第3章连续系统仿真方法.doc

第3章、连续系统仿真方法3.1离散化原理及要求在数字计算机上仿真：数字计算机的数值及时间均具有离散性，而被仿真的系统的数字及时间均具有连续性。后者如何用前者来实现？从根本意义上讲，数字计算机所进行的计算仅仅是“数字”计算，它表现的数值的精度受限于字长，这将引入舍入误差；另一方面，这种计算是按指令一步一步进行的，因而，还必须将时间离散化，这样就只能得到离散时间点上系统的（离散数值）状态（性能）。用数字仿真的方法对微分方程的数值积分是通过某种数值计算方法来实现的。任何一种计算方法只能是原积分的一种近似。因此，连续系统仿真，从本质上是从时间、数值两个方面对原系统进行离散化，并选择合适的数值计算方法来近似积分运算，由此得到离散模型来近似原连续模型。如何保证离散模型的计算结果从原理上确能代表原系统的行为（也是一种仿真吗？），这是连续系统数字仿真首先必须解决的问题。原连续系统 仿真模型 相似原理示意图相似原理（两个模型等价）：完全保证全为零是很困难的。分析离散化引入的误差：随着计算机技术的发展，计算机字长引入的舍入误差可以忽略，关键是数值积分算法，也称为仿真算法引入的误差。相似原理用于仿真时，对仿真算法有三个基本要求：稳定性：若原连续系统是稳定的，则离散化后得到的仿真模型也应是稳定的；准确性：有不同的准确性评价准则，最基本的是：绝对误差准则：相对误差准则：-表示规定的误差量快速性：数字仿真是一步一步推进的，每一部的计算时间决定了仿真速度。连续系统数字仿真算法： 数值积分方法：单步、多步 离散相似方法：适用范围较窄数值积分方法采用递推方式进行计算，不同的方法会引进不同的计算误差；为了提高计算精度，会增加运算量。对同一种积分方法，为提高计算精度，可减小积分步距，但又降低了计算速度。计算精度和速度是常见的一对矛盾，也是数字仿真重要解决的问题之一。3.2连续系统仿真算法3.2.1 线性连续系统仿真算法3.2.1.1 线性连续系统数学模型的几种表示方法 高阶微分方程 传递函数 状态方程、 只能给出输入输出的关系， 可描述中间的状态。以上只是对SISO系统。对于MIMO系统：分别为微分方程组，传递函数阵，状态方程。3.2.1.2 线性连续系统仿真算法线性状态方程的离散化以上只是线性时不变连续系统的数字仿真算法-离散相似法3.2.2 非线性连续系统仿真算法一般非线性连续系统的数学模型为：这类连续系统的仿真算法是基于常微分方程的数值积分法。3.2.2.1 欧拉法f(t)误差欧拉法矩形公式tt0tt0t1f(t)t1误差梯形公式3.2.2.2 龙格-库塔法属于单步法，利用右函数 f 的线性组合来代替 f 导数的计算，从而得到高阶的方法，一般形式为： 龙格-库塔法的截断误差为步长的n+1次方（n为算法的阶数）。对于14阶R-K法，每积分一步所需右函数值的计算次数等于阶数，而对大于4阶的方法，右函数的计算次数要大于阶数，使积分工作量大大增加，所以通常只使用4阶或4阶以下的方法。二阶R-K法：与梯形法的区别？四阶R-K法： 3.2.2.3 亚当姆斯法线性多步法：在利用多步法求yn+1时，必须已知除yn外前几步的值，例如：yn， yn-1 ，,yn-K+1, 称为 K 步法。多步法不能自己起步，在使用其它方法求出y1， y2 ，yK-1后，才能用其求解，常用的亚当姆斯方法的形式为：通常用迭代方法求解隐式方程，隐式增加了计算量，但稳定域大于显式公式，而且对于同阶的亚当姆斯方法，隐式公式的精度往往要高于显式公式，所以往往采用折衷的办法，即：3.2.2.4 变步长法上述方法通常在仿真前要选择积分步长，一般假设步长是固定的。在仿真运行过程中也可以动态调整积分步长。但要动态调整步长需要在仿真过程中能估计积分误差，同时对积分步长的调整能使误差保持在规定的范围内。采用这种方法的积分算法称为变步长算法。当使用变步长法时，仿真时间依赖于被仿真系统的动态行为。当状态变量变化缓慢时，步长可以取得大一些，以减少计算时间；当瞬态或状态变量变化很快时，步长可以选得小一些，但仿真时间较长。变步长法要求进行附加运算，以估计积分的误差并调整步长。在多数情况下，假设具有同样的积分误差，变步长仿真的时间小于固定步长的仿真时间。变步长法不适用于实时仿真。3.2.2.4 仿真算法的选择与比较 算法的误差和稳定性仿真算法主要包括两种误差：截断误差、舍入误差。截断误差：基于台劳展开公式的数值计算方法都存在截断误差，一般差分公式若局部截断误差为 ，则称有r阶精度，即方法是r阶的。方法的阶数可以作为衡量算法精度的一个标志。截断误差的阶次越高，其求解的精度越高，不同算法的截断误差：l 欧拉法 l 梯形法 l 四阶龙格库塔法 l 亚当姆斯法 舍入误差：由计算机的有限字长引起。舍入误差会积累，随着积分时间的增加和积分法阶次的增高而增加，并且随着积分步长的减小而变得更加严重，原因是对于给定的积分时间，使用更小的步长就意味着更多的积分步数。稳定性：是数值积分中非常重要的概念。所谓稳定性是指误差的积累是否受到控制的问题。如果在每步计算过程中，前面积累的舍入误差对实际误差的影响是减弱的，则计算方法是稳定的；反之，则可能由于误差的恶性增长而变得不稳定。如果计算过程发生不稳定情况，计算结果将失去意义。通常，用试验方程：来判断积分算法的稳定性。若积分公式为：则当差分方程满足稳定条件时，算法才是稳定的。分析几种积分公式：欧拉法：，应用于试验方程稳定的条件是：稳定性与系统的特征值和步长有关分析后可知： 除隐式一阶、二阶亚当姆斯法为恒稳法外，其它方法都是条件稳定的。 除恒稳法外，其它方法的积分步长都应限制在最小时间常数的数量级。 对于R-K法，阶次增大则稳定域略微增大；对亚当姆斯法，阶次增大则稳定域反而缩小。（与控制系统稳定、采样定理之间有何关系？） 仿真算法和步长的选择在应用算法之前，首先要决定： 采用哪一种方法 确定方法的阶 确定步长以减少仿真计算量，达到节省仿真时间的目的。对于一般的非线性连续系统仿真（不包括病态、间断或实时问题），若方程右函数比较简单，则采用单步法。 优点：自动起步，容易实现，使用起来较方便。 对于低精度问题：可采用欧拉法； 要提高精度：可减小步长，但增加了计算量和舍入误差。 因而采用高阶算法，如：4阶R-K法当右端函数比较复杂时，计算量较大，采用Adams方法可以节省大量的计算时间，Adams法每积分一步只需计算一次右函数。 对于预估-校正法，最多只需要计算两次右函数。选择步长要考虑仿真精度要求和积分方法的稳定性。在满足要求的前提下，尽可能用大步长，减少计算量。步长的范围：系统最小时间常数的1/101/2。 以上是针对定步长方法，即在积分过程中采用同一步长，也可以采用变步长方法，以保证精度减少计算量。3.3连续系统的实时仿真算法3.3.1实时仿真对仿真算法的要求仿真模型的运算速度往往与实际系统运行的速度不同。然而，当有实际的装置或被训练的人介入仿真过程时，就要求仿真模型的运行速度与实际系统运行的速度保持一致-实时仿真。在实时的条件下，接受动态的输入，并实时地产生一个动态的输出，此时输入输出都将具有固定的采样周期：RK-2算法计算K1计算K2计算并输出采入计算下一个K1RK-2的计算流程实时算法考虑的要点： 在步长h内完成模型计算，便于在采样点输出；。 要用ttn+1内获得的信息，计算yn+1。3.3.2 几种实时仿真算法 欧拉法 实时RK-2算法计算K1计算并输出计算下一个K1实时RK-2的计算流程采入计算K2 实时RK-4算法计算K0实时RK-4的计算流程采入计算K1计算K2计算K3计算K4计算下一个K0计算并输出采入采入采入3.4 采样控制系统仿真方法3.4.1采样控制系统基本结构yx +_-A/D采样器数字控制器D/A（信号重构）被控对象采样控制系统框图连续系统仿真：采样开关是虚拟的（采样间隔、采样器、保持器类型等是根据仿真精度及速度要求确定），仿真步长对整个系统是唯一的、同步的；采样控制系统：采样周期、采样器所处位置及保持器的类型是实际存在的。因此，连续部分离散化模型中的仿真步长与实际采样周期可能相同，也可能不同。对于一个给定的采样控制系统，首先必须解决的是如何确定仿真步长。为实现一定精度与一定速度的仿真计算，仿真步长与方法的选择必须兼顾。采样控制系统分成离散和连续两部分，从而得到的差分模型也分为两部分，如何处理这两部分之间的联系是采样控制系统仿真的特点。必须解决的第二个问题是如何来处理不同采样（仿真）间隔下的差分模型。3.4.2采样周期与仿真步长仿真步长的选择必须根据被控对象的结构、采样周期的大小、信号保持器的类型以及仿真精度和仿真速度的要求来综合考虑。一般有三种情况：采样控制系统方块图 采样周期Ts与仿真步长T相等； 仿真步长T小于采样步长Ts; 改变数字控制器的采样间隔Ts。下面分别讨论这三种情况： 采样周期Ts与仿真步长相等实际采样开关与虚拟采样开关在整个系统中是完全同步的，这种仿真与连续系统仿真完全相同，可以大大简化仿真模型，缩短仿真程序，提高仿真速度。条件（何时可以考虑这种情况）： Ts较小； 系统阶次较低； T =Ts可满足仿真精度要求。连续部分的离散化方法： 虚拟采样开关、信号重构器的数量尽可能少，以免引起过多的信号幅值和相位的畸变和延迟，带来误差；一般只在连续部分入口加，与实际情况相统一，内部不再增加。 直接对连续部分离散化，得到仿真模型。 当系统阶次较高时，不易求取，可以将其化为状态空间表达式，即，其中为信号重构器的输出信号；当为零阶保持器时，与前面讲过的线性时不变系统的离散化仿真算法一致。 仿真步长T小于采样周期Ts 这种情况最常见。一般采样周期是根据系统带宽、实际采样开关硬件性能、实现数字控制器的计算程序执行时间三个因素确定的。由于种种原因（如控制算法比较复杂等），采样周期Ts比较大，但对系统连续部分若按采样周期确定仿真步长T，将会出现较大误差，有必要使TTs。另：系统中存在非线性，不能采用离散相似法进行仿真，一般是将系统分成若干部分分别建立仿真模型；各部分入口均需要虚拟的采样和保持器，均会引起误差，为了保证仿真精度，也需要减小仿真步长，也有必要使TTs。此时，系统仿真模型中将会有两种频率的采样开关： 离散部分的采样周期Ts； 连续部分的仿真步长T。为了便于程序实现，一般取Ts =NT，N为正整数。这种情况下的仿真流程见下图（计算方法）：输入系统参数及仿真参数（包括：T,Ts）计算离散部分（数字控制器）的差分模型计算连续部分（被控对象）的差分模型到N次否？输出第N次结果停止计算仿真计算结束否？NYNY采样控制系统仿真流程图还有一种情况：采样控制系统中有多个回路，且每个回路的采样周期不同。一般内回路的采样周期较小，外回路的相对较大。如双环调速、飞行器控制等。uT1sT1sT2sT2s双回路采样控制系统分两种情况： G1、G2为线性定常系统，且T1s =n T2s（n为正整数）；此时可按内为回路分别取仿真步长进行仿真；若G1、G2不太复杂，可取仿真步长与采样周期相等。 若G1、G2比较复杂，或者系统中存在非线性，无法对H2G1、G2进行Z变换，需加入多个虚拟的采样、保持器，为保证仿真精度，仿真步长要小于采样周期： T1s =NT1，T2s =MT2。仿真过程：首先，对Dz1按采样周期T1s进行仿真，将其输出经H1，保持T1s时间，然后进行内环仿真。见以下流程图：输入系统参数及仿真参数（包括：T1,T1s；T2,T2s）计算D1的差分模型计算H1的差分模型到N次否？输出第N次结果停止计算仿真计算结束否？NYNY采样控制系统仿真流程图计算D2的差分模型计算内环连续部分G2的差分模型到M次否？计算外环连续部分G1的差分模型NY上述流程是在T1s =n T2s ，T1s =NT1，T2s =MT2的条件下，如果不满足？该如何处理？ 改变数字控制器的采样间隔Ts （可以针对仿真步长大于采样周期的情况）改变控制器的采样周期。根据需要，改变原有数字控制器的采样周期。如原来的控制器采样周期较小，现在需要按较大的采样周期（仿真步长）下进行仿真，则需对原有的数字控制器差分模型进行修改。如何确定在新的采样周期下的数字控制器差分模型？从控制系统Z域分析：如果两个系统的脉冲传递函数映射到s平面上具有相同的零极点，并且具有相同的稳态值，则两个系统是等价的。可以按此原则确定不同采样周期下的数字控制器差分模型。具体步骤： /T1s映射到s平面上，求得在s平面上的零极点； 按新的采样周期T2s将其映射到z平面上，求得新的; 根据稳态增益相等原则确定的增益因子。还有别的方法吗?3.5纯延迟环节的仿真模型纯延迟环节：设仿真步长为，则：式中：为整数部分，为小数部分，则有：变换后得：将反变换，可得差分方程：对上式的仿真方法： ，即延迟时间等于仿真步长的整数倍（较简单）在程序中定义一个维的数组，存放及其以前的值即可。 ，则因，所以应在和之间，可以采用线性插值公式来求：3.6 病态系统仿真方法3.6.1病态系统定义系统中各环节时间常数差异巨大；仿真步长在最小时间常数的数量级而选得很小；仿真结束时间则决定于系统中的最大时间常数；若按满足稳定性要求所选择的步长进行仿真，整个仿真所花费的时间非常长，且由于计算的舍入误差甚至导致整个仿真的失败；病态系统仿真问题:其中：令：称为系统的雅克比矩阵。若的特征值全部具有负实部，且有：，则称该系统为病态系统（刚性系统Stiff），而称为病态比，一般在50以上。病态系统在实际中是经常遇到的，例如：自动控制系统中，控制回路是非常灵敏的，能够迅速完成状态过渡，即具有小时间常数，而被控对象本身的运动由于惯性大，状态过渡慢，即具有大时间常数。实际系统中也有一些元件或环节，对过程并无实质性影响，但却带来极小的时间常数，导致系统病态化，给仿真带来极大的麻烦。处理方法之一：在建模时适当处理，以避免不必要的病态性？；处理方法之二：采用病态系统的仿真方法。3.6.2病态系统仿真方法一般数值积分方法：步长受系统最小时间常数限制，而系统中的大时间常数又使系统过渡过程时间加大，从而导致计算量极大，再加上误差传播，仿真精度甚至稳定性都受到影响。具有恒稳定性的数值积分算法虽然对步长没有限制，但只有一阶、二阶，截断误差大，也难以用于病态系统仿真。算法要有较好的稳定域，大范围稳定，截断误差小。吉尔法：满足Stiff稳定域的多步法，通过误差估计与控制技术，仿真过程中不断调整步长，同时满足仿真精度和速度要求；半隐式RK法：隐式RK法具有较好的稳定域，可以用于病态系统仿真，但要求精确计算雅克比阵，这是基本要求；多桢速算法：将病态系统分成几部分，其中一些部分变化快，而另一些部分变化慢。这样就可以分别对它们采用不同的步长（甚至不同的算法）进行计算，即变化快的部分采用小步长（或高精度算法），变化慢的部分采用较大的步长（或精度较低的算法）。常用的是双帧速算法。3.7 间断特性的仿真方法3.7.1间断特性仿真的特点讨论一般间断特性的仿真问题。若系统微分方程的右函数中不连续，则系统具有间断特性。不失一般性：即右函数的表达式依赖于条件函数的取值。各种仿真算法对右函数的要求：单步法：在一个步长内连续；多步法：要求在k步内连续；离散相似法：更规则的形式（可用传递函数、状态标准型）。变步长法：也会遇到困难，步长小时，精度高，加大步长，跨过间断点，误差超标，为减小步长，退回，改小步长，只有在间断点以内，才可能达到误差要求，此时步长小、误差小，又进入放大步长状态，结果又跨过了间断点。反复多次，才能找到间断点，计算量大大增加。间断点变步长仿真如何快速地搜索出间断点，以便能快速地越过间断点，是这类系统仿真中要解决的突出问题。3.7.2间断特性仿真的仿真方法 条件函数零点搜索法：事先确定满足条件函数的点，就可以恰当选择仿真步长。两种情况：条件函数仅与时间有关事先确定满足条件函数的时间点值，仿真推进时，每一步均与间断点时间值比较，使当前步不跨过间断点。条件函数的求解方法有多种。条件函数不仅与时间有关，且同时与系统变量的值有关条件函数的零点无法事先求出，必须在每一步仿真计算时进行判断。主要困难在于仿真步长选择多大为宜，以免跨过间断点。与变步长法的区别是在每步推进时，根据预报值和条件函数来计算间断点，然后一步推进到间断点。 平均值