面内最大剪应力与一点的最大剪应力令 ：剪应力极值的作用面法线与轴正方向的夹角。由上式可求得相差的两个角度，从而确定两个相互垂直的平面，其中一个是最大剪应力作用的平面，另一个是最小剪应力作用平面。剪应力的极值也称为主剪应力。将代回上式，可得根号前取“+”时为，取“-”时为。讨论：1、和的判定 上式表明主剪应力的作用面与主应力作用面的夹角为。2、若将最大和最小正应力相减，并除以2，可得即，最大剪应力等于两个主应力的一半。3、以上剪应力极值仅是对垂直于坐标面的方向面而言，因而称为面内最大剪应力和面内最小剪应力。【例3】 如图所示单元体，求斜面的应力及主应力、主平面。解：1、求斜面的应力 2、求主应力、主平面 主平面位置： 【例4】 图示一单元体。试求和的值；正应力作用面的方位角；和的值。 解：根据主应力计算公式最大、最小正应力校核：，无误。确定主应力作用面的方位角由 有 ，根据判别规则 ，如图。根据公式求最大、最小剪应力值校核：无误。 由此可见，主剪应力作用面上正应力并不等于零。例题10-3 薄壁圆管受扭转和拉伸同时作用，如图所示。已知圆管的平均直径，壁厚。外加力偶的力偶矩，轴向载荷。薄壁管截面的扭转截面系数可近似取为。试求：1.圆管表面上过点与圆管母线夹角为的斜截面上的应力；2. 点主应力和最大剪应力。解:1.取微元，确定微元各个面上的应力 围绕点用横截面、纵截面截取一单元体，其受力图如图所示。拉伸时横截面上的正应力扭转时横截面上的剪应力2.求斜截面上的应力，3.确定主应力与最大剪应力 10.4 分析应力状态的应力圆方法10.4.1 应力圆方程单元体任意方向面上的应力公式 是两个以为参变量的方程，从两方程中消去可得这是一个以为横坐标，以为纵坐标的圆方程，圆心在横坐标轴上，其坐标为，半径为。该圆称为应力圆又称为莫尔圆。10.4.2 应力圆的画法 设有一平面应力情况如图所示。作一直角坐标系，以横坐标表示，向右为正，以纵坐标表示，向上为正。根据右图所示应力情况，按一定的比例尺量取横坐标，纵坐标，确定点。点的坐标就代表单元体上以为 法线的面上的应力。量取，确定点。为负，故的纵坐标也为负。点的坐标代表单元体上以轴为法线的面上的应力。连接，与横坐标交于点。以点为圆心，为半径作圆，此圆即为应力圆或莫尔圆。应力圆上任一点的坐标都代表单元体内某一相应平面上的应力。10.4.3 应力圆的应用 1、确定任意斜截面上的应力 单元体中任意斜截面上的应力皆可用应力圆求出。设由到任意斜截面法线的夹角为反时针的角。在应力圆上点的坐标对应于以为法线的面上的应力，从点沿圆周也以反时针方向转到点，且使弧所对圆心角为。则点横坐标和纵坐标就代表以为法线的斜截面（面）上的应力。 点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面上的正应力和切应力；转向对应半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致； 二倍角对应半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。【例5】应用应力圆求图中单元体在斜截面上的正应力及剪应力。解：选取比例尺如图所示。本例为单向应力状态，可以看着是二向应力状态 的特殊情况。在单元体中以轴为法线的平面为主平面，且。这个主平面上的应力在应力圆中用原点来代表。以轴为法线的平面也是主平面，且。在应力圆中用点表示。以为直径作圆即为所需的应力圆。在单元体中由轴到面的法线为顺时针的。在应力圆中，应从点沿圆周按顺时针方向量取圆心角，从而确定点。点的坐标即为面上的应力。用所选比例尺量出：， 2、确定主应力和主平面位置 利用应力圆还可以求出主应力的数值，确定主平面的位置。在应力圆上两点的横坐标为最大和最小值，而纵坐标皆等于零，因此这两点的坐标即代表主平面上的应力。 此外，对于平面应力状态，其上没有应力作用的平面也是主平面，只不过这一主平面上的应力。主平面位置： 在应力圆上由点（代表法线为的平面上的应力）到点所对应圆心角为顺时针的，在单元体中由也按顺时针量取，这就确定了所在主平面的法线。在应力圆上由到所对圆心角为，在单元体中，和所在主平面的法线之间的夹角为。从轴到所在主平面法线的转角为顺时针方向，按照关于的符号规定，是负的，故应为负值。 由图可看出 再次得到了确定主平面位置的公式。【例6】已知图示单元体的，。试用应力圆求主应力，并确定主平面位置。解：按选定的比例尺，以，为坐标确定点。以，为坐标确定点。连接，与横坐标交于点。以为圆心，为直径作应力圆。按所定比例尺量出 这里另一个主应力。在应力圆上由到为反时针方向，且。所以，在单元体中从以反时针方向量取，确定所在主平面的法线。3、确定最大和最小剪应力以及其所在平面的位置作垂直半径和，显然，和就分别等于最大和最小剪应力，即 因为及的绝对值都等于应力圆的半径，故又可写成在应力圆上由到所对的圆心角为，故在单元体中，主平面法线与所在平面法线的夹角为。例题10-4 对于图中所示之平面应力状态，若要求面内最大剪应力，试求的取值范围。图中应力的单位为。解：因为为负值，故所给应力状态的应力圆应如图所示由图可知，根据图中几何关系 10.5 复杂应力状态下的应力-应变关系10.5.1 广义胡克定律一、单向应力状态下的胡克定律由前实验得出，各向同性材料在弹性范围内 二、复杂应力状态下的胡克定律三向应力状态：当应力小于比例极限时，在小变形条件下应用叠加原理，可得 上式称为一般应力状态下的广义胡克定律。式中为沿方向的线应变，表示外法线为的截面之间夹角的切应变（）。 若已知单元体的三个主应力，广义胡克定律变为式中分别为沿主应力方向的应变，称为主应变。二向应力状态（）： 注意：以上、（）均沿坐标轴正方向，若题中应力方向与坐标轴方向相反，则应以负值代入。10.5.2 各向同性材料各弹性常数之间的关系 对于同一种各向同性材料，广义胡克定律中的弹性常数之间存在以下关系： 例题10-5 如图所示的钢质立方体块（图中单位为），其各个面上受均匀承受静水压力。已知边长的改变量，。1.试求和边的长度改变量；2.确定静水压力值。解：1.试求和边的长度改变量在静水压力作用下，弹性体各方向发生均匀变形，因而任意一点均处于三向等压力状态，且 根据广义胡克定律 有 又由已知条件有 2. 确定静水压力值10.6 工程设计中常用的强度理论实验表明，各种材料发生破坏的现象是不同的。轴向拉伸与压缩下，塑性材料：危险应力， 脆性材料：危险应力， 强度条件：所以单向应力状态下强度条件可以说是根据实验结果建立的。复杂应力状态中应力组合的方式有各种可能性，我们无法一一进行实验来建立强度条件。所以，解决这类问题已不能采用实验的方法，而是采用判断推理的方法，提出一些假说，推测材料在复杂应力状态下破坏的原因，从而建立强度条件。强度理论： 人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论（为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法） 。 构件在静载荷作用下的两种失效形式：(1) 脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。(2) 塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。本章介绍常用的四个经典强度理论10.6.1 第一强度理论（最大拉应力准则）材料发生断裂破坏的主要因素是最大拉应力达到极限值。第一强度理论认为：无论材料处于什么应力状态，引起脆性断裂的因素是相同的，都是由于单元体内的最大拉应力达到了危险应力。 -构件危险点的最大拉应力 单向拉伸测得 断裂条件 强度条件 注意：第一强度理论只适用于脆性材料由拉应力引起的断裂破坏。10.6.2 第二强度理论（最大拉应变准则） 无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于最大拉应变（线变形）达到极限值导致的。 -构件危险点的最大伸长线应变 -极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得 断裂条件 即 强度条件 第二强度理论只与少数材料的实验结果相吻合，工程已很少应用。10.6.3第三强度理论（最大剪应力准则）这一理论认为最大剪应力使引起屈服破坏的主要因素。即认为无论材料处于什么应力状态，只要发生屈服（或剪断），其共同原因都是由于单元体内的最大剪应力达到极限值。-构件危险点的最大切应力 -极限切应力，由单向拉伸实验测得 屈服条件 强度条件 实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较为满意的解释。10.6.4 第四强度理论（畸变能密度准则） 弹性体在外力作用下发生变形，载荷作用点随之产生位移。因此，在变形过程中，载荷在相应的位移上作功。根据能量守恒定律，如果所加外力是静载荷，则载荷所作之功全部转化为积蓄在弹性体内弹性应变能。在外力作用下的弹性体，其体积和形状一般均发生改变，故应变能又可分为体积改变能和畸变能。单位体积内的畸变能称为畸变能密度，用表示。 第四强度理论认为，畸变能密度是引起材料屈服破坏的主要原因，也就是认为，无论材料处于什么应力状态，只要发生屈服（或剪断），其共同原因都是由于单元体内的畸变能密度达到了极限值。-构件危险点的畸变能密度-畸变能密度的极限值，由单拉实验测得 屈服条件 强度条件 实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。例题10-6 已知铸铁构件上危险点处的应力状态如图所示（图中单位为）。若铸铁拉伸许用应力，试校核该点处强度是否安全。解： 根据所给应力状态，在单元体各个面上只有拉应力而无压应力。因此，可以认为铸铁在这种应力状态下可能发生脆性断裂，故采用第一强度理论。即 对于所给平面应力状态，可算得非零主应力值 故、 此危险点强度安全。例题10-7 某结构上危险点处应力状态如图所示，其中，。材料为钢，许用应力。试校核此结构是否安全。解：此情况为平面应力状态，其非零主应力为 因为有一个主应力为零，故有钢材在这种应力状态下可能发生屈服，应采用第三或第四强度理论进行强度计算。第三强度理论： 第四强度理论：可见，不管是采用最大剪应力准则还是畸密度变能准则校核，该结构都是安全的。10.7 圆轴承受弯曲与扭转共同作用时的强度计算组合变形：构件受力后的变形是由两种或两种以上基本变形组合而成的复杂变形。例如，靠齿轮或皮带轮传动的轴，在外力作用下所发生的变形为扭转与弯曲的组合变形。10.7.1 计算简图传动轴工作时，轮缘上均受到外力作用。将作用在轮缘上的力向轴的截面形心简化得到与之等效的力和力偶。可见传动轴在横向载荷和扭转载荷共同作用下产生组合变形。为简单起见，用轴线受力图代替中受力图，轴线受力图叫做传动轴的计算简图。 对于同时承受弯矩和扭矩的圆轴，在进行强度计算时，一般需先画出弯矩图和扭矩图（弯曲引起的剪力通常忽略不计）从而确定危险截面。若危险截面上同时作用有两个弯矩和（为扭矩），还应先根据矢量叠加的方法求出和的和矢量 -横截面上的总弯矩10.7.2 危险点及其应力状态 若已知横截面上的总弯矩和扭矩即可确定横截面上的危险点。如图中危险点-与 用横截面、径向纵截面以及平行于轴表面的圆柱面从点取一单元体，该单元体为二向应力状态，其上的正应力和剪应力分别为 其中 -圆轴直径应力状态-单向纯剪切10.7.3 强度设计准则与设计公式 因为承受弯曲和扭转共同作用