要不要绕开相差关系(小学教学2009年12期).doc

要不要绕开“相差关系”苏州工业园区星海学校 彭永新 严林妹一位教师准备上六上认识比的公开课，试教中他的一个教学处理引起了大家的争议。现将他的教学片段介绍如下：师：同学们，爱美之心人皆有之。美在我们生活中可以是随处可见。比如，我们苏州园林，小桥流水，厅堂楼阁，无处不散发着美的韵味。在我们数学上，也存在美。比如，我们常见的长方形。请大家看（课件呈现如下：） 师：这里有一些长方形，你觉得哪一张最美。你会欣赏吗？ 师：好，现在我们来做个现场统计，看看我们班大多数人最欣赏的长方形是什么样的？现场举手统计：大部分学生都认为2号长方形比较美。 师：好了，现在结果已经出来了。说说你们选择的理由，它美在什么地方？指名学生回答（略）。师：像这样的长方形，它的长和宽之间有着怎样的关系呢？先独立思考，然后同桌之间相互商量一下。有什么发现？学生讨论，然后汇报:生:长是宽的倍。师:你是怎么知道的？生1:32=。（课件出示:长是宽的，同时板书:32=），64=师:长是宽的还可以怎样说？生2:宽是长的。（板书:23=）生3：长比宽长1厘米，或者说宽比长短1厘米。师：这样说可以吗？这时学生间产生了争议，有的说行，有的说不行。师：大家想想看，如果把这个图形（3号图形）放大，长变成6厘米，宽是几厘米呢？生4：应该是4厘米。师：这样的长方形，我们还能说长比宽多1厘米吗？生齐：不能！师：对，在这里我们要描述最美长方形的长和宽之间的关系，我们可以用倍数关系或者分数关系来描述。数学上，也可以用比的方法来表述，比如长是宽的，我们也可以说成长和宽的比是3比2这种方法，叫做比的方法，这节课我们来“认识比”（板书课题）围绕这节课的教学，备课组老师进行了分析研讨。首先是执教者的教学意图解释。执教者认为，比的关系，其实是学生原有认知结构中“倍数关系”的“变式”，它与相差关系根本就没有关系。但试教中学生总是出现相差关系，就拿2号图形来说，有学生在表述长和宽之间的关系时会认为长比宽多1厘米。这种说法就一个图来说，并没有错误，但这种说法与比的意义风马牛不相及。因此，我在教学中就紧紧扣住倍数关系和分数关系来引导学生分析长和宽之间的关系，通过放大图形促使学生借助生活中的扩大比例而图形不变形这个生活经验来排除相差关系，调整了原有的认知结构状态，这样就为理解和接纳“比”做好了较好的学习准备。对这样的教学处理，大多数老师认为很有新意，教师从“比比哪个长方形最美”，引起学生学习的好奇心，为新课的学习设计了悬念。同时这里让学生借助长方形变形的生活经验，分析并理解“最美的长方形的长和宽的关系”，促使学生主动地寻找已有知识经验来支撑，主动排除“相差关系”的干扰，积极地将比的认识与倍数、分数知识恰当地联系起来，凸显比的逻辑意义。但也有人认为执教者改变课本例题，故意绕开“相差关系”，这样的教学安排是否真正有利于学生将“比的意义”与已有的知识经验联结和区分。教材（苏教版六上）是通过“2杯果汁和3杯牛奶”这个情景图，提出“怎样表示两个数量之间的关系”这一开放的问题。帮助学生在“相差关系”和“倍数关系”这两种已有的认知联系中“遴选”出：果汁的杯数相当于牛奶的，也可以说果汁与牛奶杯数的比是2比3；由牛奶的杯数相当于果汁的，也可以说牛奶与果汁杯数的比是3比2。这样的安排有利于学生完整地认识“比”的真正内涵。换句话讲，教学比的认识，其实是一种接受式教学，没有必要让学生开展探究式教学活动。不难看出，上面教师的争论焦点在于学生对“比的认识”需不需要绕开“相差关系”这一问题。要回答这一问题，我们需要从比的知识体系和学生对比的认识过程中的学习心理这两个维度来分析。 比是数学中的一个重要概念，两个数相除又叫做两个数的比。比的概念实质是对两个数量进行比较，两个同类量的比，表示的是它们之间的倍数关系；两个不同类量的比，表示的是第三种量，如路程和时间的比表示单位时间所行的路程（即速度）。虽然比与除法、分数有着密切的关系，但对学生来说还是比较陌生，理解比的意义往往比较困难。而生活中也有各种比的形式，有的“比”却不是数学上的“比”，比如足球比赛得分比，其实是两队得分之间的差。这些生活经验对学生认识比概念，自然会产生或多或少的干扰。从这个意义上讲，相差关系是学生认识比概念过程中绕不开的旧知识。那么是不是我们就不可以采用探究式教学思路了吗？我认为也不能这样说。不可否认，在一般的教学中，通过教师提问、作出解释，学生也能理解和接受“比”，但这样的学习过程中学生处于被动的接受状态，缺少参与的积极性和探究的主动性。而本节课教者利用“比比哪个长方形最美”引导学生用数学语言描述最美长方形的长和宽之间关系，有利于学生的认知心智趋向倍数关系或者分数关系发展。那么我们又该怎样面对学生固有的“相差关系”呢？从本节课的实况来看，教师明显缺乏应对的从容。原因是学生头脑里缺少直观的支撑，让学生想象“把长方形放大”，对有的学生而言还是比较困难的。更重要的是，学生对长方形按比例放大，用肉眼并不容易细微地看出是否变形（因为学生还没有学过比例知识）。基于这样的分析，我们建议不妨将原来长方形图形改变为具体的情景照片，比如呈现三张用不同镜头拍摄的学校图片。在学生分析最美照片的长和宽之间关系后，再次呈现4、5号两张放大图片：其中一张为按倍数关系放大的图片比如长6厘米宽4厘米，另一张为按相差关系放大的图片比如长6厘米宽5厘米。当然教师课前应准备根据不同照片的放大图，根据学生的具体情况灵活选择），然后组织学生观察比较“哪一张放大图片符合刚才的审美标准”。很显然，按倍数关系放大图片形状和内容都不会走样，而按相差关系放大的图片，形状和内容都会走形（内容会明显偏瘦），这样就使得学生对长方形长和宽的关系产生极强的视觉效果，而会主动排除“相差关系”的干扰。同时值得注意的是，学生在认识长和宽的过程中有可能不自觉地回避“相差关系”。但出现这样的情况，并不表示学生就已经真正弱化“相差关系”的影响。我们认为此种情况下，教师仍有必要适时提出并引导学生讨论：“如果用长比宽多1厘米来表示最美照片长和宽的关系，行不行呢”这样的问题，把学生内隐的认知经验凸显出来，再经过对4、5号图形和2号图形的观察比较中感悟相差关系的不适切，从而体会引