第1章部分习题参考解答.pdf

1 1 给定三个矢量 A B 和C如下 23 xyz Aeee 4 yz Bee 52 xz Cee 求 1 2 A e AB 3 A B 4 AB 5 A 在B 上的分量 6 7 A C AB C 和 A BC 8 A BC 和 AB C 解 1 222 23 12 141414 12 3 xyz Axy eee A eee A 3 z e 2 23 4 64 xyzyzxyz ABeeeeeeee 53 11 3 23 4 xyzyz A Beeeee 4 由 1111 cos 1417238 AB A B A B 得 11 arccos 135 5 238 AB 5 A 在B 上的分量 11 cos 17 BAB A B AA B 6 12341310 502 xyz xyz eee A Ceee 7 因为041852 502 xyz xyz eee 0B Cee e 12310 041 xyz 4 xyz eee A Beee 所以 23 8520 4 xyzxyz AB Ceeeeee 2 104 52 4 xyzxz A BCeeeee 2 8 1014240 502 xyz 5 xyz eee A BCeee 1235544 8520 xyz xyz eee AB Ceee 11 1 2 三角形的三个顶点为 1 0 1 2 P 2 4 1 3 P 和 3 6 2 5 P 1 判断是否为一直角三角形 2 求三角形的面积 123 PP P 解 1 三个顶点 1 0 1 2 P 2 4 1 3 P 和的位置矢量分别为 3 6 2 5 P 1 2 yz ree 2 43 xyz reee 3 625 xyz reee 则 1221 4 xz Rrree 2332 28 xyz Rrreee 3113 67 xyz Rrreee 由此可得 1223 4 28 0 xzxyz RReeeee 所以 123 PP P 为一直角三角形 2 三角形的面积 12231223 111 176917 13 222 SRRRR 1 3 求点到点的距离矢量 3 1 4 P 2 2 3 P R 及R 的方向 解 点和点的位置矢量分别为 3 1 4 P 2 2 3 P 34 Pxyz reee 223 Pxyz reee 则 53 P PPPxyz RRrree e 且 P P R 与x yz轴的夹角分别为 5 arccosarccos32 31 35 xP P x P P eR R 3 arccosarccos120 47 35 yP P y P P eR R 1 arccosarccos99 73 35 zP P z P P eR R 4 1 4 给定两矢量23 xyz Aeee 和456 xyz Beee 求它们之间的夹角和在A B 上的分量 解 222 23 4 29A 222 45677B 234 456 31 xyzxyz A Beeeeee 故与A B 之间的夹角为 31 arccosarccos131 2977 AB A B A B A 在B 上的分量为 31 3 532 77 B B AA B 1 5 给定两矢量234 xyz Aeee 和64 xyz Beee 求A B 在 xyz Ceee 上的分量 解 23413221 641 xyz xyz eee A Beee 0 132210 25 xyzxyz A BCeeeeee 222 1 1 13C 所以 A B 在上的分量为C 25 14 43 3 C A BC A B C 1 6 证明 如果A BA C 和ABA C 则BC 证 由 得ABA C AA BAA C 即 A B AA A BA C AA A C 由于 于是得到 A BA C A A BA A C 所以 BC 1 7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积 那么便可以确定该未 知矢量 设A 为一已知矢量 pA X 而PAX p和P 已知 试求X 解 由 有PAX A PAAXA X AA A XpAA A X 故得 2 pAA PpAA P X AA A 1 8 在圆柱坐标系中 一点的位置由 2 4 3 3 定出 求该点在 1 直角坐标系 中的坐标 2 球坐标系中的坐标 解 1 在直角坐标系中 22 4cos 2 4sin 2 3 3 33 xyz 故该点的直角坐标为 2 2 3 3 2 在球坐标系中 22 2 435 arctan 4 3 53 1 rad120 3 r 故该点的球坐标为 5 53 1 120 1 9 用球坐标表示的场 2 25 r Ee r 1 求在直角坐标中点 3处的 4 5 E 和 x E 2 求在直角坐标中点 3处 4 5 E 与矢量22 xyz Beee 构成的夹角 解 1 在直角坐标系中 3点处 4 5 222 3 4 5 5 2r 故 2 251 2 r Ee r 又在直角坐标系中 3点处 4 5 345 xyz reee 所以 23 34 2525 10 2 5 xyz r eee Eer rr 故 33 2010 2 xx EeE 2 2 222 2 2 1B 3 在直角坐标中 3点处 4 5 345 19 22 10 210 2 xyz xyz eee E Beee 故 与E B 构成的夹角为 19 10 2 arccosarccos153 6 3 2 EB E B E B 1 11 已 知 标 量 函 数 求在 点 2 3 1 处 沿 指 定 方 向 2 ux yz u 34 505050 lxyz eeee 5 的方向导数 解 2222 2 xyzxy uex yzex yzex yzexyze x ze x y xyz 2 z 故沿指定方向 34 505050 lxyz eeee 5 的方向导数为 22 645 505050 l uxyzx z u e l x y 点 2 3 1 处沿的方向导数值为 l e 2 3 1 361660112 50505050 u l 1 12 已知标量函数 1 求 222 23326uxyzxyz u 2 在哪些点上 等于0 u 解 1 23 42 66 xyzxyz uuu ueeeexeyez xyz 2 由 23 42 66 0 xyz uexeyez 得 3 2 1 2 1xyz 1 13 方程 22 22 2 2 xyz u abc 给出一椭球族 求椭球表面上任意点的单位法向矢量 解 由于 222 222 xyz xyz ueee abc 222 222 2 xyz u abc 故椭球表面上任意点的单位法向矢量为 22 222222 nxyz u 2 xyzxyz eeee abcabcu 1 14 利用直角坐标系 证明 uvu vv u 证 在直角坐标系中 xyzxyz xyz xyz vvvuuu u vv uu eeev eee xyzxyz vuvuvu euveuveuv xxyyz uvuvuv eee xyz uv z dS 1 15 一个球面S的半径为5 球心在原点上 计算 3sin r S e 的值 解 3sin 3sin rr SS edSee rdS 2 22 00 3sin5 sin75d d 1 16 已知矢量 试确定常数 b c 使为无源场 222 2 xyx Ee xaxzexybye zzczxxyz aE 解 由 得 2 2 1 22 0Exazxybzcxxy 2 1 2abc 1 17 在由5 和围成的圆柱形区域 对矢量0z 4z 2 2 z Aeez 验证散 度定理 证 在圆柱坐标系中 22 1 2 3Az z 2 所以 425 000 32 1200 V AdVdzdd 又 SSSS A dSA dSA dSA dS 上下柱面 2525 000040 24 005 2524 2 0000 5 2 4551200 zz zz Aed dAed d Aedzd d ddzd 故有1200 VS AdVA dS 1 18 1 求矢量的散度 2 求 22222 24 xyz Ae xe x yex y z 3 A 对中心在原 点的一个单位立方体的积分 3 求A 对此立方体表面的积分 验证散度定理 解 1 222223 22 24 2272 xx yx y z Axx yx y z xyz 22 2 A 对中心在原点的一个单位立方体的积分为 1 21 21 2 2222 1 21 21 2 1 2272 24 V AdVxx yx y zdxdydz 3 对此立方体表面的积分为 A 22 1 21 21 21 2 1 21 21 21 2 22 1 21 21 21 2 22 1 21 21 21 2 3 1 21 21 2 2222 1 21 211 2 11 22 11 22 11 2424 22 S A dSdydzdydz xdxdzxdxdz x ydxdyx y 3 1 2 2 1 24 dxdy 故有 1 24 VS AdVA dS 1 19 计算矢量r对一个球心在原点 半径为a的球表面的积分 并求对球体 积的积分 r 解 2 23 00 sin4 r SS r dSr e dSdaada 又在球坐标系中 2 1 rr r rr 3 所以 2 23 000 3sin4 a V rdVrdrd da 1 20 在球坐标系中 已知矢量 r Ae ae be c 其中 b和 均为常数 1 问矢量是否为常矢量 2 求 ac A A 和A 解 1 222 AAA Aabc 即矢量 r Ae ae be c 的模为常数 将矢量 r Ae ae be c 用直角坐标表示 有 sincoscoscossin sinsincos sincos cossin r x yz Ae ae be c e abc e abce ab 由此可见 矢量A 的方向随 和 变化 故矢量A 不是常矢量 有上述结果可知 一个常矢量C 在球坐标系中不能表示为 r Ce ae be c 2 在球坐标系中 2 2 1112 sin sinsinsin cab Ar ab rrrrrr cos 2 sin 1cos sinsin sin r r r erere cc Ae rrrr ArArA b ee r 1 21 求矢量 22 xyz Ae xe xe y z 沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线 积分 此正方形的两边分别与x轴和轴相重合 再求yA 对此回路所包围的 曲面的面积分 验证斯托克斯定理 解 如图题1 21所示 可得 y x C 2222 00000220 2222 2 0000 20 8 xyxy Cyxyx A dlAe dxAe dyAe dxAe dy xdxdyxdxdy 又 22 22 xyz xz eee Ae xyz xxy z yzex 所以 2222 0000 22 28 xzz S A dSeyzexe dxdyxdxdy 故有8 CS A dlA dS 1 22 求矢量 2 xx Ae xe xy 沿圆周 222 xya 的线积分 再计算A 对此圆面积 的积分 解 2 CC A dlxdxxy dy 4 2 2422 0 cos sincossin 4 a aad 4 2 222 00 sin 4 a y x zz SSS A Aa A dSee dSy dSd d xy 1 23 证明 1 2 3r 0r 3 k rk 其中 xyz re xe ye z 为一常矢量 k 证 1 3 xyz r xyz 2 0 xyz eee r xyz xyz 3 设 xxyyz ke ke ke k z 则xyz k rk xk yk z 故 xxyzyxyz zxyz xxyyzz k rek xk yk zek xk yk z xy ek xk yk z z e ke ke kk 1 24 一径向矢量场用 r Fe f r 表示 如果0F 那么函数 f r会有什么特 点 解 在圆柱坐标系中 由 1 d Ff d 0可得 C f C为任意常数 在球坐标系中 由 2 2 1 d Fr f r r dr 0可得 2 C f r r C为任意常数 1 25 给定矢量函数 xy Ee ye x 试求从点 1 2 1 1 P 到点的线积分 2 8 2 1 P C E dl 1 沿抛物线 2 2xy 2 沿连接该两点的直线 这个是保守场吗 E 解 1 22 222 11 2 2614 xy CCC E dlE dxE