高等代数是高校数学类各专业的主干基础课.pdf

8 高等代数是高校数学类各专业的主干基础课 它的重要性不仅在于它在许多科学技术中的广泛应 用 还在于它引导学生从中学数学逐步进入近 现 代数学的殿堂 高等代数这种引导作用主要是通过三个转变来 实现的 三个转变是 从具体的数学对象向抽 1 象的代数系统的转变 从各类数学对象的传统 2 表示向统一的矩阵表示的转变 从数学对象间 3 的具体关系向集合元素间的抽象关系的转变 三个 转变过程 充满了具体和抽象 特殊和一般 形式 和实质等辩证关系 它们组成了高等代数理论体系 的三条主线 下面具体谈一下三个转变的内容 从具体的数学对象向抽象的代数系统转变1 高等代数从中学代数已简介过的问题 多项 式 线性方程组入手 首先研究了多项式的概念 代数运算 整除 因式分解和根 接着研究了矩阵 的概念 代数运算和初等变换 这些知识虽然基本 上是 世纪的产物 但高等代数教材却是以1718 代数系统 的现代观点组织这些内容的 不但引 入现代数学的集合 数环 数域的概念 1 且在数 环 数域上讨论多项式和矩阵的代数运算 这表明 高等代数一开始就迈出了向代数系统过渡的步伐 在研究多项式和矩阵后 高等代数并未沿用归 方法继续研究其它数学对象 而是果断地迈出了向 代数系统过渡的第二步 高等代数从数 多项式 矩阵 几何向量 函数等数学对象关于加法和数乘 的共同的运算律中抽象出向量空间的公理化定义 从公理化定义出发 首先研究了 加法 和 数 乘 的进一步的性质和由这两种运算诱导出的线性 关系 接着又研究了向量空间的生成 子空间 基 和维数 向量空间的同构 最终搞清了向量空间的 结构 高等代数又用公理化方法和结构化方法研究 了向量空间中保持加法和数乘的变换 线性变换 的结构 研究了带有内积运算的向量空间即内积空 间的结构和内积空间的几种重要的线性变换 向量空间概念的建立和结构的研究已经体现了 代数系统结构方法的基本含义 但由于向量空间的 基础域是数域 所以它还不是一般意义下的代数系 统 高等代数最后一章又向一般的代数系统迈出了 第三步 即从数 多项式 矩阵 线性变换关于加 法和乘法的共同运算律中抽象出群 环 域等几种 最重要的代数系统的定义来 并简单地介绍了这几 种代数系统的最基本的性质 这为学生继续学习 抽象代数 打下直接的基础 从研究具体的数学对象转变到研究抽象的代数 系统这是代数思想的又一次飞跃 这种作法至少有 以下四方面的优点 利用公理化方法 将貌似不同而实质相同的1 数学对象统一研究 避免了逐一研究的繁琐 抛开数学对象的表面形式 从公理出发 集2 中精力研究内部结构 这种结构化方法 促进了研 究问题的深化 用代数系统的观点易于发现许多问题的联3 系 例如 由于整数与数域上的多项式关于各自的 乘法与加法都构成欧氏环 所以它们关于乘法 加 法 整除 最大公约元 因式分解的理论完全平 作者简介 侯维民 1947 男 河南卫辉人 天水师范学院数理与信息科学学院教授 收稿日期 2003 11 15 谈高等代数理论的三条主线 侯维民1 董春霞2 天水师范学院 数理与信息科学学院 甘肃 天水 天水市第七中学 甘肃 天水 1 7410012 741020 摘要 提出贯穿高等代数理论的三条主线 它们是 从具体的数学对象向抽象的代数系统的转变 从各类 数学对象的传统表示向统一的矩阵表示的转变 从数学对象间的具体关系向集合元素间的抽象关系的转变 关键词 代数系统 矩阵表示 数学关系 中图分类号 文献标识码 文章编号 O15 B 1371 1351 2004 05 0008 03 年月天水师范学院学报 200410 Oct 2004 第卷 第 期24 5 Journal of Tianshui Normal University Vol 24 No 5 9 行 又如 由于矩阵代数与线性变换代数同构 所 以它们关于加法 乘法 数乘 可逆性 对角化等 理论完全平行 由于满足各代数系统公理的数学对象很多 4 所以代数系统的一般结论都有广泛的应用 从各类数学对象的传统表示向统一的矩阵2 表示的转变 从公理出发 研究代数系统的结构有利于研究 数学问题的共性 但对于千变万化的数学问题只研 究其共性是远远不够的 还必须确切地研究其个 性 现代数学在研究代数系统结构的基础之上 力 求对各类数学问题采用统一的 表示 以便用统 一的方法研究各种数学问题 在高等代数特别是它 的线性代数部分中应用最广泛的是所谓 矩阵表 示 线性方程组可用它的增广矩阵表示 在向量空 间中 取定一个基后 维向量可由它的坐标组成n 的行矩阵或列矩阵表示 向量组可由各个向量的坐 标组成的矩阵表示 向量空间的线性映射 线性变 换 线性函数 双线性函数等都可用矩阵表示 2 在欧氏空间里 取定一个标准正交基后 正交变换 可用正交矩阵表示 对称变换可用对称矩阵表示 进而 向量空间里两个基之间的关系可由它们 的过渡矩阵表示 同一向量关于不同基下坐标之间 的关系可由矩阵等式表示 线性变换中给定基下原 象与象的坐标之间的关系可由矩阵等式表示 还 有 由矩阵的初等变换诱导出的矩阵之间的等价关 系 同一线性变换在不同基下的矩阵之间的相似关 系 同一双线性函授关于不同基下的矩阵之间的合 同关系都可由矩阵等式表示 此外 向量空间在给 定基下的线性型 二次型也可用矩阵的乘积表示 近年来 还有人用矩阵表示多项式与多项式系 3 通过矩阵表示 许多高等代数问题都可归结于 矩阵问题 而矩阵的理论又相对单一 这样就为研 究大量数学问题找到了统一而简便的方法 利用矩 阵的初等变换可以求解线性方程组并对其解讨论 可以寻找矩阵的秩及向量之间的线性关系 可以求 逆矩阵和矩阵在等价关系下的标准形 可以寻求非 退化的线性替换把二次型化为标准形等 利用矩 阵的加法 数乘 乘法 逆矩阵可以研究线性变换 的运算 像与核 利用矩阵方程可以求解线性方程 组和线性规划问题 利用矩阵的特性还可以确定线 性变换的类型 例如 由线性变换在某一标准正交 基下的矩阵是正交矩阵就可知道该线性变换是正交 变换 由线性变换在某一标准正交基下的矩阵是对 称矩阵就可知道该线性变换是对称变换等 最近有 人还发明了用矩阵的准初等变换求多项式系的最大 公因式的新方法 4 矩阵表示贯穿了线性代数各个章节 所以许多 人说线性代数实质上是矩阵代数 从数学对象间的具体关系到集合元素间的3 抽象关系的转变 集合之间存在包含关系 由整数的乘法可以诱 导出整数间的整除关系和同余关系 由多项式的乘 法可以诱导出多项式间的整除关系和相伴关系 由 多项式求最大公因式的运算可以诱导出多项式的互 素关系 由向量的加法 数乘运算可以诱导出向量 间的线性关系和向量组间的等价关系 由线性方程组的初等变换可以得出线性方程组 的同解关系 由矩阵的初等变换可以得出矩阵间的 等价关系 由变量的非奇异线性替换可以得出二次 型的等价关系 由线性变换在不同基下的矩阵表示可以得出矩 阵间的相似关系 由对称双线性函数在不同基下的 矩阵表示可以得出对称矩阵间的合同关系 由保持代数运算的满射 可以分别建立向量空 间 欧氏空间 群 环 域间的同态关系 由保持 代数运算的双射 可以分别建立向量空间 欧氏空 间 群 环 域间的同构关系 高等代数不仅提到上述诸多关系 而且就这些 关系是否满足自反性 对称性 反对称性 传递性 展开讨论 例如 线性方程组的同解 向量组的等 价 矩阵的等价 二次型的等价 矩阵的相似 矩 阵的合同 代数系统的同构都满足自反性 对称 性 传递性 它们都构成一般意义下的等价关系 集合间的包含关系 整数与多项式的整除关系都满 足自反性 反对称性和传递性 它们都构成一般意 义下的偏序关系 在研究上述等价关系的基础上 高等代数还讨 论了一些由等价关系决定的数学对象的分类及各类 的代表元问题 例如 摸同余关系可依被 除所 n n 得的余数相等将整数分为 类 各类的代表元分别n 为 矩阵的等价关系可依矩阵秩的相0 1 2 n 1 等 将 矩阵 分为类 各类的代表 mn nm n 1 00 0 r I 元分别为等价标准型 实 r 0 1 n 二次型的等价关系可依秩和符号差分别相等 将 n 10 元二次型分成类 各类的代表元分 别为 向量空间的同构关系 可依维数相等对向量空间分 类 维向量空间最简单的代表元为nFn 高等代数关于 关系 的大量讨论不仅说明 关系 是现代数学研究的重要内容 而且为后继 课程用公理化方法研究一般集合上的抽象关系 研 究以等价关系对集合的分类为基础的代数结构的商 结构奠定了坚实的基础 4 高等代数的三个转变构成了理论体系的三条主 线 看到了这三条主线 就看到了课程内容的系统 性 整体性 这无论是对教师的教还是对学生的学 都是大有好处的 参考文献 张禾瑞郝炳新 高等代数 第四版北京高等教 1 M 育出版社 1999 丘维声 高等代数北京 高等教育出版社 2 M 1996 刘仲奎等高等代数北京高等教育出版社 3 M 2003 聂灵沼 丁石孙 代数学引论 第二版北京 高等 4 M 教育出版社 2000 责任编辑刘雁翔 On Three Main Leads of Higher Algebra Theory HOU Wei min 1 DONG Chun xia2 1 School of Mathematics 2 No 7 Midde School of Tianshui Tianshui Gansu 741020 China Abstract This article advances three main leads of higher algebra theory They are the change from concrete mathematical objects to abstract algebraic systems the change from respective tradition notation of mathematical objects to unitary matrix notation and the change from concrete relations between the mathematical objects to abstract relations between the elements of set Key words algebraic system matrix notation mathematical kelation 课件设计与制作实用教程 评介MCAI 我院教师糟志科 杨声主编的教材 课件设计与制作实用教程 一书日前由兰州大学MCAI 出版社正式出版 并面向全国发行 教材第一章至第三章全面 系统 科学 深入地论述了 课件 课件教学MCAIMCAIMCAI 设计和课件设计的基本概念 内容编排由浅入深 观点明晰 第四章介绍了制作多媒体素MCAI 材的软件 制作方法与技巧 第五章介绍了制作课件的软件 及制作方MCAIAuthorware6 5 法 技巧 第六章列举了各学科课件制作的典型实例 通过这些实例的练习后 可以进一MCAI 步掌握课件设计和制作的