思科数学【提优教程】江苏省2012高中数学竞赛 第03讲 二次函数的应用教案.doc

第3讲 二次函数的应用本讲内容包括一元二次方程根的分布问题及二次函数的综合运用。若二次函数的图象与轴有交点，则相应的二次方程有根，而且方程的根就是二次函数的图象在轴上的截距。应用二次函数图象是解二次方程根的分布问题的重要方法。如由二次函数的图象可以直观的得到：对于二次函数，若，则二次方程在上有一个根。 A类例题例1 若方程的根满足下列条件，分别求出实数的取值范围。（1） 方程两实根均为正数；（2） 方程有一正根一负根。分析 讨论二次方程根的分布，应在二次方程存在实根的条件下进行。代数方法与图象法是研究二次方程根的分布问题的主要方法。解1 （1）由题意，得所以，当时，原方程两实根均为正数；（2）由题意，得所以，当时，原方程有一正根一负根。 解2 二次函数的图象是开口向上的抛物线。 （1）如图，由题意，得。 所以，当时，原方程两实根均为正数；（2）如图，由题意，得。所以，当时，原方程有一正根一负根。 评注 解2（1）中，条件是必要的。若将此条件改为，得到的二次函数的图象与原图象关于轴对称，此时得到的的值是两根均为负数的解。 例2 若方程的根满足下列条件，分别求出实数的取值范围。（1） 方程两实根均大于1；（2） 方程有一根比1大，一根比1小。分析 本题的要求虽然与例1仅一字之差，由于“两实根均大于3”与“”不等价，因而解法有所变化。思路一，将原问题化归为例1求解；思路二，运用图象法求解。解1 设，原方程可化为。（1） 由题意，关于的方程的两根均为正数，得。所以，当时，原方程两实根均大于1；（2） 由题意，关于的方程的两根为一正根和一负根，得所以，当时，原方程有一根比1大，一根比1小。解2 原方程可化为 （1） 由函数的图象，得所以，当时，原方程两实根均大于1；（2） 由函数的图象，得所以，当时，原方程有一根比1大，一根比1小。例3 求实数为何值时，方程的两个实根（1）分别在区间（1，2）和（3，4）内；（2）绝对值小于1。分析 本题运用图象法求解比较简捷。其中，两个实根的绝对值小于1，即两个实根均在区间内。解 设 。（1）由题意，得所以，当时，原方程两实根分别在区间（1，2）和（3，4）内；（2）由题意，两个实根的绝对值小于1，即两个实根均在区间内。因而有所以，当时，原方程的两个实根的绝对值小于1。 情景再现1关于的方程的一个根比1大，另一个根比1小，则（ ）2实数为何值时，方程的两根都大于 。3关于的方程有两个实根分别在区间（0，1）和（1，2）上，求实数的值。 B类例题 例4 已知方程有一个根小于，其余三个根都大于，求的取值范围。分析 设，原方程可化为，因而原方程的四个根是互为相反数的两对根。解 设，原方程可化为。由题意，此方程的两个根都是正根，且一根大于1，另一根小于1。设 ，则。所以，当时，原方程的四个根中，有一个根小于，其余三个根都大于。例5 已知，证明关于的方程有两个不等的实根，且这两个根分别在区间和内。分析 设，本题即要证 且 。解 有两个不等的实根，且这两个根分别在区间和内。例6若函数在区间上的最小值为，最大值为，求。分析 欲求的值，需按题设条件列出关于的两个方程。注意到求二次函数最值时，要判断二次函数的顶点是否在给定区间内，可以通过分类讨论的方法予以解决。 解 （1）当时，由，即是方程的两根。但此方程两根异号，故此时无解；（2）当时，。若=；若=（不合题意）。因此，所求区间为；（3）当时，由因此，所求区间为。综上，所求区间为或。 情景再现4函数 在区间上的最小值为0，求的值。5已知，求证：方程必有两个不等的实根，且一个大于1，一个小于1。6已知，求证方程有两个实根，且一个大于，一个小于 C类例题例7 设函数，方程的两个根满足， （1）当时，证明；（2）设函数的图象关于直线对称，证明.分析 本题涉及字母较多，其中是变量，是常量。从题设条件中反映出对知之甚少，对了解较多。为比较的大小，可以将它们用表示。证明 （1）是方程的两个根，得所以， ；（2）由题意，是方程的两个根，所以， 又 函数的图象关于直线对称，因而 例8 设函数 对于给定的负数，有一个最大的正数，使得在整个区间上，不等式都成立。（1）求的表达式。（2）当为何值时，最大？并求出这个最大值。分析 （1） 由为负数，函数的图象是开口向下的抛物线。由，函数的图象的顶点位于轴的右方。由此应用图象可求出。解 （1） ,，即函数的图象的顶点位于轴的右方，的最大值为。 若，即 时，则是方程的较大的根。由，解得; 若，即时，则是方程的较小的根。由，解得。所以，分析 （2）函数的表达式中，自变量比较分散，可以通过分子有理化将自变量集中，以便于分析函数值的增减变化。解 （2）当时，当时，综上，当时，的最大值为 情景再现7若二次函数有，求.的值。8设，若对于，均有，求实数的取值范围。习题31关于的方程的两根分别在区间和内，求的取值范围。2二次函数 的图像与轴的两个交点位于区间-1，1上，且分居轴的两侧，求实数的取值范围。3已知关于的方程的两个实数根互为相反数（1） 实数的值；（2）关于的方程的根均为整数，求出所有满足条件的实数。4在如图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点，其轨迹方程为（1）为使物体落在轴上给定的区间（6，7）内，求实数的取值范围；（2）若物体又经过，问它能否落在轴上给定的区间（6，7）内？说明理由。5设二次函数，若时，恒成立。求实数的取值范围。6已知为实数，且，证明一元二次方程有大于小于1的根。7对于二次函数，若存在实数，使得成立，则称点为二次函数的不动点。（1）二次函数有不动点（1，1）和（-3，-3）求的值；（2）对于任意实数，二次函数总有两个相异的不动点，求实数的取值范围。8设二次函数满足条件：（1） 当为任意实数时，且；（2） 当时，；（3） 的最小值为0。求的解析式。9设二次函数 已知方程在区间内有两个不等的实根，且对任意实数恒有，求。10已知关于的方程（1）证明：这个方程的一个根比2大，另一个根比2小；（2）若对于，相应的方程的两根分别为，求的值。 答案情景再现1 设。由，解得。所以，应选。2 设。由题意，得 。所以，当时，原方程的两根都大于。3 设。由题意，得所以，当时，原方程的两个实根分别在区间（0，1）和（1，2）上。4 。（1）当即时，（2） 当即时， （3） 当即时， 综上，所求的值为。5 设，由，得。（1）若，则抛物线的开口向上，且即。由此得方程有两实根，且一根比1大，一根比1小；（2）若，则抛物线的开口向下，且即。由此得方程有两实根，且一根比1大，一根比1小。综上，原命题得证。6 原方程可化为。由，得， ，。 所以，原方程的两根分别在区间(c,b)和(b,a)上，即一根比b大，一根比b小。7 由题意，得。 所以，。8 。10 当时，又 ，20 当时，30 当时，此时无解；40 当时，此时无解。 综上，所求的取值范围是。习题31 设，由题意，得所以，所求的取值范围是。2 设，由题意，得。所以，所求的取值范围是 。3。 （1）由题意，得；（2）由，得方程。由题意，得。因为为整数，所以所求的值为或。4 将（0，9）代入方程，得。设。（1） 由 得 ；（2） 将（2，8.1）代入方程，得，所以物体能落在轴上给定的区间（6，7）内。5 ，10 当即时，（舍去）；20 当即时， 30 当即时，综上，所求的取值范围是。6 设，又, 所以，由 得 。所以，方程有大于小于1的根。7（1）（2）由题意，为任意实数时，二次方程总有两个相异的实根，则恒成立。由因而，所求实数的取值范围是。8 于中，