江苏省2015届高三数学一轮复习备考试题：数列(含答案).doc

江苏省2015年高考一轮复习备考试题数列一、填空题1、（2014年江苏高考）在各项均为正数的等比数列中，若，则的值是 2、（2013年江苏高考）在正项等比数列中，则满足的最大正整数 的值为 。3、（2012年江苏高考）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 4、（2015届江苏南京高三9月调研）记数列an的前n项和为Sn若a11，Sn2(a1an)(n2，nN*)，则Sn 5、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）已知等比数列的前项和为，且，则数列的公比为 6、（2015届江苏苏州高三9月调研）已知等比数列的各项均为正数则 7、（南京市2014届高三第三次模拟）已知数列an满足anan1an2(n3，nN*)，它的前n项和为Sn若S96，S105，则a1的值为 8、（南通市2014届高三第三次调研）设数列an为等差数列，数列bn为等比数列若，且，则数列bn的公比为 9、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二）已知Sn为等差数列an的前n项和，a1 = -1，S3 = 6，则S6 = 10、（徐州市2014届高三第三次模拟）在等比数列中，已知，设为该数列的前项和，为数列的前项和若，则实数的值为 11、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模）已知等差数列an的公差d不为0，且a1，a3，a7成等比数列，则的值为 二、解答题1、（2014年江苏高考）设数列的前n项和为.若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得，则称是“H数列。”（1）若数列的前n项和=（n），证明：是“H数列”；（2）设数列是等差数列，其首项=1.公差d0.若是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列” 和，使得=（n）成立。2、（2013年江苏高考）设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和。记，其中为实数。（1）若，且成等比数列，证明：（）；（2）若是等差数列，证明：。3、（2012年江苏高考）已知各项均为正数的两个数列和满足：，（1）设，求证：数列是等差数列；（2）设，且是等比数列，求和的值4、（2015届江苏南京高三9月调研）已知an是等差数列，其前n项的和为Sn， bn是等比数列，且a1b12，a4b421，S4b430（1）求数列an和bn的通项公式；（2）记cnanbn，nN*，求数列cn的前n项和5、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）已知无穷数列满足：，且对于任意，都有，（1）求的值；（2）求数列的通项公式6、（南京市2014届高三第三次模拟）已知a，b是不相等的正数，在a，b之间分别插入m个正数a1，a2，am和正数b1，b2，bm，使a，a1，a2，am，b是等差数列，a，b1，b2，bm，b是等比数列（1）若m5，求的值；（2）若ba(N*，2)，如果存在n (nN*，6nm)使得an5bn，求的最小值及此时m的值；（3）求证：anbn(nN*，nm)7、（南通市2014届高三第三次调研）各项均为正数的数列an中，设，且，（1）设，证明数列bn是等比数列；（2）设，求集合8、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二）已知常数0，设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足：a1 = 1，（）（1）若 = 0，求数列an的通项公式；（2）若对一切恒成立，求实数的取值范围9、（徐州市2014届高三第三次模拟）已知数列，满足，（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设数列满足，对于任意给定的正整数，是否存在正整数，()，使得，成等差数列？若存在，试用表示，；若不存在，说明理由10、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模）已知数列an的各项都为正数，且对任意nN*，a2n1，a2n，a2n1成等差数列，a2n，a2n1，a2n2成等比数列（1）若a21，a53，求a1的值；（2）设a1a2，求证：对任意nN*，且n2，都有参考答案一、填空题1、42、12 3、4、22n15、6、3 7、1 8、 9、39 10、7 11、2二、解答题1、（1）证明：= ，=（n），又=2= ，（n）。存在m=n+1使得（2）=1+（n-1）d ，若是“H数列”则对任意的正整数n,总存在正整数m,使得 。=1+（m-1）d成立。化简得m= +1+，且d0 又m ， ，d，且为整数。（3）证明：假设成立且设都为等差数列，则n+=+（-1），=+1，= （）同理= （） 取=k由题=+（-1）+（-1）=（）+（n-1）（）=（n+k-1）可得为等差数列。即可构造出两个等差数列和同时也是“H数列”满足条件。2、证明：是首项为，公差为的等差数列，是其前项和（1） 成等比数列 左边= 右边=左边=右边原式成立（2）是等差数列设公差为，带入得： 对恒成立 由式得： 由式得：法二：证：（1）若，则，当成等比数列，即：，得：，又，故由此：，故：（）（2）， ()若是等差数列，则型观察()式后一项，分子幂低于分母幂，故有：，即，而0，故经检验，当时是等差数列3、解：（1），。 。 数列是以1 为公差的等差数列。（2），。 。（） 设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明 若则，当时，与（）矛盾。 若则，当时，与（）矛盾。 综上所述，。，。 又，是公比是的等比数列。 若，则，于是。 又由即，得。 中至少有两项相同，与矛盾。 。 。4、解：（1）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q由a1b12，得a423d，b42q3，S486d 3分由条件a4b421，S4b430，得方程组解得所以ann1，bn2n，nN* 7分（2）由题意知，cn(n1)2n记Tnc1c2c3cn则Tnc1c2c3cn 22322423n2n1 (n1)2n，2 Tn 222323(n1)2n1n2n (n1)2n1，所以Tn22(22232n )(n1)2n1， 11分即Tnn2n1，nN* 14分5、解：（1）由条件，令，得 2分又，且， 易求得 4分再令，得，求得 6分（2） (1) (2)由(1)-(2)得， 8分 ，数列为常数数列 12分 数列为等差数列 14分又公差， 16分6、解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则d，qa3a3d，b3aq3 2分因为，所以2a52b0，解得4或 4分 （2）因为aa(m1)d，所以da，从而得anaan 因为aaqm1，所以q，从而得bna 因为an5bn，所以aaa 因为a0，所以1（*） 6分 因为，m，nN*，所以1为有理数 要使（*）成立，则必须为有理数 因为nm，所以nm1 若2，则为无理数，不满足条件 同理，3不满足条件 8分 当4时，42要使2为有理数，则必须为整数 又因为nm，所以仅有2nm1满足条件 所以12，从而解得n15，m29综上，最小值为4，此时m为29 10分(3)证法一：设cn0，Sn为数列cn的前n项的和先证：若cn为递增数列，则为递增数列证明：当nN*时，bn1 因为Sn1Snbn1SnSn，所以，即数列为递增数列 同理可证，若cn为递减数列，则为递减数列 12分当ba时，q1当nN*，nm时，即，即 因为baqm1，bnaqn，d，所以d，即andbn，即anbn 当ba时，0q1，当nN*，nm时，即因为0q1，所以以下同综上， anbn(nN*，nm) 16分证法二：设等差数列a，a1，a2，am，b的公差为d，等比数列a，b1，b2，bm，b的公比为q，ba(0，1)由题意，得da，qa，所以anandaan，bna要证anbn(nN*，nm)，只要证1n0(0，1，nN*，nm)12分构造函数f(x)1x(0，1，0xm1)，则f(x)ln令f(x)0，解得x0(m1)log以下证明0log1不妨设1，即证明1，即证明ln10，ln10设g()ln1，h()ln1(1)，则g()10，h()ln0，所以函数g()ln1(1)为减函数，函数h()ln1(1)为增函数所以g()g(1)0，h()h(1)0所以1，从而0log1，所以0x0m114分因为在(0，x0)上f(x)0，函数f(x)在(0，x0)上是增函数；因为在(x0，m1)上f(x)0，函数f(x)在(x0，m1)上是减函数所以f(x)minf(0)，f(m1)0所以anbn(nN*，nm)同理，当01时，anbn(nN*，nm) 17、【解】（1）当时，即，解得 2分由，所以 当时， -，得（），4分即，即，所以，因为数列an的各项均为正数，所以数列单调递减，所以所以（）因为，所以，所以数列bn是等比数列 6分（2）由（1）知，所以，即由，得（*）又时，所以数列从第2项开始依次递减 8分（）当时，若，则，（*）式不成立，所以，即 10分令，则，所以，即存在满足题设的数组（） 13分（）当时，若，则不存在；若，则；若时，（*）式不成立综上所述，所求集合为（） 16分（注：列举出一组给2分，多于一组给3分）8、9、（1）因为，所以，则， 2分所以，又，所以，故是首项为，公差为的等差数列， 4分即，所以 6分（2）由（1）知，所以，当时，若，成等差数列，则（），因为，所以，所以（）不成立 9分当时，若，成等差数列，则，所以，即，所以， 12分欲满足题设条件，只需，此时， 14分因为，所以，即 15分综上所述，当时，不存在，满足题设条件；当时，存在，满足题设条件16分10、解：（1）解法一：因为a3，a4，a5成等差数列，设公差为d，则a332d，a43d因为a2，a3，a4成等比数列，所以a2 3分因为a21，所以1，解得d2，或d因为an0，所以d 因为a1，a2，a3成等差数列，所以a12a2a32(32d)5分解法二：因为a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5成等差数列，则，3分则，解得或（舍），所以。5分解法三：因为a1，a2，a3成等差数列，则，因为a2，a3，a4成等比数列，则3分因为a3，a4，a5成等差数列，则，则解得：或；当时，（与矛盾，故舍去），所以5分（注：没有舍去一解，扣1分）（2）证法一：因为a2n1，a2n，a2n1成等差数列，a2n，a2n1，a2n2成等比数列，所以2a2na2n1a2n1， aa2na2n2；所以aa2n2a2n，n2所以2a2n因为an0，所以2 7分即数列是等差数列 所以(n1)()由a1，a2及a2n1，a2n，a2n1是等差数列，a2n，a2n1，a2