林福民《数理方法简明教程》课后习题第七章答案.pdf

1 第七章 一维有限区间中的波动方程 习题七 7 2 长为 l 的两端固定弦由于受风力作用 在初始时刻弦的形状为抛 物线 初速度为零 抛物线的顶点为 2 l h 处 求风力消除后弦的自 由振动 解 先写定解问题 齐次方程 第一类齐次边条件 初始速度为零 初始位移为抛物线 2 0 u xaxbxc 带入三个点 2 0 0 0 l lh 可得 2 2 44 0 hh u xxx ll 即 2 2 00 0 0 0 0 4 0 0 0 ttxx t ua uxl t utu l t h u xx lxu x l 分离变量法令 u x tx T t 代入 中的方程及边条件 得 00 0 0 0 xxxl l 和 2 00Tta T tt 解本征值问题 2 1 2 sin n n n l n n Xx l 将 n 代入 解 T n t 2 2 0 nn n a T tT t l 得 cossin1 2 nnn nn T tCatDatn ll 迭加特解得通解 1 nn n u x tXx T t 1 cossinsin nn n nnn CatDatx lll 带入初始条件求通解 0 0 t u x 推出 0 n D 2 1 4 0 sin n n nh u xCxx lx ll 3 0 8 sin l n hn Cx lxxdx ll 2 2 0 23 3 0 8 sincos 8 2sincos2cos l l hlnnn xxx lnlll hlnnnln xxxxx lnlllnl 11 33 33 8816 1111 021 2 32 210 1 2 21 nnnhhh nnn nkk h nkk k 33 0 322121 cossin 21 k hkk u x tatx kll 7 5 长为 的均匀细杆 一端固定 另一端受纵向力 作用而伸长 试求解外力 撤消后杆的自由振动问题 杆的横面积为 S 杆的杨氏模量为 Y 材料密度为 忽略阻尼 光信息 1001 唐丽红输入 3 解 由题 推导 依据边界条件知 7 7 光信 1002 李秋虹输入 解 定解问题可归结为 0 2 xxtt uau Ya 杆的自由振动 oxxxlxx YSukuu 0 0 lx 处振动时不受力 第二类边界条件 ott oo ot u k F SY xF u 初始 0 t u的确定由下列表 示 在lx 端有 x SYuF 0 c SY xF u 0 为确定c 根据0 x处的受力 0 00 0 Fku tx k F cFkc 0 0 0 求解解析 第三类边界条件之前没有讲过 但根据前面所学知识 可采 4 用分离变量法试着求解 因一般齐次边界条件 齐次泛定方程可采用 分离变量法 求解 设 tTXu x 代入 式 则可分成 0 0 0 00 lxXx XXYSkX xXxX 及 0 2 tTatT 先求解 在讨论0 及 0 后发现 只有当 0 时 xX才有可能 存在非零解 过程见课本 P82 P83 类似过程 当 0 时 由于边界条 件存在第三类边界条件 因此 xX的形式要比以前所讲的复杂 即同 时存在cos sin项 这时 xX的通解可以写成 xAxX cos此解展开就可包含cos sin 利用边界条件 lxx 0时的表达式可得 0sincos YSAkA 0sin l A 不能为 0 由 式可得 l 为简单起 和l 可差 n 再利用 式可得 l l YS k cos sin 设 nn k 则可写成 lt g kk YS k nn xlkxX nn c o s 3 2 1n 1 cossincos n nnnnn xlkatkBatkAtxu 根据初始条件 0 0 tt u 可知0 n B 5 1 coscos n nnn xlkatkAtxu l n l n n dxxlk dxxlkX SY F k F A 0 2 0 00 cos cos 7 8长为 的均匀纵杆 一端自由 另一端受纵向力 作用 假设杆 开始时刻 t 0 处于静止状态 试求解杆的受迫振动问题 杆的横面积为 S 杆 的杨氏模量为 Y 材料密度为 忽略阻尼 光信息 1001 唐丽红输入 解 由 的构造分为以下三种 1 令 2 令 3 令 本题属于第三种 故应令 但这样代入方程会出现 所以我们令 原方程及边 界为 通解为 这一行不清晰 化简为 边界条件 初始条件 6 依据边界条件得 cos 把