恒等变形与高等数学创意解题_郭培俊.pdf

收稿日期 第 卷第 期大 学 数 学 年 月 恒等变形与高等数学创意解题 郭培俊 龚洪胜 浙江工贸职业技术学院 浙江 温州 摘 要 高等数学解题中常用恒等变形 对常用恒等变形类型与方法技巧进行归纳整理并在教学中加 以应用 有助于提高学生解题能力和效率 领悟其 恒 与 变 转换 对培养学生的创新创意思维有积极的 影响 关键词 恒等变形 高等数学 创意解题 中图分类号 文献标识码 文章编号 高等数学解题中 恒等变形举目可见 通过恒等变形可以化复杂为简单 让隐晦变明显 使无序变有 序 把不适合用定理 公式变为适合用定理公式 一言以蔽之 恒等变形可以把不能直接求解的问题变成 能够求解 这种题型在专升本和研究生入学 高等数学 考试中经常出现 对其类型与常用方法技巧进行 归纳整理并在教学中加以应用 有助于提高学生解题能力和效率 领悟其 恒 与 变 转换 对培养学生 的创新创意思维有积极的影响 常用的数学恒等变形 典型的初等数学恒等变形 初等数学中以下的恒等变形典型方法在高等数学解题中会频频出现 它看似简单 作用却不小 可 正是由于这些貌似简单的变形却使很多学生特别是初学者对相关题目解答感到非常棘手 甚至发出 高 等数学多么难学 的感叹 学生没有熟练掌握这些恒等变形 对一些高等数学题的求解将会一筹莫展 初等数学中常用的恒等变形有插项 加减项 拆项 配方 通分 分式有理化 因式分解 搭配 如诱 导公式 降次 取对数 的巧用 分式基本性质 乘除互变 减变除 等等 如在解决无穷大减无穷大的 极限题时 往往要用到减变除这一恒等变形 典型的高等数学恒等变形 主要体现在凑微分的技巧上 有一项凑微和多项同时凑微 有一次凑微和多次复合凑微 限于篇幅 这里只列举几个典型例子 序号方法称谓典型变形举例 拼凑 叠加 复合 恒等变形在高等数学解题中应用例析 在求极限中的应用 例 求 解 考虑 记 则 其中 例 求 年研 解 原式 而 故原式 以下各题解法与此类似 求 槡 年研 槡 搭配诱导公式 槡 槡 分子有理化 槡 搭配诱导公式 分子有理化 求 在求导数中的应用 例 设函数 在点 处可导 证明 证 联想到导数的定义 在左边分子中减 加项 把 联结起来 左边 右边 例 已知函数 在 内可导 且满足 求 年研 解 由对数恒等式得 由于 第 期 郭培俊 等 恒等变形与高等数学创意解题 则 于是由题设得到 即 两边积分 得 再由 得 故 以下各题解法与此类似 已知 求 分子减加 已知对任意的 都有 且 试证明 导数的定义式的分子中 设曲线 与 在原点相切 求 槡 在求积分中的应用 例 求 解 因式分解后拆分 例 求 解 因为 所以 以下各题解法与此类似 分子加减 或分子分母同除以 分母配方 用 用 分子分母同乘以 或分母用二倍角公式展开 分母中再 除乘 槡 槡 用 槡 槡 在解微分方程中的应用 大 学 数 学 第 卷 例 解初值问题 解 分离变量 得 积分之 槡 所以 槡 由初始条件得 故所求特解为 槡 例 求方程 槡 槡 的通解 解 注意 同号 当 时 槡 槡 故方程可变形为 槡 槡 槡 这是以槡 为因变量 为自变量的一阶线性方程 由公式得 槡 槡 槡 槡 槡 槡 所求通解为 槡 以下各题解法与此类似 因式分解后再分离 移项后和差化积 求方程 的通解 以 为自变量 化为 在求级数展开式中的应用 例 将函数 展开成 的幂级数 解 考虑以下恒等变形 由于 则 以下各题解法与此类似 第 期 郭培俊 等 恒等变形与高等数学创意解题 将函数 展开成 的幂级数 将函数 展开成 的幂级数 恒等变形还包括代换 变是为了简易 变是为了不易 恒 不变 没有做不到的 只有想不到的 灵 活应用恒等变形 是提高高等数学解题效率的重要途径 也是培养学生辩证思想和创新创意思维的有效 途径之一 参 考 文 献 樊庐生 函数式的恒等变形在不定积分中的应用 工科数学 李永信 恒等变形在解题中的运用 经济教育研究 丁胜 应用恒等变形解决数