第一章集合与不等式教案.doc

教 案 纸 第 44 页一、引入新课请看下列几组例子:(1)1,3,5,7,9； (2),-6,-4,-2,0,2,4,6,；(3)所有正三角形； (4)某车间内所有车床.它们分别是一些物、数、图象等组成的整体，且每个整体中的对象都具有某种共同属性二、新授1-1集合的概念一、集合的基本知识1集合的概念我们把具有某种共同属性的对象的全体称为一个集合.集合中的每一个对象称为集合的元素.如例（1）（2）中集合的元素是数，例（3）中的元素是三角形，例（4）中的元素是车床，集合中的元素可以是各种各样的事物.集合元素具有三个基本特征：(1)元素的确定性：对于任何一个对象都能确定它是不是某一集合的元素.(2)元素的互异性：集合中的元素是各不相同的，相同的两个元素归并到同一集合中的只取其中一个.(3)元素的无序性：在同一集合中不考虑元素之间的顺序.集合通常用大写字母A、B、C、表示，元素通常用小写字母a、b、c、表示.2、几个常用数集如果集合的元素是数，则称为数集.我们已经学过的数集有自然数集、整数集、有理数集和实数集，它们通常用下面的记号表示：全体非整数的集合简称为自然数集，记作N；自然数内不含0的集合称为正整数集，记作N+（或N*）；全体整数的集合简称为整数集，记作Z；全体有理数的集合简称为有理数集，记作Q；全体实数的集合简称为实数集，记作R.如果上述数集中的元素只限于正数，就在集合记号的右下角标以“+”号，如果数集中的元素都是负数，就在集合的右下角标以“”号.如正整数集也可用Z+表示,负有理数集用Q-表示.3、集合的表示方法(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来写在大括号内表示集合的方法.如：引例（1）中所有元素组成的集合可表示1，3，5，7，9；又如：方程的所有解组成的集合可表示为-1，3.当集合的元素很多，不需要或不可能一一列出时，可以写出几个元素，其它的用省略号表示.如引例（2）为所有偶数组成的集合可以表示为，-6，-4，-2，0，2，4，6，.(2)描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号中表示集合的方法.如：引例(3)中集合可表示为正三角形；引例(4)中集合可表示为某车间的车床；又如：方程的所有解组成的集合可表示为 再如：抛物线所有点（）组成的集合可表示为（）|.括号内“|”的左方表示集合所包含元素的一般形式，右方表示集合中元素所具有的特定性质.在实际应用中，我们通常把方程或不等式的所有解组成的集合称为解集.含有有限个元素的集合称为有限集；含有无限个元素的集合称为无限集；只含有一个元素的集合叫做单元素集；不含有任何元素的集合叫做空集，记为有时为了形象地表示一个集合，我们可以画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个非空集合，如图111表示集合A图1114、元素和集合的关系一般地，如果是集合A的元素就记为“A”，读作“属于A”；如果不是集合A的元素，就记为“A”，读作“不属于A”.例如 2N，-3Z ， Q等等.【例1】 用列举法写出下列集合：(1)由不大于7的质数所组成的集合；(2)由大于-3且小于11的偶数所组成的集合.解：(1)2，3，5，7；(2)-2，0，2，4，6，8，10.【例2】 设xR，则集合3，x，x22 x中的x应满足什么条件?解：由集合元素的三个特征可得 即x3，0，1三、小结1、 集合的概念2、几个常用数集3、集合的表示方法4、元素和集合的关系四、练习课本P3 课内练习1五、作业习题册P1 1题 P3 6题一、复习1、集合的概念2、集合的表示法3、元素与集合的关系及符号表示4、几个常用数集二、引入新课已知6的正约数集A=1，2，3，6，8的正约数集B=1，2，4，8，于是6和8的正公约数集是C=1，2.显然，1，2是由A，B的所有公共元素组成的集合.三、新授1-1集合的概念（二）集合的运算1交集定义 设A，B是两个集合，由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集（简称交），记作AB，即ABA且B (111)图112图1-1-2中的阴影部分表示A与B的交集AB.上面的例3中C=AB，由交集的定义和图112可知，AB 既是A的子集，也是B的子集，即： 112）ABA；ABB.显然，对任意一个集合有AAA，A=. （113）求交集的运算称为交运算.【例3】 设A=12的正约数，B=18的正约数，用列举法写出12与18的正公约数集.解：因为A=1，2，3，4，6，12；B=1，2，3，6，9，18.由交的定义知，12与8的正约数集是AB =1，2，3，4，6，121，2，3，6，9，18=1，2，3，6.【例4】 设A=|-3，B=|2,求AB.解:AB=|-3|2=|-32.其几何意义如图113所示 图113【例5】设求.解：2并集【引例】 已知方程2-1=0的解集A=1，-1，方程2-4=0的解集B=2，-2于是方程（2-1）（2-4）=0的解集C是C =1，-1，2，-2。显然，集合C是由属于A 或者属于B的所有元素组成的集合.定义 设A，B是两个集合，由属于A或者属于B的所有元素组成的集合，称为A，B的并集（简称并），记作AB，读着“A并B”，即：AB=|A或B. （114）图114中的阴影部分表示A与B的并集AB. （a） （b）图114由并集的定义和图114可知，集合A 和B都是它们的并集AB的子集，即：AAB BAB （115）显然，对于任何集合A与B ，有AA= A A=A AB=BA. （116）求并集的运算称为并运算.【例6】 设集合A=a，b，c，B=c，b，d，f,求AB.解：AB=a，b，cc，b，d，f =a，b，c，d，f.【例7】 设A=|-23,B=|15, 求AB ,AB.解: AB=|-23|15=|-25.AB=|-23|15 =|13.其几何定义如图116所示.图115三、小结1交集2并集四、练习课本P7 1、3、4 题五、作业习题册P1 第2题 P2 1、9 一、复习 1、集合的表示法 2、交集、并集的概念二、引入观察下列两个集合：A=1，2，3； B=1，2，3，4.可以发现，集合A中的任何一个元素都是集合B的元素.对于集合之间的这种关系。三、新授1-1集合的概念(三)（一）集合之间的关系1集合的包含关系我们给出下面的定义：定义1 设A、B是两个集合，若A 的每一个元素都是B的元素，则称A是B的子集，记作AB（或BA），读作A包含于B（或B包含A）.因此1，2，3是1，2，3，4的子集，可记为1，2，31，2，3，4或1，2，3，41，2，3.对于任何一个非空集合A，由于任何一个元素都属于A本身，所以AA，即任何一个集合都是它本身的子集.由于空集中不含任何元素，所以规定：空集是任何集合A的子集，即A.当A不是B的子集时，记作AB（或BA）.定义2 设A，B是两个集合，若A是B的子集，且至少有一个元素B但A，则称A是B的真子集，记作A B（或BA），读作A真包含于B（或B真包含A）.当A是B的真子集时，可用图形116表示.图116例如：1，2，31，2，3，4.又如,NZ，ZQ，QR等.显然，空集是任何非空集合A 的真子集，即A.【例8】 写出集合0，1，2的所有子集.解：集合0，1，2有三个元素0，1 ，2，它的子集为：空集；任取一个元素组成的子集0，1，2；任取两个元素组成的子集0，1，0，2，1，2；三个元素全取组成的子集0，1，2，以上共有8个子集，其中除集合本身0，1，2外，其余7个都是真子集.从例3可以发现，如果集合有三个元素，则它的子集共有8个，恰好是23，真子集的个数为23-1.可以证明，如果集合有n个元素，则它的子集个数为2n，真子集的个数为2n-1.2、集合的相等关系定义 对于两个集合A和B，如果AB且BA，则称这两个集合相等，记为A=B.例如，设A=2，3，B=，则A=B.3、全集和补集我们研究一些数集时常常在某个给定的集合里进行讨论，例如，方程2-2=0，在实数范围内的解集是-，显然-，是R的子集，对于这样的集合给出下面的定义：定义1 在研究某些集合时，这些集合常常都是一个给定集合的子集，这个给定的集合称为全集，记为U.也就是说，全集包含了我们所研究的集合的全部元素.图117中，长方形表示全集U，图117表示它的子集A.对于长方形中的阴影部分，给出下面的定义：定义2 设U为全集，A为U的子集，则U中所有不属于A的元素组成的集合叫做集合A在集合U中的补集，记为CUA，读作“A在U中的补集”，即 图117CUA=|U且A （117）图1-7长方形中的阴影部分就表示A在U中的补集.注：补集是对全集而言的，因此，即使是同一个集合A ，由于所取的全集不同，它的补集也是不同的.如果U=1，2，3，4，5，6，A=1，3，5，则CUA=2，4，6；如果U =1，3，5，7，9，A=1，3，5，则CUA=7，9.【例9】 设U=|-26,Z,M=|04,Z求CUM.解: U=|-26,Z=-1,0,1,2,3,4,5 M=|10.解：(1)是真实的，正确的，是命题，并且是真命题.(2)是祈使句，不是命题.(3)是错误的，不正确的，是命题，并且是假命题.(4)在没有明确的取值范围时，3+20不是命题.如果改写成“当-时,3+20”，则是命题.（二）充分条件，必要条件，充要条件1、充分条件先看下面的真命题：如果a=b，则a2=b2.这个命题表明了，有了“a=b”，就足以保证“a2=b2”，这时我们称“a=b”是“a2=b2”的充分条件.一般地，设、是两个命题，如果成立，则成立，即（推出），我们就称是的充分条件.例如：b2-4ac0是一元一次方程a2+b+c=0(a0)有实根的充分条件.又如：a=0是ab=0的充分条件.2、必要条件先看下面的真命题：如果两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等.这个命题表明，如“两个三角形的面积不相等”，则“两个三角形一定不全等”.换句话说，要使“两个三角形全等”，就必须“两个三角形的面积相等”，这时我们称“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的必要条件.一般地，如果成立，则成立，即，我们称是的必要条件.例如：“ab0”是“a0，b0”的必要条件.又如：“三角形中有一个角是直角”是“三角形两边的平方和等于第三边的平方”的必要条件.因此，如果，则是的充分条件，是的必要条件.例如：a=0ab=0，“a=0”是“ab=0”的充分条件；“ab=0”是a=0的必要条件.a0 ，b0ab0 ，“ab0”是“a0 b0”的必要条件；“a0 b0”是ab0的充分条件.3、充要条件先看下面的真命题：如果一个圆的两弦等长，那么两弦的弦心距相等.显然“一个圆的两弦等长”是“两弦的弦心距相等”的充分条件，又是必要条件.这时我们称“一个圆的两弦等长”是“两弦的弦心距相等”的充分必要条件（简称充要条件）.例如，b2-4ac=0是一元二次方程a2+b+c=0（a0）有两个相等实根的充要条件.又如：“两个三角形对应角相等“是两个三角形相似”的充要条件.这里要指出的是，有些条件是充分条件但不是必要条件，比如a=-b是a2=b2的充分条件，但不是必要条件；而有些条件是必要条件，但不是充分条件，如a2=b2是a=-b的必要条件，但不是充分条件.四、小结、命题与量词、充分条件、必要条件、充要条件五、练习：10【课内练习】六、作业：习题册41-6一、复习、逻辑命题与命题、几种不等式的解法二、引入数学中除了解不等式之外还会遇到不等式的证明。下面我们将学习这部分的内容。三、新授13不等式的性质（一）、不等式的概念表示两个量之间大小关系的式子，称为不等式.不等式通常是指用“”、“”、“”或“”把两个等式连接起来的式子.不等式号同向的两个不等式,称为同向不等式，例如ab；cd.不等式号异向的两个不等式，称为异向不等式，例如54；a+1,不论a取任何实数，不等式总能成立,这种不等式称为绝对不等式.(2)2-12+,只有当3时,不等式才能成立,这种不等式称为条件不等式.(3)2+2b；如果a-b是负数，那么a0ab；a-b0 ab， bc，那么ac. （132）证明：ab,bc， a-b0，b-c0.a-c=(a-b)+(b-c),a-c0.ac.性质 2如果ab那么a+cb+c. （132） 性质3 如果ab，c0,那么acbc； （134）如果ab，c0,那么acb，a-b0.ac-bc=c(a-b)，c0，ac-bc0，acbc. 第二个结论可用同样的方法证明.推论1 如果ab，cd,那么a+cb+d； （135） 如果ab，cb-d.推论2 如果ab0，cd0，那么acbd. （136）证：ab0，cd0，a-b0，c-d0.ac-bd=(ac-bc)+(bc-bd)=(a-b) c+b(c-d)0，acbd.推论3 如果ab0 那么anbn(n2，nN)； （137）如果ab0 那么(n2，nN). 推论4 如果,那么 （138）【例1】 比较(+1)(+2)与(-3)(+6)的大小.解： (+1)(+2)- (-3)(+6)=（2+3+2）-（2+3-18）=200 (+1)(+2) (-3)(+6).【例2】 已知a0,b0,求证.证：a0 b0，(0,0.所以.这个不等式说明了两个正数a、b算术平均值不小于它的几何平均值.在这个不等式中，当且仅当a=b时，等号成立.这是一个十分重要的不等式，称为均值定理.【例3】 已知ab0, 试判断下列不等式中哪个成立,哪个不成立.(1)a2b2；(2)；(3)；(4).解 ab0，所以(1)不成立.a0，b0，a0,b0， (a-b)20，a+b0, ab0.0.所以原不等式成立.证法二：=，又a2+b22ab，=1.a0，b0，a+b0，所以a+b.在证法一中,我们运用实数大小的性质,即a-b0ab，也就是说，要比较两个代数式的大小，只有看它们的差的正负就可以了，我们称这种证明方法叫作差比较法.用作差比较法证明不等式的一般步骤是作差变形判断符号.在证法二中，我们运用了不等式的性质：ab,c0acbc要比较a和b的大小，先作它们的商，将与1相比较，从而得b与 b的大小关系，我们称这种证明方法叫作商比较法，用作商比较法证明不等式的一般步骤是作商变形判断（ 分析比式的值与1的关系）.2、综合法【例2】 设a、b、c是互不相等的正数，求证.证明：，同理：，.将上面三个不等式两边分别相加得，2（）2(a+b+c)，即.【例3】 若,求证 1-4+-2.证明：0.1-4+=5-4+-42-4=-2，1-4+-2.运用综合法证明不等式常用基本不等式，应注意分段运用或适当恒等变形,要通过练习,不断掌握证明不等式的技巧.3、分析法【例4】 求证.分析：要证，只要（）242,就是证8+2；要证8+2，只要证，即只要证1516.证明：1516，即，2，8+2，即（）22的解集为2，R. 又如：不等式24的解集为2，R.2、区间的概念 定义 设a、bR，且ab(1)数集ab称为开区间，记作（a，b）. （151）(2)数集ab称为闭区间，记作a，b. （152）(3)数集ab称为左开右闭区间，记作（a，b. （153）(4)数集aa=a+，记作（a，+）. （155） (2)数集a=a+，记作a，+). （156） (3)数集b=-b,记作（-，b）. （157） (4)数集b=-b或a0（若a0）解集数轴表示ab(,+a4（7）.解：原不等式可化为 6212154+28， 可化为 6173+28， 可化为 6+328+17， 可化为 345，不等式两边同除以3（注意不等号改变方向），得 15，所以原不等式的解集为（，15）.它在数轴上的表示如图153所示： 图1532、一元一次不等式组的解法几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组.所有这些一元一次不等式的解集的公共部分，称为这个一元一次不等式组的解集. 两个一元一次不等式所组成的一元一次不等式组的解集情况，可以归结为以下四种基本类型.类型（ab）解集数轴表示(b，+)（，a）（a，b） 表152【例2】 解不等式组 解：原不等式可化为 解之得 即14.所以不等式的解集为1，4，在数轴上的表示如图154所示 图154【例3】 解不等式组 7（3-6）+4（17-）40-2（7+3） 21-42+68-432 220（a0）， 或a2+b+0). (二次项系数为负数时,只要将不等式两边同乘以-1,并且把不等号改变方向,就可化为以上形式). 下面我们利用一元二次函数图象来讨论一元二次不等式的解法. 【引例】考察一元二次函数,试作出函数的图象，并指出取何值时 学生画图后,(如图154)经讨论可以得出： (1)当时 (2) 当时 (3) 当时 我们还可以把一元二次函数与一元二次方程及一元二次不等式关联起来看.显然