江苏省2015年专转本高等数学试卷及解答.pdf

绝密 启用前 江苏省 2015 年普通高校专转本选拔考试 高等数学 试题卷 注意事项 1 本试卷分为试题卷和答题卡两部分 试题卷共 3 页 全卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 2 必须在答题卡上作答 作答在试题卷上无效 作答前务必将自己的姓名和准考证号准确清晰 地填写在试题卷和答题卡上的指定位置 3 考试结束时 须将试题卷和答题卷一并交回 一 选择题 本大题共6小题 每小题4分 共24分 在下列每小题中 选出一个正确答案 请在答 题卡上将所选的字母标号与黑 1 当0 x时 函数 sin 1 e x f x是函数 g xx的 C A 高阶无穷小 B 低阶无穷小 C 同阶无穷小 D 等价无穷小 解 sin 000 1esin limlimlim1 x xxx f xx g xxx 答案 C 2 函数 1 x yx 1 x 的微分dy为 B A 1 ln 1 d 1 x x xxx x B 1 ln 1 d 1 x x xxx x C 1 1 d x xxx D 1 1 d x xxx 解 lnln 1 yxx 1 ln 1 1 x yx yx 1 ln 1 1 x x yxx x dd 1 ln 1 d 1 x x yy xxxx x 答案 B 3 0 x是函数 1 1 e1 0 e1 10 x x x f x x 的 B A 无穷间断点 B 跳跃间断点 C 可去间断点 D 连续点 解 1 1 00 e1 lim lim1 e1 x xx x f x 11 11 000 e11e lim limlim1 e11e xx xxx xx f x 答案 B 4 设 F x是函数 f x的一个原函数 则 32 d fx x A A 1 32 2 Fxc B 1 32 2 Fxc C 2 32 Fxc D 2 32 Fxc 解 11 32 d 32 d 32 32 22 fx xfxxFxc 答案 A 5 下列级数条件收敛的是 D A 2 1 1 n n n n B 1 1 1 21 n n n n C 1 1 n n n n n D 2 1 1 1 n n n n 解 答案 D 6 二次积分 e1 1ln d d y yf x yx D A e1 1ln d d x xf x yy B 1e 0e d d x xf x yy C 1e 00 d d x xf x yy D 1e 01 d d x xf x yy 解 e11e 1ln01 d dd d x y yf x yxxf x yy 答案 D 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 4 分 共 24 分 7 设 lim 1 n n x f x n 则 ln2 f 1 2 解 lim 1 lim 1 e n nxx x nn xx f x nn ln2 1 ln2 e 2 f 8 设曲线 3 3 21 1 xtt yt 在点 0 2 处的切线方程为 32yx 解 由2y 得1t 2 2 d d3 d d d32 d y yt t x xt t 1 d 3 d t y x 切线方程为23yx 即32yx 9 设向量 b与向量 121 a平行 且12 a b 则 b 242 解 由于 a b 所以 2 ba 则4612a b 解得2 因而 242 b e 1 1 10 设 1 21 f x x 则 n fx 1 1 2 21 nn n n n fx x 解 111 1 212 2 f x x x 1 1 1 1 1 2 1 2 21 2 nnn n n n nn fx x x 11 微分方程 2 xyyx满足初始条件 1 2 x y的特解为 2 yxx 解 由 2 xyyx得 y yx x 于是有 1 p x x q xx 则有 11 dd d d e ed e ed xx p xxp xx xx yq xxcxxcx xc 又 1 2 x y得1c 所以 2 yxx 12 幂级数 1 2 1 n n n x n 的收敛域为 1 3 2 2 解 1 2 1 lim2lim2 21 n n nn n n n n 则有 1 1 2 x 解得 13 22 x a所围成的平面图形 已知D分别绕两坐标轴旋转一周 所形成的旋转体的体积相等 试求 1 常数a的值 2 平面图形D的面积 解 5 54 0 12 d 315 a x a Vaxx 2 4 4 0 1 d 36 a y a Vy ya 1 依题意有 xy VV 解得 5 4 a 2 平面图形D的面积 2233 0 0 111 d 236 a a Saxxxaxxa 当 5 4 a 时 3 1 5125 6 4384 S 22 设 2 1 axb f x x 在点1 x处取得极值 1 4 试求 1 常数 ab的值 2 曲线 yf x的凹凸区间与拐点 3 曲线 yf x的渐近线 解 2 43 1 2 1 2 1 1 a xaxbxaxab fx xx 2 2 2 2 a a 1 依题意有 11 44 1 0 4 ab b 解得 1 0 a b 2 3 1 1 x fx x 32 64 1 1 3 1 42 1 1 xxxx fx xx 令 0fx 解得2x x 2 2 2 fx 0 f x 拐点 2 2 9 由表可知 曲线在 2 是凹的 在 2 是凸的 拐点为 2 2 9 3 由于 2 lim lim0 1 xx x f x x 2 11 lim lim 1 xx x f x x 所以曲线有一条水平渐近线0y 一条垂直渐近线1x 五 证明题 本大题共 2 小题 每小题 9 分 共 18 分 23 证明 当01 xxx 证明 设 2 ln 1 2f xxxx 2 ln 1 2ln 1 11 xx fxxx xx 22 11 0 1 1 1 x fx xxx 因而当0 x 时 0 0fxf 从而有 0 0f xf 即 2 ln 1 20 xxx 即有 2 ln 1 2 xxx 24 设 zz xy是由方程 22 yzxf yz所确定的函数 其中f为可导函数 证明 zz xzy