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计算方法导学 欢迎顾览计算方法导学，在这里，你将对本课程及其学习要求得到了解。相关介绍、分析和建议或许于你有所助益。一、课程基本介绍计算方法是随着计算机产生发展而建立的一个重要数学分支，其性质是研究建立应用计算机解决各种数学问题的数值计算方法与理论；任务是提供计算机上实际可行的、理论可靠的，计算复杂性好的各种常用算法；内容主要包括数值逼近，数值代数，微分方程数值解法等。计算方法既具有理论上的高度抽象性与严密逻辑性，又具有应用的广泛性和高度技术性。计算方法课程是中央电大理科数学与应用数学(本科)的一门必修课程，安排在第五学期学习。54学时，3学分。内容有数值逼近，讨论数值逼近的一些理论和方法；数值代数，着重阐述解线性方程组的直接法和迭代法，数值积分，非线性方程求根等；微分方程的数值解，讲述单步法和多步法等常用的方法和收敛性等概念。二、教学的学习要求及课程进程安排表学习计算方法课程应达到要求：了解数值计算方法的作用特点与基本思想，了解每个算法建立的数学背景和数学原理，掌握每个算法的适用范围，使用条件和计算公式，并能熟练应用于解实际问题；通过对各种算法的理论分析及推理论证方法的学习，提高学生逻辑思维和论证问题能力；通过主要算法公式与算法设计思路的学习，使学生能用自然记号或图示方法或程序表达算法，为利用计算机解决实际数学问题奠定良好基础。在教学要求中，对数值算法中的有关定义、定理、性质、特征等概念的内容按“知道、了解和理解”三层次要求；对数值算法中的有关应用范围，使用条件，计算公式等内容按“了解，掌握，熟练掌握”三个层次要求。3学分54学时教学安排表项目内容课内学时IP学时备注误差第一章 误差32 数值逼近第二章 插值与逼近108 第三章 数值积分64 数值代数第四章 线性方程组直接解法86 第五章 线性方程组迭代解法86 第六章 求矩阵特征值与特征向量54 第七章 非线性方程求根86 微分方程数值解第八章 常微分方程数值解法64 合 计5440 三、学习环节与考核1.学习引导计算方法，研究求解各种数学问题的数值计算方法。学员在学习过程中应把握三个主脉：数值计算方法近似计算公式、迭代公式；数值计算方法所基于的基本原理；误差估计（如余项估计）数值计算的合理性、计算所达到的精度。 对于数值计算方法，可这样做：学会多做练习掌握；对于数值计算方法所基于的基本原理，需有微积分、高等代数及常微分方程的知识，多做练习，熟悉理解； 对于误差估计数值计算的合理性，要理解原理，掌握常用误差估计。 2.教材、媒体资料本课程采用教材为高益民主编的计算方法（，中央电大出版社出版）。主教材与辅导教材合一。文字教材编写体例是主教材讲授课程内容，辅导教材总结主教材的主要概念和公式，进行疑难解析，并通过典型例题介绍解题方法提高学生的解题能力。录像课有18讲，另有2讲期末复习课。由高益民教授主讲。本课程的IP教材为“计算方法”，是课程部分内容的系统讲授。IP课程学时为36由高益民教授主讲。3.自学自学是电大学生获得知识的重要方式，自学能力的培养也是远程开放高等教育的目的之一，学员要注意对自身自学能力的培养。学生可以通过自学，收看IP课程、直播课堂和网上教学辅导等方式进行学习，各地可以采用灵活多样的助学方式，帮助学生学习。4面授助学面授助学要服务于教学大纲、文字教材或IP课程，可以采用讲解、讨论、答疑等方式，通过解题思路分析，基本方法训练，培养学生基本运算的能力和分析、解决问题的能力。5.作业独立完成作业是学生学好本课程的必经之路。作业内容以教材中的习题为主，通过这些练习题加深对课程中概念的理解，熟悉各种基本解题方法，达到消化、掌握所学知识的目的。6. 期末考试期末考试中央电大统一出复习考试大纲和要求，全国统一命题，统一评分标准，统一考试时间，学生的本课程成绩以期末考试成绩为准。阶段测验可根据教学情况由各地电大自行安排。四、 教学内容与要求一、误差 (3学时)(一)教学内容 1误差及其来源； 2误差和有效数字； 3误差的传播。 重点: 误差和有效数字 难点: 误差的传播 (二)教学要求 1知道误差及其主要来源，误差传播。 2掌握误差(绝对误差、相对误差)和有效数字及其求法。 二、插值与逼近 (10学时) (一)教学内容 1拉格朗日插值 插值多项式的存在唯一性，拉格朗日插值多项式及其余项。 2牛顿插值 差商及其性质，牛顿插值多项式及余项。 3埃尔米特插值 埃尔米特插值多项式的构造及余项。 4最小二乘法 最小二乘多项式，矛盾方程组最小二乘解。 重点: 拉格朗日插值多项式，牛顿插值多项式。 难点: 最小二乘法 (二)教学要求 1知道三种插值法的基本思想，它们之间的区别与联系。 2掌握三种插值公式及其余项，熟练掌握用插值方法解一些简单问题。 3知道最小二乘法的基本思想，熟练掌握求最小二乘多项式与矛盾方程组最小二乘解的方法。 三、数值积分 (6学时) (一)教学内容 1内插求积公式 牛顿柯特斯公式，代数精度，梯形公式及其余项。辛卜生公式其及余项。 2复化梯形、辛卜生公式 复化梯形公式及其余项，复化辛卜生公式及其余项，龙贝格积分法。 重点: 复化梯形公式 难点: 龙贝格积分法 (二)教学要求 1知道内插求积公式的基本思想和构造内插求积公式的方法。 2掌握代数精度概念及求一个求积公式代数精度的方法。 3了解梯形、复化梯形公式及其余项，辛卜生、复化辛卜生公式及其余项，熟练掌握运用它们求给定积分近似值。 四、线性方程组直接解法 (8学时) (一)教学内容 1消元法 简单消元法，列主元消元法，全主元消元法。 2矩阵的三角分解 简单消元法与矩阵三角分解，主元消元法与矩阵三角分解，矩阵三角分解的条件及形式。 3紧凑格式 紧凑格式的使用条件，计算公式，特殊矩阵的简化形式。 重点: 列主元消元法，紧凑格式。 难点: 紧凑格式 (二)教学要求 1知道简单消元法、主元消元法、紧凑格式的基本思想和使用条件 2知道矩阵的三角分解 3熟练掌握用列主元消元法和紧凑格式解方程组的方法与步骤。 五、线性方程组的迭代解法 (8学时) (一)教学内容 1向量与矩阵的范数 向量、矩阵范数及其性质，谱半径，条件数。 2雅可比迭代法 雅可比法迭代公式，迭代法及收敛性，雅可比法收敛的充分条件。 3高斯-塞德尔迭代法 高斯塞德尔法迭代公式，收敛充分条件。 重点: 雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法。 难点: 高斯-塞德尔迭代法 (二)教学要求 1知道迭代法的基本思想，收敛性，雅可比法与高斯-塞德尔法的区别与联系，向量与矩阵范数。 2了解迭代法的收敛性，向量与矩阵的范数及其性质，谱半径，条件数。 3掌握雅可比迭代法、高斯-塞德尔的迭代公式和常用收敛充分条件，熟练掌握用它们解方程组。 六、求矩阵特征值与特征向量 (5学时) (一)教学内容 1乘幂法与反幂法 乘幂法的基本思想，计算公式，加速及反幂法。 2对称阵的雅可比法 雅可比法的基本思想，计算方法，收敛性。 重点: 乘幂法，对称阵的雅可比法。 难点: 对称阵的雅可比法 (二)教学要求 1了解乘幂法、反幂法、雅可比法的基本思想及收敛性及使用范围。 2掌握乘幂法、反幂法、雅可比法的计算公式，熟练掌握用乘幂法、雅可比法求矩阵特征值与特征向量。 七、非线性方程求根 (8学时) (一)教学内容 1区间二分法 根的隔离，区间二分法。 2弦截法 弦截法基本思想，单点弦法迭代公式及收敛性，双点弦法迭代公式及收敛性。 3切线法(牛顿法) 切线法基本思想，迭代公式及收敛性。 4一般迭代法一般迭代法基本思想，迭代公式构造及收敛性。重点: 弦截法，切线法(牛顿法)，一般迭代法。难点: 迭代公式的收敛性 (二)教学要求 1知道弦截法、切线法、一般迭代法的基本思想，区别与联系。 2掌握弦截法、切线性、一般迭代法的迭代公式和收敛性。熟练掌握用它们求方程近似根的方法。 八、常微分方程数值解法 (一)教学内容 1欧拉法与改进欧拉法 欧拉法与改进欧拉法计算公式，局部截断误差。 2龙格-库塔法 泰劳级数法，龙格-库塔法基本思想，低阶龙格-库塔法。 3单步法的收敛性和稳定性 单步法整体截断误差，收敛性，稳定性，绝对稳定性。 重点: 改进欧拉法，龙格-库塔法。 难点: 单步法的收敛性，稳定性 (二)教学要求 1知道欧拉法，改进欧拉法，龙格-库塔法基本思想。 2了解单步法的收敛性与稳定性。 3掌握欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法计算公式，熟练掌握用欧拉法，改进欧拉法、龙格-库塔法求微分方程近似解的方法。五、联系方式本科程省电大责任教师值班时间 周三上午 8:00-12:00时 开放教育数学与应用数学专业本科计算方法责任教师联系方式如下： 省电大责任教师 郭兴旺 TelE-mail 中央电大责任教师 主讲教师：周益民，电话93589 主持教师：赵坚，电话：66412233-1204 邮件地址：mailto:mailto:六、期末练习题及解答计算方法模拟试题一、 单项选择题（每小题3分，共15分）1近似值的误差限为（ ）。A 0.5 B. 0.05 C 0.005 D. 0.0005.2. 求积公式的代数精确度为（ ）。A. 1 B. 2C. 3 D. 43. 若实方阵A满足（ ）时，则存在唯一单位下三角阵和上三角阵，使。 A. B. 某个 C. D. 4.已知，则（ ）。 A. 4 B. 5 C. 6 D 95.当实方阵A满足，则乘幂法计算公式=（ ）。A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分）1. ，具有4位有效数字的近似值为 。2. 已知近似值，则 。 3已知，则差商 。4雅可比法是求实对称阵 的一种变换方法。5改进欧拉法的公式为 。三、计算题（每小题12分 ，共60分）1. 求矛盾方程组；的最小二乘解。2用列主元法解方程组 3已知方程组（1） 写出雅可比法迭代公式；（2） 证明时，雅可比法收敛； （3） 取，初始值，求出。4用的复化梯形公式计算积分，并估计误差。5用切线法求方程 的最小正根。（1） 确定含根区间，检验切线法收敛条件（2） 写出切线法迭代公式；（3） 选初始值，计算出。四、证明题（本题10分，每小题5分）1 设证明 由 ，得到的序列收敛于 。 2 对于初值问题，证明当时，欧拉法绝对稳定。计算方法模拟试题答案一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1B 2. C. 3. C. 4. D. 5. B二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 3.142. 2. . 3. 1 4. 全部特征值和特征向量 5. .三、 计算题(每题12分，共60分)1 解 6分 由 解得 9分故该矛盾方程组的最小二乘解为。 12分2.解