（应用数学专业论文）具次线性功能反应函数的食饵—捕食者模型的定性分析.pdf

摘要 本学位论文嗣蘧常徽分方稳定经理论翻李甄普诺夫稳定性理论的基本方法， 研究了具次线性功能性反应函数的食饵捕食搿模型的平衡点的全局稳定性，极 限环的存在性和惟一性 本篇论文由五章组成： 第1 漆简述了问题产生的历史背景及研究意义、预备知识和本文的主要工作 第2 露疆究了具功熊髅反应函数的食镑。臻食者一般模型的乎簿点斡溉近性 质，鼹浆蠢赛经，系统浚漆一歪平鬻点静全越豫定经及掇疆环戆存在性，著对鼹 得结论_ i 妻行了数值仿真，捡骏了所得结论的正确性 第3 帮研究了一类食饵为线性密度制约，功能反应函数为次线性函数的食饵 捕食者模型，完整地对模缀的平衡点的全局稳定性和极限环的存在惟一性进行 了定性分析，得到了该系统不存在闭轨线，证平衡点全局稳定和襻在惟一稳定的 极限环的充分条件。 第4 牵分辑了一类食馁躲相对壤长率鼹功戆反应函数均为次线性函数斡食 锤一臻鑫纛摸鍪，通遭分掇，褥臻了该系统的歪平衡点全蘑稳宠帮存在难一裰陵 环的充分蔫件所得结论搬广了已有文献的桶关结果 第5 章讨论一类食饵具常数存放率的功能性反应模型，研究了模型的平衡点 的性态，繇统的全局稳定性，极限环的存在性和唯一性，获得了一系列较为完整 的结沧所得结论改进了融肖文献的结果 关键蔼；次线瞧丞数；功筑镶反应丞数；平舞焘；全嚣夔定性；掇隈甄；存在瞧； 惟一性。 1 i ：一：= ：。= ! ! ：量i ! i ! 鎏慧篓塞垩至茎墼篓釜耋鋈瀵篓茎墼茎：! i ：垒= ! ：! ：。 = ：一： a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，u s i n gt h eq u a l i t a t i v et h e o r ya n ds t a b i l i t yt h e o r yo fo r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，w es t u d yt h eg l o b a l s t a b i l i t yo fe q u i l i b r i u m ，e x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so fl i m i tc y c l ef o r ap r e d a t o r p r e ym o d e lw i t hs u b l i n e a rf u n c t i o n a l r e s p o n s ef u n c t i o n t h i sp a p e ri sc o m p o s e do ff i v ec h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r , w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do fp r o b l e m sw h i c hw i l lb e i n v e s t i g a t e da n dt h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e r a tt h es a m et i m e ，s o m eb a s i ct h e o r y o ft h eq u a l i t m i v et h e o r ya n ds t a b i l i t yt h e o r yo fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o na r e g i v e n i nc h a p t e r2 ，w ed i s c u s st h eg l o b a ls t a b i li t yo fp o s i t i v ee q u i l i b r i u m ，e x i s t e n c e o fl i m i tc y c l ef o rag e n e r a lp r e d a t o r p r e ym o d e lw i t hf u n c t i o n a lr e s p o n s ef u n c t i o n t h et h e o r e t i c a la n a l y s i sa r ev e r i f i e db yn u m e r i c a ls i m u l a t i o n s c h a p t e r3m a i n l yc o n s i d e r sac l a s so fp r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t hs u b l i n e a r f u n c t i o n a l r e s p o n s ef u n c t i o n + w ed e d u c es o m e s u f f i c i e n tc o n d i t i o n s e n s u r i n g s t a b i l i t yo fe q u i l i b r i u m ，n o n e x i s t e n c e ，e x i s t e n c ea sw e l la su n i q u e n e s so ft h el i m i t c y c l ea r o u n dt h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u m t h ep u r p o s eo fc h a p t e r4i st os t u d yap r e d a t o r p r e ym o d e lw i t hs u b l i n e a r f u n c t i o n a lr e s p o n s ef u n c t i o na n ds u b l i n e a rd e n s i t yc o n t r o lf u n c t i o n s o m er e s u l t s d e a l i n gw i t hs t a b i l i t yo fe q u i l i b r i u m ，n o n e x i s t e n c e ，e x i s t e n c ea sw e l la su n i q u e n e s s o ft h el i m i tc y c l ea r o u n dt h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u mo ft h em o d e la r eo b t a i n e d o u r r e s u l t se x t e n ds o m ep r e v i o u sw o r ko fo t h e r sr e s e a r c h e r s i nt h el a s tc h a p t e r ，w ec o n s i d e rap r e d a t o r p r e ym o d e lw i t hs u b l i n e a rf u n c t i o n a l r e s p o n s ef u n c t i o n s u b l i n e a rd e n s i t yc o n t r o lf u n c t i o na n dc o n s t a n ts t o c k i n gr a t e t h e p r o p e r t i e so fe q u i l i b r i u m ，e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h el i m i tc y c l ea r o u n dt h e p o s i t i v ee q u i l i b r i u mi n v e s t i g a t e d o u rr e s u l t sp r o v ea n de x t e n ds o m ee x i s t i n g r e s u l t s k e yw o r d s ：s u b l i n e a rf u n c t i o n ；f u n c t i o n a lr e s p o n s ef u n c t i o n ；e q u i l i b r i u m ； g l o b a ls t a b i l i t y ；l i m i tc y c l e ；e x i s t e n c e ；u n i q u e n e s s 1 1 1 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果。除了文中褥羽热良标注霉l 鞠翦内容终，本论文不包含往霞其 他个人或集体融经发表或撰写的成果作晶。对本文的研究做出重袋贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标赐。本人完全意识到本声明的法律后果 盍本人承担。 作者魏俘雾拜 疆期即g 年。疆 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关傈整、使用学位论文的糯定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件羊口电子版，允许论文被查 阕秘辔阕。本人援龊湖毒大学可敛将本学位论文懿金郄或部分走容缓入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印藏扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。 本学短谂文瓣予 l 、保密口，在年解密盾适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以主穗瘟方椴凌努j ) 作者签名： 嚣耨签名： 再襄掰 铷鸣| 日期：伽名年t 月，0 日 强裁：知彳年朋伽 硕士学位论文 第1 章绪论 。 问题研究戆背景及意义 种群生态学是生态学的一个重要分支，也是与人们的生产和嫩活最密不可分 的学科之一为满足人类自身的生存与发展的需腰，我们必须对释种生物资源进 行合理的开发和科学的管理对种群生态学的研究，主要有以下两个方砥：一是 对秘嚣叁鸯瓣发疑交亿逐行分辗：二是在人为壤素夔影响下，对耱器发矮交化黪 趋势的定性分褥这对于我们实行可持续发袋战略起蔫非常重黉豹佟雳，有着羹 要的理论和现实意义 种群生态学的主要研究对藩之一是食饵一捕食者模型自。上擞纪六十年代以 来，此类模型在国内外已引起众多数学家和生态学家的广泛关注到上世纪八十 年代，瓣食馁一攘食者模型的谤究取褥了较大鹣遴震，具体冕文f 1 - 1 l 】， 硪究食锤一耩食者模整壤重要静数学工具之一是平嚣窥健理论1 1 2 - 1 e 1 与 l i a p u n o v 稳定性理论 1 7 1 由于平面定性理论与乎蕊几何紧密的结合在一起，已形 成了处理平面系统的一套独特的数学方法：i 垃年来，有关利用平丽定性理论研究 生态系统的文献已大量涌现，并陆续出版了一系列专著，见文 1 8 - 2 2 ，广泛的 应用鸷豢捉使这一理论迅速礴p 深入地发展。 。2 食饵一撬食者模型 经典的描述两种群生长过程的食饵一捕食者模型是a l a t k a 和v v o l t e r r a 分别在1 9 2 5 年和1 9 2 7 年所建立的模型 f 雄2 x 8 ) g 一母磅xf 1 1 ) | y ) = l i l t ) i x ( t ) - p l ， 其中x o ) 和y ( t ) 分别表示食饵和捕食者的数量，其中a ，c ，和都是正常数，d 是在没肖捕食者时食饵的增长率，c 是捕食者的捕食率，够是在没有捕食者时捕 食者的死亡率，是食饵转化为拣食者的转化系数 黠予一个确定豹逮域露畜，在浚有臻食考辩，食锤遣是不麓笼疆裁夔壤长酶 琵一个确迩的地域对单穗群离一个最大的容纳懿，描述单种群，圭长过程的数学模 型是所谓的l o g s t i c 方程 x ( r ) = x 0 ) ( 疗一6 霄( r ) ) ， ( 1 2 ) 其次线性砖能厦庶函数妁食饵蠛食者模型的定性分橱 其中疗避种群的增长率，兰是地域对种群的容纳孱厢来人们借搽模型( 1 2 ) ，把 模型( 1 1 ) 修改为 f x p ) 2 x p ) ( 群一溉p 一x ( 1 ，3 ) | y ( f ) ；t y ( o x ( t ) 一】 关予上述备攘黧静结祭爵参阕文献 卜4 ，1 8 - 2 i3 ， 在食饵一捕食者模型中，具功能性反应的食饵一捕食者模型楚类非常熏要并 鼠具有广泛背景的模擞，它的一般形式可表为： f 1x ( f ) = x ( f ) g ( 蔗0 ) ) 一y ( t ) f p ( x ( f ) ) ， ) 。j ，o ) - d + e c p ( 删， 疆4 ) l 其中谶缕函数g ( x ) 为食饵种群的相对增长率，妒0 ) 是捕食卷的功能授应函数，它 表示在荦个捕食者的情形下，食饵的数量关予时闷的变化窜，许多数学工作者辩 翼各静不鞠戆秘能反应函数豹獯鍪( t 。4 ) 迸抒。r 研究，蠡文献 3 - 1 1 等，h o l i n g 在文 3 以及f r e e d m a n 和w o l k o w i c z 在文 1 1 】中绘蹦了功能反应函数应潢是的条 件，最常见的功能反皮函数有以下几种： 、| 搿0 s x 蔓工。， ( 1 ) e ( x ) = ” l c x ox 南； ( 2 ) 烈玲= ? 坠； 3 ) 删= 羔； ( 4 ) 妒( 功：- 生 + ，默+ 0 9 x 。 对以上四种不问的功能反廒函数所对应的食饵一捕食者模塑，国内外很多学者进 行了牵有成效酌磅究，觅文 3 - - 1 1 ，2 3 3 5 ，其中，文 2 6 】珏最大容绡量做为分支 参数，在比较般的假设条l 牛下，w o l k o w i c z 对系统( 1 ，4 ) 的动力学褥为进行了砚 究，证明了系统( 1 4 ) 具有十分丰富的动力学行为，如犀宿分岔现象。同时文 2 6 指密，系绞( 1 。4 ) 爵憝还春在越骚器霹次貉赛熬t t o p f 分岔瑷象，翅巢存在次稳癸 熬h o p f 分象，刚努定蠢一个竣大容继量，馁褥系统( 1 4 ) 鼗对蹬璎羧限环鞍结分 前，并且参数在一定的范围之内，系统( 1 ，4 ) 至少存在两个极限环从文 2 6 的 分轿可以看崮，系统( 4 1 ) 的动力学彳亍为对功畿反盛函数露着徽强的依赖型，另 外文 2 9 】在不网子文 2 6 的功能反应函数下，对系绫( i 。4 ) 的动力学行为进幸亍了 硕士学位论文 磁究，发蕊系统( 1 。4 ) 有羞雾露笺杂豹动力学毒亍灸。戴翅注意弱已袁瓣文献考虑 的功能反应函数多为h o l l i n g i 、i i 、i i i 、i v 类或食诲具有较强的群体防御能力 的模型1 3 0 。”饭对于食饵或捕食者的相对增长率为凝他非线性函数，如功能反应 函数为次线性函数缸4 ( o 卢 0 ，善0 ；哪) = g 批 = 抽，冀审g = g ( x ) d x ； g ( x ) 连续且在任何有限区间内满足l i p s c h i t z 条件； ( i i ) f ( x ) 连续；当x 增力玎时，器不下降( 删) ，( 。，咄器在一。的邻域 蠹不瞧舞0 ，坤) 0 为捕食者的自然死亡率，e 0 为转化系数 基于模型( 2 1 豹生态懑义，我们簿佟魏下缀设：设g ( 苫，妒( x ) 兵意一除连续 导数并且满足如下条件； ( ，) g ( o ) 一o - o ，g ( x ) 0 ，使得苫( 掰) = 0 ； ( a 2 ) 妒( o ) = 0 ，且当x 0 时，0 p ( z ) 0 条件( a ，) 的生态意义可以解释为：在没有捕食者的情况下，食饵的自然增长率将随 蓑其大，j 、懿增搬薅减少，且囊正毽变为受篷，鄹在食键穆群蠹部存在善出予资源 限制而引越的种内竞争，因而即使没有捕食者，食饵种群的数量( 或密度) 也不 可熊无限羹鏊增长，当食饵释辩的数爨( 或密度) 超逮一定靛程度辩，港长率为负， 条件( a ，) 的生态意义可以解释为：随着食饵种群的数量( 或襁度) 的增加，捕食者 韵套然增长率( - d + 邻堰x ) ) 也增大，艇离负值变成正值 通过麓荜静分帮亍可以发现：模型2 1 ) 在吞= ( 墨蚓x o ，y o 上有两个平衡点： ( o ，0 ，( c o , o ) ，或三个平囊点；0 , 0 ) ，甜) ，嘞，y o ) 。其中国由方程g ( c o ) = e 鼹确 定，( x o ，y 。) 为模趔( 2 1 ) 在g * z ，y ) k o ，y 0 内的惟正平衡点，且可由下列方 程绦： x o g ( x o ) 一y o 烈x o ) = 0 ，一d 十e o ( x o ) = 0 解褥 南可1 t 与e 确= 错 钟i 工。l 当国，模型( 2 1 ) 在舀= 蕊x ，y ) l x o ，y o 上只有两个平衡点；( o ，o ) ，扣，o ) ； 当 珊，模型( 2 1 ) 在弓= ( x ，y ) l x o ，) ，o 上存在三个平衡点：( o o ) ，o ) - 6 - 赫，y o ) 本鬻我们将研究模型( 2 1 ) 的平衡点邻近的轨线的性质，平衡点的稳定性和极 限环的存在性 2 。1 平衡点的稳定性粒解懿鸯赛性 出予线性纯方法是磷究非线性系统的平衡点性态的有效方法，我 f j 先把模型 ( 2 1 ) 在平衡点o * ，y * ) 进行线性化得： r x = 只( 玳y + ) 并+ g ( 玳少) y ，( 2 2 ) t y = g x 4 ，y 弦+ q ；。，矿岁， 其中 g 如力= 菩扭) + 增( 磅一妒涉，只如力= 一缓茗) ， 蛾( x ，y ) = e y | i o ( x ) ，q ： 0 ，毋为鞍点；一d + 碳国 0 ，如= d ，则o ( 0 0 烈) = 旦， 即磊= 一露+ e 赋国p o ，必时拉，o ) 秀鞍点；装( 0 ( a 0 0 ，此时彩，为稳定静结点 ( 3 ) 模型( 2 1 ) 在( x 。，甄) 点的线性化方程为： 主= g ( x o ) + x o g ( x o ) 一p ( ) 甄】x - 妒( ) 乃( 2 5 ) i y = e y 。矽( 两) x ， 其次线性功能反府函数的禽饵捕食者模型的定性分析 矮特征方程为： 一溆岛+ x o g ( x o 一铷。弼弘秽。娥瓢) 妒硌o = 嵇。 联以，当x e ) + x o g ( ) 一( x o ) y e 】 o 的轨线o p 九联伪，濑系统( 2 1 ) 静解酌僚经可知 ( x ( f ) ，y ( ) ) g 。为了磷究系绫( 2 1 ) 瓣正乎簿点瓯，y o ) 豹稳定性，我们梅造l i a p t m o v 函数： m 溯= ：等教+ ，其师棚渤p 。护。 ， 我们可阻证嚼v ( x ，y ) 在g 肉怒定芷的。 事实上， p 妒( x ) 一d 口妒( x o ) 一d = 0当并 x o 时成立， e c a ( x ) - d o 虽x 成立 蚝 搿x 丽时注意弼 f 羔二蚴0对y o 嚣y 譬甄藏立 掰以 v ( x ，y ) o ，其中( x ，y ) 仨g ( x o ，y o ) ) ，v ( x 。，y o ) # 0 沿系统( 2 1 ) 的轨线求导数霉a tk ”得 d v l0 v ( 矛vd y - j h 。m 。i 面+ 面。面 咖) 。 鬻j - 注意魏i 枣卖 碗士举位论文 缸叫。如b 舔吖o ) 离_ 。卜 缓以 靴。) o ，y 0 ) 的解题有界的 证明 因为直线x = o 和y = o 是系统( 2 1 ) 的解，由解的惟一性知：系统( 2 1 ) 的所商 满足正视始条件的解不超出g = ( 溉y 舾 0 , y o ， 羲宠，我们证明0 静鸯界糕，分嚣耪情形燕隘讨论： 耩形( 1 ) ：当0 掰时，有x ( t ) o ，x 秘) 是 攀邂递减戆，黥虢豫 x ( o 怼餐慧瓣t 8 残立，瑗嚣蹲有赛。 葜次我翻证明孵) 豹袁赛经，令舞= 麟f ) + y f ) ，剿对t 2 0 有 = e x ( t ) + 坤) = e x g ( x ) 一e y e ( x ) + 卜咖+ q y 妒( x ) ) = e x g ( x ) 一a y = e x g ( x ) + d e x d ( y + e x ) 印一d ( y + e x ) = r 一d h ( t ) 所以 矗( 。【e o ) + y ( o ) l e x p ( - d t ) 一e x p ( - d o 1 ) l “t e ，岁t 国一吾+ 詈= 膨。 霸| 此翔：爽f ) 有界霞韭乏系统( 2 。1 ，麴掰有满足( o ) ，y ( o ) ) g 翡勰憝蠢爨的， 具谈线性功能反麻函数的食饵一捕食苔模型的定性分析 幽雩f 理2 ，1 ，定理2 ，2 我们有如下结果 定理2 3 当d + e 妒( ) 0 ，( 粕) 0 ，且条件( a 1 ) 、( a 2 ) 成立，则系统( 2 。6 ) 在 k x ，y ) k o , y 0 内围绕( ，y o ) 至少存在一个稳定的极限环 证明为了对正平衡点( x 。，y 。) 的稳定性进行分析，我们取( x 0 ，y 。) 的某个邻域 u c g ，使得x ) 0 对( x ，y ) u 成立构造l i a p u n o v 函数 v ( x , y ) 。# 【p ( x ) - ，吠、x o ) d r + f 2 岛，x ，罗) u 粕 烈x y 显然 ，】羔二一0 对y o 且y y 。成立， 叶o _ y 弼对注意餮 0 一x 。x 妒( 芏) 一妒( x o ) ) 0 对x x 0 月立 闲忿对x ，力芒秽、襄确，甄) ，羧翻有联而y 0 ，盈v ( x 。，甄) = 0 。 对于( x ，y ) u ，下面淤系统( 2 6 ) 求警l ：脚，褥 d v io vd x8 v 咖 i 协，。夏i + i 磊 硕上学位论文 = e 汰砖一碳x 。羹- 眵善) 一焉霹 2 g 妒( 善) 妒1 f ) 0 - - x 。) 2 ， 出缈n ) 在u 内满足妒o ) 。可知：警k 6 ) 。不难发现筹f ( 2 。，= o 的集合上除了 ( x o ，y o ) 雏无熬条轨线，由克拉索夫斯基不稳定定理知；( x o ，y o ) 为不稳定点，所以 ( x o ，y o ) 可终为p o i n c a r e b e n d i x s o n 环城戆内凌赛线 现构逡p o i n c a r e b e n d i x s o n 环城的外境界线l ，并讨论系统( 2 ，6 ) 穿过边界酶 轨线的走向 p o i n e a r e b e n d i x s o n 环域的外境界线l 由如下线段构成： 上i = x = 0 ，乏= 1 y = o 均为系统( 2 ，6 ) 的轨线； l 3 兰x 彩枯0 ，0 y a ，蒸中a = l 孽暇篁) ， 托l 南芦l 沿系统( 2 6 ) 的解在三3 上求导得； 鲁k ，= i d x b = 删小o ， 因此，l ，= x 一彩= 0 ，0 _ 时， 罢| f 3 ， 爿再过 ，嚣) 作水平线段ls ：三，s y b = 0 ，则潜系统( 2 6 ) 的解在l 上求导可得： d l 5 ：旷警| 瑚= 螂碉 ，丽使褥当x 对有妒( x ) 以确) = 辫，丽挖穿过厶的 轨线从上至下现讨论系统( 2 6 ) 穿过l 。的轨线的走向，为此我们比较系统( 2 6 ) 和系统( 2 7 ) 在正。上的方向场在l 上， x | 2 固= 钗x ) 耖8 ) 一y l o ，y o 爽围绕盖。，鞠) 至少存在一个稳定约搬限环。 jl y 五5 嚣 ： 、 f ， ，d 、 时l 叫，l j 三 d 。j y o 厶 o 2x o c o并 图2 tp o i n c a r e - b e n d i x s o n 环域 2 。3 数值仿冀 铡2 。1 考惑下列系统 r j x 。x ( 4 - x ) 一吠x ) _ y ，( 2 8 ) l y ：y ( 石) 一1 ) ， 其中p ( x ) = ：工o o ，y o 内有惟的 正平衡点( 1 ，3 ) ，注意到g ( x ) = 4 一x ，因此g ( o ) = 4 0 ，g7 ( 茁) = - 1 。，使褥g ( 4 ) = o ；又因妒( 玲= ：茹0 。时， 妒取) 0 ；0 o 内有惟一的难平衡点( 1 ，3 ) ，注意到g ( 戈) = 4 一x ， 因此g ( o ) ；4 0 ，9 7 ( x ) = - 1 o ，使得g ( 4 ) = 0 ； ” 妒和) = i 生，掰淤妒 = o ，且当x o 辩，妒善0 ，0 0 ，滋鞋系统( 2 9 ) 滚建定麓2 5 的条件，因蕊系统( 2 。9 ) 在g 二 肉至少荐程一个稳定懿搬限醛潮2 3 是利用m a t l a b 所谗翡数德仿粪 ，”、k | 杉警跫、。、0 9j 冀j ：。 j ，矿n 昱乏拶 一一一一一“7 圈2 3 系统( 2 。9 ) 的数馕嵇真相圈 鲂船 尝心 一喉 弘 + 彗、 其敬线性功能反应函数的食饵捕食者模型的定性分析 第3 章食饵具线性密度制约的功能反应模型 的定性分析 考虑下列食饵的内禀自然增长率为线性密度制约，功能反应函数为h2 的食饵 捕食者模型： 段： 并以x ，y 分别表示；，歹，则系统( 3 1 ) 有如下等价彤式： 枉i 篡量 其中口：旦 o 托c f 31 1 令x = x ，如= y 基于系统的生态意义，我们仅在o = & x ，y ) k o , y o 中进行讨论 3 1 平衡点分析 ( 3 2 ) 系统( 3 2 ) 可能存在的平衡点为( ) ( o ，0 ) ，肘( ；，o ) ，( ，扣一6 卢2 ) ) 当日叩z 时，系统( 3 2 ) 在o = b ，y ) 卜o ，y 2o ) 上仅存在两个平衡点，它们是 o ( o ，o ) ，m ( ；，o ) ：当日 印2 时，系统t 3 - 2 ) 在。= r x ，y 牡o ，y o 存在三个平衡 点为o l o ，0 ) ，硝( ； o ) ，t 2 ，芦n 一驴2 ) ) - 为了利用线性化方法研究系统( 3 2 ) 的平衡点的类型，我们融 为了利用线性化方法研究系统( 3 2 ) 的平衡点的类型，我们记 h = a pa p 知卸 a qa q 衙却 磷士学位论文 = = = = ! ! = = = = = = = ! = ! = ! = = ! = _ _ i i i ii i i 则我们可以利用豆研究系统( 3 2 ) 在8 内的平衡点的性态 蓠先考虑乎褥点o ( o ，0 ) ，易计算珏在状o 秘鹣行列式渍足 弧撬= 富爿一嬲 静迹 t r 日k = 一n 十p ( 一+ ( 导) i ) 当口 0 ，飘t r 0 ， t r h = 妻o - 3 b f l 2 ) =一：。墼黧篁鎏墼堡堡墼墼i!塑塞篓羹鍪塑!：!i塑：。=：。：=。：! ( 3 ) 当甜 6 2 时，m 为鞍点；且当群一3 够2 0 时，n 为不稳定的焦( 结) 点； 瑟a - 3 b , 8 2 0 时，n 老稳定麴焦( 结) 点 下褥我们利鞴p o i n c a r e b e n d i x s o n 环域来研究系绕( 3 2 ) 在0 内以( x ( 0 x y ( o ) ) 为初值 的解的有器控 引理3 2 系统( 3 2 ) 从0 内任意点p ( x ( 0 ) ，y ( 0 ”出发的解均有界， 锻明 令；= m a x 如) ，q lg j 份塞线l 3 * 苫一王；0 ， 则觐( 吵昙吼 百d l 3k ，* x ( a - b ；o x 知 当x ( o ) 垒时， 日 瓤。一删， 0 ) l y 人 l 五1 ， k 叫 r 一 o l 2 xx 喇3 1p o i n c a 心- b e n d j x s o n 耶域 3 2 闭轨线的举存在性 由于系统( 3 1 ) 以( x ( o ) ，y ( o ) ) g = ( x ，y ) 降 0 , y o 为起点的轨线只能在g 中， i+。 当x 0 涎，毽藏可以 睾交蔌x 2 = 毒，y = y ，并爨暖x , y 分爨表示x , y ，潮系统3 1 可化为： 品雄i c 2 x 2 ) _ 勺弱3 萄 l y = ，( 一d + e k x ) ， c i = 兰，q = 兰，c 3 = 孝为正常数+ 再令x = 姜；，y = 去歹，并仍以x ，y 分别表示；，歹， 慰系统( 3 3 ) 可纯为： j 肛烈a i - a 2 x 2 ) - y 8 p ( x ) ，( 3 4 ) l y = 蠢。岁( 一l + 匐= - - q ( x , y ) ， 其中a = d ，爿。= i a ，4 。= 兰( 晏) 2 均为正的常数我们在g = ( x ，y 牡 。，y 。 内讨 论阏辘线懿毒在梭 定瑷3 2 当a 2 a ls 3 4 ：对，系统( 3 4 ) 不存在全部位于g 态的阉轨线，氇不存 在全部位于g 内熊上有有限个平衡点的奇异闭轨线 证明取d u l a c 函数b ( x ，y ) 一y 7 ，由系统( 3 4 ) 有 掣+ 掌：y r 融一3 a 2 x ：+ ( 1 + ，) 名扩( 1 + ，) a 1 6 *d v 具次线性功熊反斑亟数躲蛮俘捕食者楼壁静定性势析 = 船= 然= 篁兰= 端= 然竺= 拦! 燃竺烹= = 耀= 竺= 等2 = 颦= 竺= 毫：= = 絮= =：= ：= ! 燃：= ：= ! ：= ：! 一 记 妒( x ) = a l 一3 a 2 x 2 + ( 1 + ，) a 。x ( 1 十r ) 心，贝4 烈1 ) = a l 一3 a 2 0 ，习n 证茗= 1 为妒( x ) 的 最大值点因为妒( x ) = - 6 a 2 x + * 4 0 ( r + 1 ) ，则当a o p + 1 ) = 6 a 2 时，x = l 为舻x ) 的驻点， 而妒。( z ) = 一6 a 2 0 ，即妒( 1 ) = 一6 a 2 的最大值点，因此 警+笔堡0滏dul定理，当a2a，3_：时，系统(34)在嚣躐g肉无闭轨o廊v 线 注意到系统( 3 4 ) 中所满足的条件a 2 a ，3 a ：与系统( 3 2 ) 中所满足的条 件b f l 2 a 3 b f l 2 等价，因此，对于系统( 3 2 ) 我们的如下结论： 定理3 3 当卵2 堡矗笋，粥警 f 3 ：) 3 b f l2 时， n ( f 1 2 ，f l ( a b f l 2 ) ) 为系统( 3 2 ) 不稳定的焦( 结) 点，由p o i n c a r e b e n d i x s o n 环域定 理知：所以系统( 3 2 ) 绕n ( f 1 2 ，f l ( a b f l2 ) ) 至少存在一个稳定的极限环 硕上学位论文 ，。 。 厶 合 厶 1 h r， o 三： 詈 ， 图3 2p o i n c a r e b e n d i x s o n 环域 定理3 5 若a 3 b f l 2 ，则系统( 3 2 ) 绕n ( p 2 ，p ( a b p 2 ) ) 至多存在一个稳定的极限环 i i f _ 日f l 由3 2 节的变换我们知道系统( 3 2 ) 与系统( 3 4 ) 在g = g x ，y ) l x o ，y o 内等 价，系统( 3 2 ) 在g = ( a y ) l x 0 , y 0 内的惟一正平衡点n ( f 1 2p t a b p 2 ”变成了系 统( 3 4 ) 在g = i x ，y ) l x o , y o 内的惟一正平衡点因1 ( 1 ，a 一a ：) ，因此我们就系统 ( 3 4 1 来讨论极限环的惟一性 设y o = a l a 2 ，对系统( 3 4 ) 作变换：x = x 一1 ，y = y y 。，并仍以x ，y