高等数学(B)(1)课程教学辅导(二).doc

高等数学（B）（1）课程教学辅导（二）极限辅导学习要求1. 理解数列极限和函数极限的概念。2. 掌握极限的运算法则，了解级数概念。3. 了解函数连续的概念，知道闭区间上连续函数的性质。4. 会求一些数列和函数的极限。内容指导极限概念是微积分学中最重要、最基本的概念之一，也是微积分学的基础。理解了数列极限与函数极限的概念，掌握了极限运算，本章的其它一些概念，如函数的连续性等概念，也就容易了解它们的实质。因此，本章的重点是：理解数列极限和函数极限的概念，掌握极限的运算法则，而前者又是本章的难点。1 数列极限（1）数列的一些概念 依照某中对应法则排列着的一列数叫做数列，记作其中第项称为通项。知道了通项，该数列就容易写出，所以数列也可简表为 如果与函数概念联系起来，那么数列是一种特殊的函数，即其自变量只取正整数的函数，称为整标函数。因此，又可以记为将数列看成整标函数，有利于将数列极限的概念引申到函数极限的概念。与函数的单调性、有界性概念联系起来，容易得到数列的单调性，有界性概念。设数列如果数列的项满足（即）就称是单调递增数列；如果数列的项满足 （即）就 称 是 单 调 递 减 数 列。这两种数列统称为单调数列。如果数列的所有项的绝对值都小于某一个与无关的正数，即 （）就称为有界数列；否则，称它为无界数列。例如，数列是有界数列，因为对一切正整数 都有 又如，数列是单调有界数列。容易想象，当单调递增数列有界，或单调递减数列有界时，则在数轴上表示数列各项的点都朝着一个方向移动，而又不能超过某一界限，终究要聚集在某一点附近。于是，单调有界数列必定有极限。（2）理解数列极限的概念，可以遵循“几何直观描述定义精确定义”这样一个过程。例如，数列借助于图2.1看出：当项数无限增大时无限接近于1。我们就说，1为数列的极限，记作但是，观察的结果是否准确？需要用数量关系加以表达。否则，“无限增大”，“无限接近于1”都是含糊不清的。所谓当无限增大时无限接近1，无非是说，随着无限制的增大，距离将任意地小。也就是说，无论你举出一个多么小的正数来（准备同距离作比较），当充分大时，距离一定会变得比你所举出的那个正数更小些。譬如，拿小正数同距离比较吧，当充分大时，例如当时，就有不等式 倘若拿别的更小的正数同这个距离作比较，情况也是这样，当充分大时，例如当时，也有不等式 如此等等。所以概括地讲，所谓“充分大时，距离可以任意地小”，指的是：对于任意给定的一个正数，不管它多么小，当充分大时（例如，总可以找到正整数当时）不等式 恒成立。这样，数列的极限为1的含义就一步一步确切了：当无限增大时，无限接近于1.当充分大时，可以任意小.对于任意给定的正数，不管它多么小，总存在一个正整数，使得当时，恒有一般地，有下列定义。定义 如果对于无论怎样小的正数，总存在一个正整数，使得当时，不等式恒成立，则称常数是数列的极限，记作 或 如果为数列的极限，便说收敛于，一个数列如有极限，便说它是收敛的，否则称它为发散的。在定义中，和这两个量的作用在于：定量地刻画了（变量）和（常量）之间的接近程度。必须是任意的，并且一旦已经给定了，就要求一定存在一个相应的正整数，使时，不等式成立。因此，正整数是与正数相联系的。如果换成另一正数，那么，就要换成另一个正整数。一般来说，越小，与它相联系的就越大。（3）数列极限的几何意义我们先介绍邻域的概念。设与是两个实数，且把满足不等式的实数的全体叫做的邻域，点叫做邻域的中心，叫做邻域的半径。容易看出，点的邻域就是以点为中心，而长度为的开区间。的几何意义是：对的任意邻域，总可以找到这样一个（数列的项数），当时（即自项以后），所有的点都落在该邻域内，而只有有限个（至多只有个），在这邻域以外（图2.4）。也就是说，不管多么小，点几乎全部聚集在点的近旁。可见，数列极限的“”定义，精确的描述了当无限增大时无限接近于的这种变化趋势。因此，称它为精确定义。2 函数极限（1）时的极限如果把数列看作整标函数，那么，函数极限与数列极限的区别仅在于：在求极限时，函数的自变量取实数值，其值连续地无限增大；而数列的自变量只取正整数值，无限增大。例如，与的对应法则完全相同，只是自变量和取值范围不同。的含义是：函数的自变量取负实数值，且其绝对值无限增大时，函数无限接近于常数。当自变量取实数值，其绝对值无限增大时，函数无限接近于常数，就记作需要注意的是，包含了与这两种情况。因此，极限成立的充要条件是 例如，设则 成立的充要条件是 （2） 的极限包含了与两种情况。如图2.8所示，表示从的左侧趋向于，即，且；表示从的右侧趋向于，即，且。当从的左侧无限趋向于时，如果函数的值无限趋向于常数，则称为时函数的极限（也称为函数在处的左极限），记作 或 类似地，当从的右侧无限趋向于时，如果函数的值无限趋向于常数，则称为时函数的极限（也称为函数在处的右极限），记作 或 当从的左、右两侧同时无限趋向于时，如果函数的值无限趋向于常数，则称为时函数的极限，记作根据，的含义，以及左、右极限的定义，函数极限的充要条件是：左、右极限存在并且都为，即或写成3 无穷大与无穷小（1）无穷小在自变量的一定趋向下，如果函数的极限为，则称为无穷小量，简称无穷小。同样地，当数列 的极限为时，则是无穷小。为了讨论问题方便，把无穷小写成： 或 需要注意的是：无穷小是极限为的变量，决不能把任何一个很小的数，例如等等，说成是无穷小；可是为无穷小，但无穷小不是数；自变量的趋向不同，变量趋向也可能不同，如，则当时， （即为无穷小）当时， （不是无穷小）无穷小有两个性质：有限个无穷小的代数和、乘积仍是无穷小；有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小。这两个性质为我们计算极限带来方便。例如，当时，所以 ， 又如，当时，而（即为有界变量），故两个无穷小比较的实质是：比较两个无穷小收敛于的“速度”的快慢。方法是计算它们比的极限。（2）无穷大在自变量的一定趋向下，函数（或 ）的极限可能存在，也可能不存在。例如，对，有 但时极限不存在。又如，对，当及时与的极限也不存在。在极限不存在的情况中又可分为两类：一类是函数值的绝对值无限增大，如；另一类是函数值在作摆动，如，。这两类中的前者，称为无穷大量，简称无穷大，记作或。需要说明的是：这里省略了自变量的趋向，主要是为了强调的趋向；记号不表明有极限，而是指无限增大；无穷大是指绝对值可以无限增大的变量，决不能与任何一个很大的数混为一谈。无穷大与无穷小有如下联系：在自变量的同一变化过程中，若，则；若，且，则。在自变量的某一趋向下，只取正值无限增大，或只取负值而绝对值无限增大，那么我们就称为正无穷大量或负无穷大量（简称正无穷大或负无穷大），记作 或 也可记作 或 例如， ，又如， ， 4 连续与间断的概念（1）函数的增量对于函数，当自变量由变化到，既有变化时，相应的函数有变化（图2.11）称它为函数在处的增量（或改变量）。若令，则函数增量的另一种写法为当时，在的右侧；而时，在的左侧。显然，若，则；若，则。（2）连续许多自然现象，如液体与气体的流动，气温的变化，以及动植物的生长等，都是随着时间在连续不断地变化着的。凡属连续变化的运动，在数量上它们有着共同的特点。拿气温的变化来看，一方面虽然在变化，但另一方面却是逐渐变化的。也就是说，在很短的一段时间内，其变化很小。因此，连续变化的概念，反映在数学上，就是当自变量的改变量很微小时，函数的相应改变量也很微小，即当自变量的改变量是无穷小（）时，函数的改变量也是无穷小（）。于是，当 时，我们就说函数在点处连续，或称为的连续点。若将写成，则就是 这样，在处连续，就是 或者说，当时，若函数的极限存在，且等于它在点处的函数值，则在点处连续。5 极限运算（1）极限的四则运算法则设 ， （这里自变量的趋向省略不写，表