第三章微分中值定理及导数的应用.doc

高等数学第三章 微分中值定理及导数的应用一、了解两个中值定理及其推论1.罗尔（中值）定理满足：在上连续； 在内可导； ；则在内至少存在一个点，使。【例题】用在上解释罗尔定理的正确性。证明：在上有定义在上连续又在内有定义在内可导，。，证明方程有且仅有三个实根。证明：是一个三次多项式 方程最多有三个实根 在上连续 在内可导有4个零点在上至少存在一个最少三个实根综上所述有且仅有三个实根。2.拉格朗日中值定理满足：在上连续； 在内可导；则在内至少存在一个点，使。【例题】，用在上验证拉格朗日中值定理的正确性。证明：在上连续，在内可导，。拉格朗日中值公式：推论：在区间上可导，且，则 在上是一个常数。例：证明。证明：令 ，又，原式成立。推论：与在区间上可导，且，则在上。证明：设 即 二、熟练掌握用洛必达法则求极限方法1.洛必达法则与满足下列条件：与均可导，且；(同一变化过程中)是型或型;存在或虽不存在但能确定不为;则。说明：不存在的情况：，例如；：在两个数之间来回摆动，例如。2.注意：使用洛必达法则前提条件是型或型;若不存在也不是，则不能使用；使用时与其他方法混合。【例题】解：，原式=解：原式解：原式解：原式已知时与是等价无穷小，求。解：由已知原式3.可能为型或型的极限型【例题】：解：原式：解：原式型【例题】：.型【例题】：解：令，则：解：令，则原式型【例题】：解：令，则原式：解：令则原式三、用导数研究函数的单调区间、极值、最值（一）单调区间：用的符号（二）极值可能的极值点是的点（驻点）或不存在的点。【判断方法】：设是的一个可能极值点方法1：看两边的符号：方法2：是的一个驻点，。如果，则：（三）求的单调区间与极值的方法步骤求的定义域；求的所有可能极值点；找到的以上各点就把分为若干区间；看各区间上的符号。【例题】求的单调区间与极值。解：定义域时，（四）函数的最值在上连续，则在上最值的求法：1. 先求出在内所有可能的极值点；2. 计算以上各点的函数以及闭区间两端的函数值；3. 比较以上个函数值，得出最值。注意：若在区间内只有一个极值点，则这个点是最值点。【例题】做一个容积为300的无盖圆柱形蓄水池，已知地底面积造价是周围单位面积的两倍，如何设计才能是总造价最低？解：设周围单位面积造价为元总造价 当时；，时有最小值当底面积半径为，高为时，造价最低。四、用导数证明不等式（一）时，证明 要证明，可先证明在区间上单增（单减），即可证明在区间上。【例题1】证明时。证明：令 当时， 在上单增 即。证明时。证明：令 当时,在上单增，在上单增（二）证明：，令，只有有最小值0。【例题2】证明：。证明：令定义域为，当时在内有最小值即证明可得。证明。证明：令定义域为当时有最小值原式成立五、用导数研究曲线的凹凸性与拐点。1.曲线的凹凸性的判定2.曲线的拐点凸弧与凹弧的分界点。可能拐点：的点或不存在的点。表示拐点时横纵坐标都要写出来。3.求曲线的凹凸区间与拐点的方法步骤：（1）求出的定义域；（2）求出所有可能拐点的横坐标；（3）以上各点把定义域分配若干区间。【例题】求曲线的凹凸区间与拐点。解：定义域为， 当时，时，拐点为。【综合题】在处具有二阶导数，是的极值点吗？解：方法1：时当（）时，；当（）时，；是的极大值点。方法2：是的极大值点。曲线