（应用数学专业论文）一类害虫治理模型和污染生态流行病模型的数学研究.pdf

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进一步证明 了本文结论的正确性 关键词 污染生态流行病模型 害虫治理模型 脉冲 灭绝 持续生存 一类害虫治理模型和污染生态流行病模型的数学研究 a s t u d y o nt h em o d e lo fp e s t c o n t r o la n d p o l l u t i o n e p i d e m i c a b s t f a c t t h ed e v d o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g ya n dt h es o c i e t y e s p e c i a l l yt h et h em o d e r n i n d u s t r y d e s t r o y st h ee c o l o g i c a le n v i r o n m e n tw h i c hk e e p st h eh u m a n a n i m a la n dp l a n tl i f e a l i v e a n dp o s e sn u m e r o u se c o l o g i c a lp r o b l e m s w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft h eb i o m a t h e m a t i c s m o r ea n dm o r ee c o l o g i c a lp r o b l e m sc a nb ed e a l t 丽mm a t h e m a t i c a lm o d e l a g a i n s tt h e b a c k g r o u n do fs o m ei n c r e a s i n g l ys e r i o u se c o l o g i c a lp r o b l e m s i nt h i st h e s i sw ed e v e l o pa k i n do fp e s tc o n t r o la n dp o l l u t i o ne p i d e m i cm o d e la n ds t u d yt h ep e r i o d i cs o l u t i o n t op o p u l a t i o ne x t i n c t i o n g l o b a ls t a b i l i t ya n dc o n d i t i o n so f p e r s i s t e n c eo f 也es y s t e m m c h a p t e r1 w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n dg i v es o m et h e o r i e so fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o na n dr e l e v a n tb a s i ck n o w l e d g e i nc h a p t e r2 i no r d e rt oc o n t r o lp e s t s w ec a nc o n t r o lt h en u m b e ro f p e s t sb yr e l e a s i n g n a t u r a le n e m i e s w i t ht h ep o s s i b i l i t yo fn a t u r a le n e m i e sb e i n gk i l l e d w ef o r m u l a t ea p e s t c o n t r o lm o d e lw i t ht i m ed e l a y i m p u l s ea n ds t a g es t r u c t u r e a n do b t a i nt h et h r e s h o l d c o n d i t i o n su n d e rw h i c hp e s t sg oe x t i n c to rt h es y s t e mi sp e r m a n e n tb yc o n t r o l l i n gi m p u l s e p e r i o d a n dt h en u m b e ro fn a t u r a le n e m i e sr e l e a s e da n dk i l l e d t h ep e s t s e x t i n c t i o nm a y i n t e r r u p tt h ef o o dc h a i n a n di tw i l lc a u s ea n o t h e re c o l o g i c a lp r o b l e m s ow eg i v et h et h e o r e m o fm a i n t a i n i n gt h em a t u r e p e s tp o p u l a t i o nu n d e rt h ee c o n o m i ct h r e s h o l dl e v e lt oc o n t r o lp e s t s c o n t i n u o u s l ya tt h ee n do ft h ec h a p t e r i nc h a p t e r3 a sf o r t h ep r o b l e mo f p o l l u t i o na n de p i d e m i c s i n c et h ep o p u l a t i o na r e i n f e c t e dw i t hd i s e a s e so rg e tk i l l e db y p e o p l e i na p o l l u t e de n v i r o n m e n t w ef o r m u l a t ea p o l l u t i o ne c o l o g y e p i d e m i cm o d e l i ns e c t i o n1 w ep r o p o s eam o d e lo fp o p u l a t i o nb e i n g c o n s t a n t l yk i l l e d a n dt h e nw ea n a l y s et h eg l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fe q u i l i b r i u m b e c a u s e t h ec o n s t a n tk i l l i n gi sp r a c t i c a l l yi m p o s s i b l e w ef o r m u l a t et h em o d e lw i t hi m p u l s i v et o x i c a n t m p u ta n dp o p u l a t i o nb e i n gk i l l e da td i f f e r e n tf i x e dt i m ei ns e c t i o n2 a n dt h e nw eo b t a i nt h e t h r e s h o l dw h i c hc a l lm a k et h es y s t e mp e r m a n e n to re x t i n c t m o r e o v e r a tt h ee n do fe a c hc h a p t e r w eg i v es o m en u m e r i cs i m u l a t i o nr e s u l t sw h i c h c o n f i r mt h et h e o r e t i c a lc o n c l u s i o n s k e yw o r d s p o l l u t i o n e p i d e m i cm o d e l p e s t c o n t r o lm o d e l p u l s e e x t i n c t i o n p e r m a n e n c e 辽宁师范大学硕士学位论文 目录 摘要 i a b s t r a c t i i 1 绪论 一1 1 1 前言 1 1 2 预备知识 2 2 具有时滞和阶段结构的害虫治理模型的动力学性质 4 2 1 引言 4 2 2 模型和引理 4 2 3 食饵灭绝周期解的全局吸引性 6 2 4 持续生存 7 2 5 数值模拟与结论 1 0 3 在污染环境中的s i 模型的动力学性质研究 一1 3 3 1 引言 1 3 3 2 连续捕杀 1 3 3 2 1 模型建立和引理 1 3 3 2 2 全局渐近稳定性 16 3 3 在脉冲污染环境下的si 模型 18 3 3 1 模型建立 18 3 3 2 无病周期解的全局吸引性 2 0 3 3 3 持续生存 一2 1 3 4 数值模拟与结论 2 3 兰右论 一2 7 参考文献 2 8 攻读硕士学位期间发表学术论文情况 31 致谢 3 2 i i i 辽宁师范大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 前言 数学模型是将现实问题归结为相应的数学问题 并在此基础上利用数学的概 念 方法和理论进行深入的分析和研究 从而从定性或定量的角度来刻画实际问题 并为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导 种群动力学作为生物数学的重要 学科是利用动力学建模方法来建立种群与种群以及种群与环境之间关系的数学模 型 并利用模型来研究一些生态现象 从而达到对某些生态问题的控制 1 1 随着科学 技术水平的发展 人类生存所依赖的大自然却正一点点的被啃食 这导致出现了越 来越多的生态问题 比如说时而爆发的虫灾 人类对野生动物的捕杀导致某些物种 濒临绝种 规模越来越大的动物与动物 动物与人类 人类与人类之间流行病感染 还有日益严重的环境污染等都不断困扰着人类 本文根据害虫治理和流行病问题中 可能出现的不同情况 建立了具有脉冲效应的害虫治理模型和生态流行病模型 人类对抗害虫的历史由来已久 严重的虫灾会带来许多的经济和社会问题 2 0 0 6 年 我国部分地区就爆发了大面积虫灾 最高受灾面积达5 5 0 0 多万亩 目前控制害虫采取的 方法有生物防治 化学防治和物理防治等 如何能有效的控制害虫也是目前许多农林业 专家所研究的课题 害虫治理相继经历了片面依赖化学防治时期 害虫综合治理阶段 i p m 以及现在的害虫可持续治理阶段 s p m 可持续阶段是以生态系统特有的结构和 稳定性为基础 强调生态系统对生物灾害的自然调控功能的发挥 协调运用与环境和其 它有益物种的生存和发展相和谐的措施 将有害生物控制在生态 社会和经济效益可接 受 或允许 的低密度 并在时空上达到可持续控制的效果 随着生物数学的迅速发展 害虫治理和数学也有了密切的联系 近些年有很多关于害虫治理的论文 2 2 3 相继发表 其中有的是单独释放天敌来控制害虫数量 有的是喷洒杀虫剂来控制 还有利用害虫的 病原体使害虫染病从而使害虫的数量减少 本文第二章利用释放天敌来建立了一类具有 时滞和阶段结构的害虫治理模型 研究了不同固定时刻释放天敌以及天敌被捕杀对系统 的影响 并考虑到害虫的可持续治理 给出了将害虫控制在经济临界值以内的充分条件 环境污染和流行病的问题也不断困扰着人类 现代工业发展的同时 大量的有害于 生物体的污染物排放到环境中 对人类 对生物体所带来的影响已日益显著 污染的种 类有很多种 包括大气污染 水污染 放射性污染等 但由于大气 水 土壤等的扩 散 稀释 氧化还原 生物降解等的作用 污染物质的浓度和毒性会自然降低 如 果排放的物质超过了环境的自净能力 环境质量就会发生不良变化 危害人类以及 地球上所有生命体的健康和生存 疾病自古以来就是人类生存的大敌 而流行病以 其传播时间短 蔓延广泛的特点成为大敌中的大敌 它不仅是人类生存的大敌也是 动物生存的大敌 在生物数学领域 污染环境中的流行病模型还比较少见 本文第 一类害虫治理模型和污染生态流行病模型的数学研究 三章以野生动物在污染环境中生存为背景 并考虑到种群染病以及被捕杀建立了一 类污染环境中的s i 模型 首先研究了连续捕杀系统平衡点的全局稳定性 接着又 研究了种群在脉冲时刻被捕杀以及在不同脉冲时刻环境排放污染物的脉冲系统的 无病周期解的全局稳定性以及系统的持续生存的条件 1 2 预备知识 对于某些寿命较长 世代重叠的种群 其数量的变化常常可以近似的看成一个连续过 程并可用下面的微分方程模型来描述 d n t 厂 f f 1 2 1 系统 1 2 1 f l 腓负平衡态 是代数方程f n 0 的解 下面给出 的稳定性的定义 定义1 2 1 1 若对任意的秒 o 存在矽 o 使得当l o 一矿l 矽时 有l f n o n i o 使得当l o 一 l 0 2 当 时望丛掣盟 o 则 是稳定的 进一步 如果有 3 生 掣盟 0 是幼年种群的出生率 f 是种群从 幼年到成年所需的时间 d 0 是幼年种群的死亡率 0 是成年种群的死亡率 本章考虑到害虫具有阶段结构 天敌只吃成年害虫 并假设在不同的固定时刻释放天 敌以及天敌遭受一定的捕杀 以脉冲微分方程为基础 建立了下面的害虫治理模型 了d x j t a x f 一n f a e r x f f 百d r t 口g f x f f 一面x 2 f 一 工 f y f 百d y t 印y f x f 一以朋 t n t t z k o t x j t x j t x t x 0 y t 1 一p y f t 以 尼一1 t x j t x j t x t x o y t y f t n t 2 2 2 其中x j t z f y f 分别表示在f 时刻幼年害虫 成年害虫和天敌的数量 口是害虫的出生 率 是幼年害虫的死亡率 d l 是成年害虫的密度制约系数 d 2 是天敌的自然死亡率 0 k 1 是天敌捕食成年害虫的捕食率 旯表示天敌对成年害虫的消化率 a o 是在 4 辽宁师范大学硕士学位论文 t n t 时释放天敌的数i o p 1 表示在t n k 1 t 时天敌被捕杀的比例 系统 2 2 2 的第一个式子可以写成 x j t l o r e 吖o x s d s 其中 o l t x j o 口e r x o d s 即 f 可以由工 f 表示 而且方程 2 2 2 中的第二和第三个式子都 没有 f 所以只需研究系统 2 2 2 的子系统 2 2 3 d x 讲 t a e x f f 一面x 2 f 一 埘 j f 警 印y m 力一缈 t n t t 拧 七 i t x j t 乃o x t 石o y t 1 p y 0 t 靠 后一1 t x j t t f x t x f y t 十 y f t n t 2 2 3 系统 2 2 3 的初值条件是 办 s 红 s c c r o 谚 o 0 i 1 2 由于生物 意义的需要 只需在d 石 y i 石2 0 y 0 上研究系统 2 2 3 引理2 2 1 3 6 方程堕 掣 口x o f 一b x f c x 2 f 其中口 6 c f o x f o 当一f f o 时 则有 1 如果口 易 贝l jl i m x 力 a b 引理2 2 2对系统 2 2 2 的每个解 当t 足够大时存在一个常数三 0 使得 x j t x t y t l 证明 令y f 2 x j t 2 x t y f d m i n d 2 2 y 警 2 c t d m 垆椰2 d v 笋讲 当t 咒 七一1 r 时 y 珂 k 一1 t 矿 聪 七 1 t t n l v j 寸 以n t y 以乃 l a 可得出嘲川0 髻e d t s m z q m 即 a 口 d 2 e 4 r 争二 o 二 一 t o o 4 2 d d e 4 2 1 因此矿 f 是一致最终有界的 根据y f 的定义 可知存在这样的三 兰告等 誊岳 使得当f 足够大时t 0 z 0 y f 三 引理2 2 3 3 7 1 系统 5 一类害虫治理模型和污染生态流行病模型的数学研究 d y t 一也y f f 刀r f 刀 七一1 r y d t 1 一p y f t 刀 七一1 r 2 2 4 1 一p y f 刀 七一1 r p v y t y f t n t 其中畋 p k 都是正常数 则系统 2 2 4 存在一个全局渐近稳定的周期解 y f 2 3 食饵灭绝j 司期解的全局吸引性 令缶 1 丽1 p j e 炉d r a 广e a 7 害虫灭绝即x 0 时 y 满足系统 2 2 3 定理2 3 1 如果白 1 则系统 2 2 3 的食饵灭绝周期解 o y f 是全局吸引的 证明 由于白 1 所以可以选择充分小的q 使得a e r r 0 存在整数啊 使得 y f i l j f 一岛 n t n a 则有 y 力 z o 一q 黪一q 7 7 f 1 3 2 2 3 的第一个方程有 2 3 3 2 3 4 后 引 加 旷 二二 引 o 掣 a e r r x t f 一d l x 2 f 一声工 f 叩 2 3 5 d z t a e r r z t f 一面z 2o 一夕 7 z f 2 3 6 因为吼 l 所以a e 一 p r l 再由引理2 2 1 可知当口e f 叩时 l 一i m z o 0 由比较 l 掣 椎一畋 f f 后一i r f 雅r 玖归 一篡 固 令占一o 对f 充分大时有 y t 8 z y f y f 乞 即l i m y f 少 f 证毕 令幺 1 1 面p e r d r a e d r 乞 d i e a 瓦e a f 7 1 面 1 可 p 一 e d r 7 一类害虫治理模型和污染生态流行病模型的数学研究 瓦d x a e d r 州沪以明m 一盯打丢 邢 幽 令y f x t a e d l tx s d s 将y f 沿着 2 2 3 的解求导可得 d v t a e d r 盔x f 一 y f 工 f a t 因为厶 0 使得畋一印m 0 和 其忙甜杀 2 4 1 2 4 2 下面要证明对于任意的正常数气 0 不是所有的f t o 柝f fx t 否则对所有的 t t o 都有x t 气 f 对f 互有 儿 口e dr at咖伽m 轳 嘎 删蒜am a o 1 础如珥 11 令m 2 m i f ix t 则对所有的t 正 都有z f m 2 否则存在互 使得 f e 五 五 f 一 工o m 2 t 五 五 f 互 rx t 五 f 互 m 2 x 7 互 互 f 互 0 这与石 互 五十f 互 m 蒜 1 m 2 也就是矿 f 佃 t 一佃 这与矿 f l 1 a v e 一7 矛盾 所以不是对所有的t t o 都有 x t 砚 如果x t 对所有的足够大的t 都成立 则目的得证 如果不是 则z o 是关于 上下振动的 令q m j n 辟 p 一 西 工7 下面即要证当f 足够大时z f g 由上可知存在两个正 常数t 使得z 仃 x f f c o xx t m a t t t c 0 因为x f 是连续有界的 即是一致连续的 所以存在乃 使得当f t m i 2 如果c o 正 那么目的得证 如果正 国 f f h 2 2 3 的第一个方程可得 掣 一 d l f 1 l r f t f 丁 2 4 6 4 于是有 z f m l e d t a l r f t 丁 缈 f f 2 4 7 贝0 有x t q t f 则由 2 2 3 的第一个方程有x t q f t r 都有x t m a 可得 x t q f f 1 则系统 2 2 3 是持续生存的 证明 令 x 吐j 嘞是系统 2 2 3 的任意解 再令g 篇 由 2 3 4 知 当f 充 分大时 y t q 再由定理2 4 1 知存在常数g 使得x t q 令d 7 缸 f y t iq x t l q y t l 则d 是有界的 紧的集合 所以 2 2 3 的 每个解都在d 内 证毕 另外 如果害虫全部灭绝 则食物链会出现缺口 将会引起更多的生态问题 所以 只需将成年害虫控制在一定范围内 称之为经济临界值 e t l 于是有了下面的定理 定理2 4 3 在定理2 3 的条件下 如果乞 1 则成年害虫种群将会控制在e 内 9 一类害虫治理模型和污染生态流行病模型的数学研究 证明 如果乞 1 即a e 卅7 7 7 由 2 3 5 2 3 6 乞 1 以及引理2 2 1 知 l i r az f a e d 7 一f i r i e 口i 再由比较定理知当t o o 时有 x f 竺掣 1 由定理2 4 2 知这时系统 2 2 3 是持续生存的 如 果加大天敌的释放量 令u o 5 基他参数不变 这时螽 o 7 1 6 1 或者用一些化学生 物方法延长害虫幼年到成年所需的时间f 令f 2 其他参数不变 这时螽 o 8 7 2 1 害虫灭绝的周期解全局渐近稳定 见图2 4 2 2 4 3 如果减少捕获天敌的频率 令 p o 1 其他参数不变 这时缶 0 6 3 5 1 害虫灭绝的周期解全局渐近稳定 见图2 4 4 假设经济临界值e 为0 3 选择适当的脉冲周期 令t 0 2 5 其他参数不变 这时成年害虫 种群能控制在经济临界值e 以内 见图2 4 5 图2 4 1 系统 2 2 2 解的时间序列图 1 0 辽宁师范大学硕士学位论文 d 0 6 而 0 4 口 0 8 f 0 8 畋 0 5 旯 0 9 0 8 p 0 3 0 2 t 0 2 t 争 图2 4 2 系统 2 2 2 解的时间序列图 d 0 6 d l 0 4 口 0 8 f 0 8 d 2 0 5 力 0 9 0 8 p 0 3 0 5 t 0 2 x j t x t r t t 图2 4 3 系统 2 2 2 解的时间序列图 d 0 6 4 0 4 口 0 8 f 2 吐 0 5 兄 0 9 0 8 p 0 3 0 2 t 0 2 一类害虫治理模型和污染生态流行病模型的数学研究 图2 4 4 系统 2 2 2 解的时间序列图 d 0 6 d l 0 4 口 0 8 f 0 8 d 2 0 5 旯 0 9 0 8 p o 1 0 2 t 0 2 o 3 x t 0 2 5 y t 图2 4 5 系统 2 2 2 解的时间序列图 d 0 6 d 1 0 4 a 0 8 f 0 8 d 2 0 5 a 0 9 0 8 p 0 3 a 0 2 t o 2 5 1 2 辽宁师范大学硕士学位论文 3 在污染环境中的s i 模型的动力学性质研究 3 1 引言 由于污染问题的日益严重 现在很多的工厂都选择建在人烟稀少的地方 这样虽然 能减少污染对人类的影响 但却影响了生活在那里的野生动植物 严重的污染物排放将 会导致附近种群的灭绝 例如西德的森林枯死病事件 由于酸雨的影响导致鲁尔工业区 的森林里随处可见秃树 动物尸体 另外 除了污染物的排放 人为的捕杀 感染流 行病都将使野生动物种群数量减少甚至灭绝 综上所述 本章以生活在污染环境中的 野生动物为背景 并考虑到该种群内部有流行病 且又被人为捕杀建立了一类污染环境 中的生态流行病模型 3 2 连续捕杀 3 2 1 模型建立和引理 环境污染会影响生物体的生存 而反过来生物体的存在又会影响环境的污染程度 于是有了下面的污染模型 d c o 厂 t 口e f 一 g m g f 掣 f 一j i l e f c l t 其中c o f 表示生物体内污染物浓度 e f 表示环境中污染物浓度 a c e f 表示t 时刻种 群对环境中污染物浓度的吸收率 g m c o f 表示由于排泄和净化等作用而导致生物 体体内污染物浓度降低的速率 1 t t 是污染物从外界向环境的输入率 h c f 表示由于环 境的自身净化功能而导致环境中污染物流失的速率 传染病动力学模型的基本形式有很多种 本章考虑无垂直传染 即疾病不会先天传 染给新出生的种群 可建立如下的s i 模型 d s t b k p s f f 一b s f d t 7 77 d i 出 t s f j f 一m f 一d f 其中s t 表示f 时刻易感者种群数量 f 表示t 时刻感染者种群数量 b s t i t 表示f 时刻单位时间内被所有感染者传染的种群数量 这里假设出生率与自然死亡率均为b c 是单位时间内移出者在染病者中所占的比例 种群的生长函数根据不同的建模思想和不同的研究目的 已经发展了各种各样的自 治模型 包括m a l t h u s l o g i s t i c g o m p e r t z a l l e e 等 本章考虑以下的l o g i s t i c 模型 1 3 一类害虫治理模型和污染生态流行病模型的数学研究 百d n t 邮 1 一警 其中 k 分别为种群的内禀增长率和环境容纳量 综合以上再考虑到种群被连续捕杀建立了以下模型 警删1 一半一p s i 喁 s 誓肛叫飞印 2 鲁 口e g c o 一 z c o 鲁 崛 舰e f i k t c e i i l nc o 归熹 掣酬 半m 肌 旷獭心肌x b2力a lw 2 p s 啪 f 一d f 一眨c m 将 3 2 2 无量纲化 令足7 k 1 一等 s 斌 f2 羞f 则系统 3 2 2 转化成 雾2 伽 1 一 s d 一s f 一 g s i 3 2 3 鲁 s z b z l c z 一叫 其中归错 2 l 去小去加壶 下面研究系统 3 2 3 n n 3 2 3 有平凡平衡点是巨 o o 如果 q 口 则存在无病平衡点岛 1 一篮 o 1 4 辽宁师范大学硕士学位论文 记神 嘛如果删一手 则正平衡点 等a1 存在 且当岛非篮a口 十 时 j j 0 此时i f 平衡点易一易 引理3 2 1 b a r b 厅l a t 引理 令g 是定义在 其中a 棚 佃 上的微分方程 如果 1 舰g f 口 i 口1 口时 g f 是一致连续的 则l i m 9 7 0 0 下证系统 3 2 3 的解是最终有界的 引理3 2 2 设系统 3 2 3 解的初始条件满足 乇 1 一篮 那么或者 对所有f o 系统 3 2 3 的解 s 力 f f 满足 1 s f z f 1 一蛭 且当f s f f f 一岛 或者 2 对所有f 有s f 砸 1 一手 若系统 3 2 3 解的初始条件满足 乇 1 一监a 那口 么 3 对所有f o 有j f f f 1 一篮 证明 若系统 3 2 3 解的初始条件满足 i d 1 一篮 1 如果对所有f o j f f f 1 一蜢 由n n 3 2 3 n t 掣 傩 1 一o f 卜6 f 一厶昏一乞g i 1 l t c 则由召口而砒f 引理 当f 寸 时 有 l i m 坐掣 0 3 2 4 但l i m 坐哔业 l i m 傩 1 一 州 一丝 一b 1 绎 刁 o a t f 口 ad 一f l m i n o f l 1 一蜢 b 1 绎 t o 有s f 砸 1 一丝 3 若 乇 1 一手 由类似于 2 的讨论方法可知对所有f s f 讹 1 一手 即 3 口 成立 证毕 3 2 2 全局渐近稳定性 令e s i 是系统 3 2 3 的任一平衡点 且特征矩阵为 q a 2 a s a d 广一 g 一万s 一 6 a s 乞 g s l 一万l 3 2 7 z s d 一 乙n 一九i 将互 o o 代入 3 2 7 可得 万 q 一口 万 6 乞g o 3 2 8 若口 z l q 时 置是鞍点 不稳定的 无病平衡点巨存在 牦j e z 1 1 1 口 0 o 代入 3 2 7 t 1 可得 2 一 a g 万 a t s 1 1 埠 o 则当o 1 一篮 s 时 e 是局部渐近稳定的 若墨 即1 一手 j 时 弓是局部渐近稳定的 定理3 2 1 如果 1 一等 s 时 口口 口 e 3 1 是全局渐近稳定的 证明 由前面讨论可知当o 1 一篮 岛时 垦是局部渐近稳定的 a 4 p s f 础 1 一 s 力 一s i 一 c q 矗 f s i b i l c o i 做d u l a c 函数 b s i s l i 一 则有 一o b p 塑 一一a 0 o so if 所以在 中无极限环 从而易 1 一篮 o 是全局渐近稳定的 若s s 越容易实现 同样的易感者被捕 杀的数量轰越小 1 一丝 s 也越容易实现 这时种群将会持续生存下去 一类害虫治理模型和污染生态流行病模型的数学研究 3 3 1 模型建立 由于连续捕杀在现实中出现的几率很小 所以本节在上一节模型的基础上 考虑到 种群在固定时刻可能被捕杀 且环境在不同固定时刻排放污染物 建立了下面的模型 d s t r s f 1 一掣 一f l s f 地 一 i c o f d tk 掣 f l s f m 一c f 一眨c o f m a t d c o t 口e o 一g c o f 一所c o f a t 掣一吲晚 t o l 1 t t n t a s t o a i t o a c o f o a c f 2 2 t 玎 z 一1 t 丛 f 6 s t a i t o a c o t o a c f 0 t n t 其中 o 1 t 是脉冲作用的周期 n z z 1 2 心是在f n l 1 t 时刻脉 冲排放毒素的量 0 万 0 有 a f 乞 c o t a f 一岛 3 3 3 引理3 3 2 存在常量三 k i r 万d 一 2 万声1 2 e d t t 对于系统 3 2 1 的每个解 当f 足够大 时 满足s f i 0 c o o e f 三 证明 令y f s f f g f e f 因为警 心 1 一昙 雪k r o 另外o 艿 1 s z 丁 s z 丁 则当f 一 s o k d m i n c g m h a 当f z 丁 f z z 一1 t i 对 掣卿硼鼢素 讲 半卅 ld v t 竺玉型一d y o f n z o r f n r i d t 4 r j l 三誓三i 矿 譬二 r t n l 1 t y f y o p 一出 茎 等e d t s c 珞 互 r 乒1 2 p d f 一 n 一1 r 1 9 一类害虫治理模型和污染生态流行病模型的数学研究 哼等笋 1 2 e d l 芝 吐r 一佃 证毕 引理3 3 3 3 9 1 系统 警咧 一 甜b 3 卸 s t 1 一万 s f f n t 有唯一个全局渐近稳定的周期解 f f j 兰 南 3 3 2 无病周期解的全局吸引性 记现 蒜 其中五乩c 警 嚣c 鼍一争 定理3 3 1 如果7 7 l 1 则无病周期解 f 0 c o t f 是全局渐近稳定的 证明 由于r 1 可以选择充分小的岛 6 4 使得筋 0 存在正 整数 当n t z 2 时 有 s f s t 毛 3 3 6 由系统 3 3 1 的第二个方程 3 3 3 n i 3 3 6 有 警邵 趴t 一呸 g 训m 考虑下面的系统 j 百d r t 瞅趴t 毛 一c 一眨 q 一酬m 珂丁 z r l n t t n 丁 辽宁师范大学硕士学位论文 司得 d 拧一1 t e x p 7 f l s t c 吃 q f 一岛 出 j 以一1 t z x 咒一2 t x 1 2 o 钟 因为石 o 必存在r 当f r 时 有o f 岛 不失一 般性 假设对所有的t o 都有0 f 0 存在整数 z 3 当n t 伤时 有 k 1 一丝一鲁 1 一万一p r f l 5r s s r s f 巧 t 一气 1 笔石两广 一 虿 3 3 8 一c 联合 3 3 6 和 3 3 8 有 s t 缸 s l j f 巧 t 一气 3 3 9 由于毛 毛 氏都是充分小的 令丘 气一0 所以由 3 3 9 可得1 i i n s f s d 再由引理 3 3 1 有 当t 一佃时 c o f jg f e f 一 f 证毕 3 3 3 持续生存 定理3 3 2 如果r 1 对于系统 3 2 1 的任意一个解 s f j f c o f e f 存在正 常数q 使得i t q 证明 因为仇 1 所以可以选择足够小的 0 使得厄 1 其中 一类害虫治理模型和污染生态流行病模型的数学研究 筋 e x p j o r 4 一 岛一c 一吃 乃 o d t 厶 i l k 1 一了p r 0 2 一i m 2 1 一万 e r 卢m 2 r 1 一万一e 7 一卢j 1 2 r 6 e 一 7 一b i n 2 一r 则对于任意的正常数气 f m 2 不是对所有的t 气都成立 反之 则存在 当t 瑶时 f 0 0 使得 s f z t 岛 t 瑶 瓦 由引理3 3 1 知当t o 时 c oo 一q f 所以存在于 0 当f 于 t 时 有 c o f 于 疋时有 j 警那 z t 岛 一c 吲啪 训m 如 聆丁 3 3 1 1 t 孢丁 t n t 令n z 胛 于在 n t 0 1 刀 n 上积分 3 3 1 1 有 r n 1 t e x p i r r z o 一 岛 c 吃 g o o a o z 一1 t z 2 j z 一2 r 幺 i n t z 因为z 2 l 因此当t o 时 z r j 0 0 这与i t 的有界性矛盾 所以 f 于 使得 m 2 接下来要证明对所有f n i t m e x p 一g r 其中 q s u p f l z f 一夕岛一c 一吒 c 于 毛 否则存在f 使得 f m 2 所以存在历 f l f 使得 j 历 m 2 且m f 历 e x p z o f i e 一c r 2 c c o t 乞 出 面 e x p e 2 r f 孤r om r z o 一如一c 一吃 g o 毛 出 m e e x p f l c r z f 一 岛 c 吃 q o 乞 出 m 2e x p 一g r 产生矛盾 所以对所有的f 有 f m 2 e x p q 丁 令g m c x p 一g t 则当f 毛 时 z t 鼋 证毕 定理3 3 3 如果r l 1 则系统 3 3 1 是持续生存的 证明 设 s f f c o f e f 是系统 3 3 1 的任意解 由 3 3 8 知s t 虿 再由定理3 3 2 知存在常数g 使得 f g 又因为c f 一c f c e f c t 所以一定存在肛 仍 使得p l c o f 岛 e f 令西 s f q c o o c a t i 虿 x f 鸟 i t 三 p l c o 戊 c a t l 则d 是有界的 紧的集合 且 3 3 1 的每个解都在d 内 证毕 3 4 数值模拟与结论 本章我们研究了一类污染环境中的s i 模型的动力学性质 研究了其动力学性质 得 知了污染物向环境的输入率一 种群被连续捕杀的比例缶 脉冲周期丁 在 i 1 t 时 刻环境中污染物排放量觞以及在t n t 时刻易感者种群被捕获的比例艿对系统稳定性 和持续性的影响 在第一节的连续系统中 选取适当的参数 令厂 0 8 k 5 c 0 2 吒 o 1 轰 0 3 厂一 吃 o 3 h 6 口 o 3 o 8 万 0 2g 0 2 h o 5 m o 3 这时1 一 一0 4 4 0 则系统的平凡平衡点e 是全局渐近稳定 见图3 4 1 也就是感染者和易感者种群都将灭 绝 如果减少易感种群被捕杀的比例鲁 令盏 o 0 1 这时l 一二血 0 0 8 9 j l o 1 3 7 6 则系统的正平衡点巨是全局渐近稳定的 见图3 4 3 也就是易感者种群和感染者种群将 会共存 第二节的脉冲系统中 首先令 o 3 a 0 3 0 8 k 4 c 0 2 卢 0 8 万 0 2 g 0 2 膨 0 2 h o 5 m 0 2 t i 1 0 5 这时仇 8 0 2 9 5 1 系统 3 3 1 持续生存 见 一类害虫治理模型和污染生态流行病模型的数学研究 图3 4 4 如果减少脉冲周期r 令t o 3 2 这时1 7 o 8 5 5 1 系统 3 3 1 的无病周期 解全局渐近稳定 见图3 4 5 如果增加在 一1 z 时刻环境中污染物排放量鸬 令 鲍 5 这时叩l 0 9 6 7 7 1 系统 3 3 1 的无病周期解全局渐近稳定 见图3 4 6 如果增 加在t n t 时刻易感者种群被捕获的比例万 令万 o 8 显然这时易感者种群和染病者 种群都将灭绝 见图3 4 7 通过以上的讨论可知 大量 频繁的污染物排放以及大量对种群的大量捕杀 都会 导致种群的灭绝 s t 5 l o 毒 1 0 3 x l o 2 1 0 1 x 1 0 4 x 1 0 3 x l o 乞 纷 1 x l o 2 鹜2 国2 7 02 2 鳓3 2 始 2 6 0 2 秘2 耱2 鲐3 饴 ab 图3 4 1 系统 3 2 2 解的时间序列图 其中参数r 0 8 k 5 c o 2 吒 o 1 缶 o 3 吃 0 3 6 口 0 3 o 8 g o 2 h o 5 m o 3 a 为易感者种群的时间序列图 b 为感染者种群的时间序列图 o o o o a 2 粥2 2 殆2 鞠2 粥 b 图3 4 2 系统 3 2 2 解的时间序列图 其中参数 o 8 k 5 c o 2 吒 o 1 缶 0 0 1 恐 o 3 l 6 口 o 3 o 8 g o 2 h 0 5 m o 3 a 为易感者种群的时闻序列图 b 为感染者种群的时间序列图 辽宁师范大学硕士学位论文 s t a i t b c 图3 4 3 系统 3 2 2 解的时间序列图 其中参数 0 8 k 5 c o 2 o 1 螽 o 3 吃 o 3 一 0 2 口 o 3 0 8 g 0 2 h 0 5 m 0 3 脚为易感者种群的时间序列图 b 为感染者种群的时间序列图 c 为易感者 感染者种群相图 s t l t a 图3 4 4 系统 3 3 1 解的时间序列图 其中参数 0 8 k 4 c 0 2 r 2 0 3 a 0 3 o 8 万 0 2 g 0 2 心 o 2 h 0 5 m o 2 t l z 0 5 a 为易感者种群的时间序列图 b 为感染者种群的时间序列图 s t a 1 i 3 j l 奄 2 x i o l j x l o 1 x l o b 图3 4 5 系统 3 3 1 解的时间序列图 其中参数 o 8 k 4 c 0 2 r 2 0 3 口 0 3 0 8 万 o 2 g o 2 心 0 2 h 0 5 m 0 2 丁 o 3 2 0 5 a 为易感者种群的时间序列图山 为感染者种群的时间序列国 2 5 o o o o o o o o 鑫 o o o o 一类害虫治理模型和污染生态流行病模型的数学研究 s t a l t l 五 l o l j x l o l x l o 1 x l o 霉 x l 孽 x l o 4 x l o 2 x l o b 图3 4 6 系统 3 3 2 解的时间序列图 其中参数 0 8 k 4 c 0 2 o 3 口 0 3 o 8 万 o 2 g 0 2 鸬 5 h 0 5 m 0 2 辽宁师范大学硕士学位论文 坌吉论 本文根据微分方程和脉冲微分方程的基本理论研究了一类害虫治理模型和污染环 境下的生态流行病模型 所取得的主要结果如下 本文的第二章建立了一类害虫治理模型 考虑到害虫具有阶段结构 天敌只吃成年 害虫 天敌在脉冲时刻被释放 又在不同的脉冲时刻被捕杀 得到了害虫灭绝和系统持 续生存的条件 理论结果表明 天敌释放和捕杀的频率 数量以及种群的生长时滞对系 统的影响较大 如选取适当的参数 则害虫和天敌可以持续生存 且害虫能被控制在经 济临界值之内 污染与生态流行病相结合的模型研究还比较少 本文的第三章建立了一类污染环境 下的s i 模型 首先研究了连续捕杀情况下系统平衡点的全局渐近稳定性的条件 接着 研究了在不同固定时刻种群被捕杀以及环境释放污染物情况下系统的持续生存和种群 灭绝的条件 通过研究分析可知脉冲周期 污染物排放量和种群被捕杀的数量都将影响 系统的稳定性和持续性 由以上可知 只要将种群被捕杀的频率和数量以及污染物排放的