量子力学ch1 量子(周)习题解析-yu.pdf

量子力 量子力学学教程 习题解析教程 习题解析 余春日余春日 编著编著 参考书 参考书 周世勋周世勋 陈灏陈灏 量子力学教程量子力学教程 第第 2 2 版版 高等教育出版社 高等教育出版社 20092009 张宏宝张宏宝 量子力学教程量子力学教程 学习辅导书学习辅导书 高等教育出版社 高等教育出版社 20042004 安庆师范学院安庆师范学院 物理与电气工程学院物理与电气工程学院 理论理论物理教研室物理教研室 量子力学教程 周世勋 第 2 版 习题解析安师院物电学院 余春日 教授 编著 1 第一章第一章绪论绪论 1 1 1 1 1 1 1 1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律 能量密度极大值所对应的波长 m与温度T 成反比 即 mT b 常量 并近似计算b的数值 准确到二位有效数字 解 根据普朗克的黑体辐射公式 d e c hv d kT hv v 1 18 3 3 1 以及cv d c d 2 2 得 dd e hc d c e h d kT hc kT hc v 1 18 1 18 523 其中 1 exp 18 1 18 55 Tkhc hc e hc kT hc 3 这里 是黑体内波长介于 与 d 之间的辐射能量密度 本题关注的是 取何值时 取得极大值 因此 先求 对 的一阶导数 1 1 exp exp 1 5 5 1 exp 8 6 Tkhc Tkhc Tk hc Tkhc hc 4 注意到1 1 exp exp Tkhc Tkhc 则 0 0 5 MT k hc T 而 为连续函数 所以 必存在一点bT m 使得0 而bT m bT m 时 0 所以bT m 为极大值点 即 取极大值时 波长 m 与温度T满足反比关系 bT m 5 说明 要判断 5 式为极大值点 可通过验证 对 的二阶导数在 m处的取值是否小于零 如果小于零 那么 m为所求 下面求b的值 令x kT hc 0 则由 4 得 01 1 1 5 5 1 8 1 15 5 1 8 66 xxx x x e x e hc e ex e hc 量子力学教程 周世勋 第 2 版 习题解析安师院物电学院 余春日 教授 编著 2 即 xe x 1 5 6 这是一个超越方程 首先 易知此方程有解 x 0 但不合题意 舍去 另一个解可以通过 图解法 逐步近似法或者数值计算法 编程 获得 x 4 97 经过验证 此解正是所要求的 故 xk hc T m 把x以及三个物理常量代入上式得 KmT m 3 109 2 这便是维恩位移定律 据此我们知道 物体温度升高的话 辐射的能量分布的峰值向较短波长 方面移动 这样便会根据热物体 如遥远星体 的发光颜色来判定温度的高低 1 1 1 1 2 2 2 2 在 0 K 附近 钠的价电子能量约为 3 eV 求其德布罗意波长 解 根据德布罗意波粒二象性的关系 可知 E h v h P 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子 电子动能 2 0 2 0 222 0 2 0 2 1cmcmcvcmcmmcT 那么 0 2 2m p E 如果我们考察的是相对性的光子 那么 由相对论性的能量 动量关系式 4 2 0 22 cmcpE 可得 E pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为 3 eV 远远小于电子的质量与光速平方的乘积 即MeV 511 0 因此 利用非相对论性的电子的能量 动量关系式 便有 nm eVMeV keVnm Ecm hc Em h p h 71 0 3511 0 2 24 1 2 2 2 0 0 在这里 利用了hc 1 24 nm keV 以及 ec2 0 511 MeV 讨论 由 Ec hc e 2 2 可以看出 粒子的质量越大 波长就越短 因而这个粒子的波动性 较弱 而粒子性较强 同样 粒子的动能越大 波长就越短 因而这个粒子的波动性较弱 而 粒子性较强 由于宏观世界的物体质量普遍很大 因而波动性极弱 显现出来的都是粒子性 这种波粒二象性 从某种子意义来说 只有在微观世界才能显现 量子力学教程 周世勋 第 2 版 习题解析安师院物电学院 余春日 教授 编著 3 说明 说明 原子物理中数值计算很多 请记住下列几个常用的组合常数 c 197 nm eV 197 fm MeV hc 1 24 nm keV e2 4 0 1 44 nm eV 1 44 fm MeV mec2 0 511 MeV 511 keV e2 4 0 c 1 137 精细结构常数 1 1 1 1 3 3 3 3 氦原子的动能是kTE 2 3 k为玻耳兹曼常数 求 T 1 K 时 氦原子的德布罗 意波长 解法 1 当 T 1 K 时 103 1 1060 1 2 1038 1 3 11038 1 2 3 2 3 4 19 23 23 eVeVJkTE 显然远远小于 2 c 核 这样 便有 nm eVeV keVnm Ec hc 1 26 103 1G7 32 24 1 2 42 这里 利用了 eVeVcG7 310 5 9314 62 解法 2 nm mkT h mE h p h 263 1 m1063 12 32 10 其中kg1066 1 003 4 27 m 123 KJ1038 1 k 最后 再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论 由某种粒子构成的温度为 T 的体系 其中粒子的平均动能的数量级为 kT 这样 其相应的德布罗意波长就为 Tkc hc Ec hc 22 22 据此可知 体系的温度越低 相应的德布罗意波长就越长 这时这种粒子的波动性就越明显 特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时 粒子间的相干性就尤为明显 这时就不能用经 典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布 而必须用量子的描述粒子的统计分布 玻色分布或 费米公布 注 张宏宝编 量子力学教程学习辅导书 北京 高等教育出版社 2004 中根据 1k K 10 3 eV 与正确值相差 1 个数量级 得到波长为 0 37 nm 是不正确的 1 1 1 1 4 4 4 4 利用玻尔 索末菲的量子化条件 求 1 一维谐振子的能量 2 在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径 量子力学教程 周世勋 第 2 版 习题解析安师院物电学院 余春日 教授 编著 4 已知外磁场H 10 T 玻尔磁子 124 109 TJM B 试计算动能的量子化间隔 E 并与 T 4 K 及T 100 K 的热运动能量相比较 解 Bohr Sommerfeld 的量子化条件为 nhpdq 其中q是微观粒子的一个广义坐标 p是与之相对应的广义动量 回路积分是沿运动轨道积一 圈 n是正整数 1 方法 1 设一维谐振子的劲度常数为k 谐振子质量为 于是有 2 2 2 1 2 kx p E 则有 2 1 2 2 kxEp 这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动 一正一负正好表示一个来 回 运动了一圈 此外 根据 2 2 1 kxE 可解出谐振子的正负方向的最大位移为 k E x 2 根据玻尔 索末菲的量子化条件 有 x x x x nhdxkxEdxkxE 2 1 2 2 1 2 22 nhdxkxEdxkxE x x x x 2 1 2 2 1 2 22 h n dxkxE x x 2 2 1 2 2 为了积分 上述方程的左边作以下变量代换 22 sin 2 1 Ekx 或 sin 2 k E x 则 量子力学教程 周世勋 第 2 版 习题解析安师院物电学院 余春日 教授 编著 5 h n k E dE 2 sin 2 cos2 2 2 2 即 h n d k E E 2 cos 2 cos2 2 2 h n d k E 2 cos2 2 2 2 h n k Ed k Ed k E 22 2sin 2cos1 cos2 2 2 2 2 2 2 2 故 h n k E 2 或 hnnh k nhE 2 1 方法 2 谐振子的能量 22 2 2 2 2 1 22 1 2 q p kq p E 可以化为 1 22 2 2 2 2 2 E q E p 的平面运动 轨道为椭圆 两半轴分别为 2 2 2 E bEa 相空间面积为 L 2 1 0 2 nnh EE abpdq 所以 能量 nhE L 2 1 0 n 方法 3 一维谐振子的运动方程为0 2 qq 其解为 tAqsin 速度为 tAqcos 动量为 tAqpcos 则相积分为 nh TA dtt A dttApdq TT 2 cos1 2 cos 22 0 22 0 222 L 2 1 0 n 量子力学教程 周世勋 第 2 版 习题解析安师院物电学院 余春日 教授 编著 6 nh T nhA E 2 22 L 2 1 0 n 讨论 首先 注意到谐振子的能量被量子化了 其次 这量子化的能量是等间隔分布的 2 设磁场垂直于电子运动方向 受洛仑兹力作用作匀速圆周运动 则 eB n R nhRdm m eBR nhdlm R m Bef h 2 0 2 L 2 1 n Bn nBM m eh nB m nBe mE 422 1 2 h 其中MB是玻尔磁子 显然 量子化的能量也是等间隔的 而且 J109J10910 2324 B BME 热运动能量 因是平面运动 只有两个自由度 为kTE 所以 当T 4 K 时 JkTE 2323 1052 5 41038 1 当T 100 K 时 JE 21 1038 1 注 张宏宝 量子力学教程学习辅导书 中根据E 3kT 2 1k K 10 3 eV 与正确值相 差 1 个数量级 得到T 4 K 时 E 9 6 10 22 J T 100 K 时 E 2 4 10 20 J 是错误的 1 1 1 1 5 5 5 5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对 如果两光子的能量相等 问要实现这 种转化 光子的波长最大是多少 解 关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程 如两个光子以怎样的概率转化为正负 电子对的问题 严格来说 需要用到相对性量子场论的知识去计算 但当涉及到这个过程的运 动学方面 如能量守恒 动量守恒等 我们不需要用那么高深的知识去计算 具休到本题 两 个光子能量相等 因此当对心碰撞时 转化为正负电子对所需的能量最小 因而所对应的波长 也就最长 即转化条件为 2 ch e 其中 e 为电子的静止质量 而 c 所以 c h e 故 nm MeV keVnm c hc e 0024 0 511 0 24 1 2 max 电子的康普顿波长 讨论 尽管这是光子转化为电子的最大波长 但从数值上看 也是相当小的 我们知道 电子是自然界中最轻的有质量的粒子 如果是光子转化为像正反质子对之类的更大质量的粒 子 那么所对应的光子的最大波长将会更小 这从某种意义上告诉我们 当涉及到粒子的衰变 产生和转化等问题时 一般所需的能量是很大的 能量越大 粒子间的转化等现象就越丰富 发现新粒子的可能性就越大 这就是世界上建造越来越高能加速器的原因 期待发现新现象 新粒子 新物理 量子力学教程 周世勋 第 2 版 习题解析安师院物电学院 余春日 教授 编著 7 P10P10P10P10 1 51 51 51 5 例题例题 设设质量为m 带电 e的电子 在与均匀磁场B B B B垂直的平面内运动 求电子能量的可能值 解法一 解法一 周世勋 量子力学教程 周世勋 量子力学教程 2009200920092009 年第二版年第二版 P10P10P10P10 1 51 51 51 5 例题例题 带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动 设圆半径是r 线速度是v 用高斯制单位 洛 伦兹力Bv c e F v v v 提供向心力 即 r mv c Bev 2 或r mc Be v 1 电子的机械动量mv v v v与正则动量p p p p的关系为 A c e pvm v vv 利用索末菲量子化条件 2 1 0 2 1 L nhnpdq得 hnl dA c e vml dp 2 1 vv v v v BrSdBSdA l d A 2 vvvvvv 即 hnBr c e rmv 2 1 2 2 2 将 1 式代入 2 式得 hnBr c e r c Ber 2 1 2 2 eB c n eB hc nr h2 2 1 2 1 2 电子能量的可能值为 2 2 22 22 2 1 2 1 2 1 r mc eB r mc Be mmvEn 2 1 2 2 1 2 1 2 22 n mc eB eB c n mc eBhh 2 1 0 L n 注 1 此解与量子力学的严格解相同 即 Landau 能级 参阅有关文献 解法二 曾谨言量子 力学导论 习题解解法二 曾谨言量子 力学导论 习题解 带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动 设 圆半径是r 线速度是v 用高斯制单位 洛伦兹力Bv c e F v v v 提供向心力 即 量子力学教程 周世勋 第 2 版 习题解析安师院物电学院 余春日 教授 编著 8 r mv c Bev 2 1 又利用量子化条件 令 p电荷角动量 q转角 nhmrvmrvdpdq 2 2 0 2 即hnmrv 3 由 1 3 得 eB nc r h 2 电荷动能 mc nBe mvEk 22 1 2 h 再求运动电荷在磁场中的磁势能 按电磁学通电导体在磁场中的势能 mc neB mc rmveB Br r ev c BSI c Bm