第19讲等差数列.doc

第19讲 等差数列知识点：1、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差2、由三个数，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为与的等差中项若，则称为与的等差中项3、若等差数列的首项是，公差是，则4、通项公式的变形：；5、若是等差数列，且（、），则；若是等差数列，且（、），则6、等差数列的判断方法：定义法或。例1设Sn是数列an的前n项和，且Sn=n2，则an是（ ）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列答案：B；解法一：an=an=2n1（nN）又an+1an=2为常数，常数an是等差数列，但不是等比数列.解二：如果一个数列的和是一个没有常数项的关于n的二次函数，则这数列一定是等差数列。7、等差数列的前和：，。例2：等差数列an的前n项和记为Sn，若a2a4a15的值是一个确定的常数，则数列an中也为常数的项是()AS7BS8 CS13 DS15解：设a2a4a15p(常数)，3a118dp，解a7p.S1313a7p.例3等差数列an中，已知a1，a2a54，an33，则n为()A48 B49 C50 D51解析：a2a52a15d4，则由a1得d，令an33(n1)，可解得n50.故选C.答案：C练习1.等差数列中，则通项；练习2.首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是_ ；例4：设Sn是等差数列an的前n项和，a128，S99，则S16_.解析：S99a59，a51，S168(a5a12)72.答案：72例5：已知数列an为等差数列，若0的n的最大值为()A11 B19 C20 D21解析：0，a110，且a10a110，S2010(a10a11)0的n的最大值为19，故选B.答案：B练习3.数列 中，前n项和，则， ；练习4.已知数列 的前n项和，求数列的前项和.8.若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、 ，也成等差数列，而成等比数列；若是等比数列，且，则是等差数列. 练一练：等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。9.若等差数列、的前和分别为、，且，则练一练：设与是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么_；10.“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？练一练：等差数列中，问此数列前多少项和最大？并求此最大值；例6（1）设an（nN*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S6，S6S7S8，则下列结论错误的是（ ）A.d0B.a70 C.S9S5 D.S6与S7均为Sn的最大值（2）等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）A.130 B.170 C.210 D.260解析：（1）答案：C；由S5S6得a1+a2+a3+a50，又S6=S7，a1+a2+a6=a1+a2+a6+a7，a7=0，由S7S8，得a8S5，即a6+a7+a8+a902（a7+a8）0，由题设a7=0，a80，显然C选项是错误的。（2）答案：C解法一：由题意得方程组，视m为已知数，解得，。解法二：设前m项的和为b1，第m+1到2m项之和为b2，第2m+1到3m项之和为b3，则b1，b2，b3也成等差数列。于是b1=30，b2=10030=70，公差d=7030=40。b3=b2+d=70+40=110前3m项之和S3m=b1+b2+b3=210.解法三：取m=1，则a1=S1=30，a2=S2S1=70，从而d=a2a1=40。于是a3=a2+d=70+40=110.S3=a1+a2+a3=210。同步练习：1、等差数列，的一个通项公式是（ ）A B C D2、中，三内角、成等差数列，则（ ）AB CD3、在数列中，则的值为（ ）AB C D4、是等差数列，的（ ）A第项B第项C第项D第项5、在等差数列中，已知，则等于（ ）A B C D6、在等差数列中，已知，则等于（ ）ABCD7、设是公差为正数的等差数列，若，则（ ）AB CD8、与的等差中项是（ ）A B C D9、若，两个等差数列，与，的公差分别为，则（ ）A BC D10、一个首项为，公差为整数的等差数列，如果前项均为正数，第7项起为负数，则它的公差是（ ）ABCD11、在等差数列中，若，则的值等于（ ）A B C D12、等差数列中，则的值为（ ）AB C D13、设数列是递增等差数列，前三项的和为，前三项的积为，则它的首项是（ ）A B C D14、等差数列的公差是，则_15、在和之间插入个数，使它们与、组成等差数列，则该数列的公差为_16、已知数列的公差，则_17、等差数列中，且从第项开始每项