高级宏观经济学lecture2.doc

巴罗，萨拉伊马丁，经济增长，中国社会科学出版社，2000年龚六堂，经济学中的优化方法，北京大学出版社，2000Handout1. The uses of logarithms the natural constant e natural logarithms Growth rate: point elasticities2. discounting and power series.If then3. moments of functions of random variablesSuppose that x is a random variable, with mean and variance .then the mean of y is and the variance of y is . If the relationship is nonlinear, Instead,covariance decomposition4. Optimization in Economicsa) 微分方程的解及其稳定性i. 线性微分方程组考虑线性微分方程组记上面方程组的系数矩阵为假设它的两个特征根为实根，那么，微分方程组的解在两个特征根不相等时为：微分方程组的解在两个特征根相等时为其中A1和A2为待定常数，它们由初始条件决定。n 稳定性定义叫做微分系统的均衡点，如果在该点满足均衡点叫做渐进稳定的，如果从任意的初始点出发，系统的解满足均衡点叫做鞍点稳定的，如果存在初始点（x(0)，y(0)），从它出发系统的解满足n 判断均衡点的稳定性对于特征根为实根的情形，当，均衡点是不稳定的；当，均衡点是稳定的；当中一个为正，另一个为负，均衡点是鞍点稳定的。n 非线性微分方程组解的稳定性对于非线性系统，我们首先需要在其均衡点进行一阶Taylor展开将其转换为线性系统，然后讨论其解的稳定性。b) 非线性规划n 无约束规划问题：若x*为它的局部极小值点，则n 等式约束规划问题：受约束于定义Lagrange函数若x*为问题的解，则存在Lagrange乘子满足记受约束于其中b为参数。那么可以证明。也就是Lagrange乘子的经济含义为当系统参数变化一个单位时，系统的最优值会增加多少。有时也把Lagrange乘子称作影子价格。n 一般规划问题问题：受约束于 。定义Lagrange函数若x*为问题的解，则存在Lagrange乘子，满足一阶条件松弛条件根据一阶条件和松弛条件求解。Lagrange乘子的经济含义为当系统的限制参数变化一个单位时，系统的最优值的改变量。n 凸规划问题：其中f(x)为正常凸函数。受约束于 。定义Lagrange函数若x*为问题的解，则存在Lagrange乘子，满足一阶条件松弛条件根据一阶条件和松弛条件求解。若在约束条件中增加变量。若x*为问题的解，则存在Lagrange乘子，满足一阶条件松弛条件根据一阶条件和松弛条件求解。Lagrange乘子的经济含义为当系统参数变化一个单位时，系统的最优值的变化量。c) 变分法n 固定边界问题问题：受约束于，如果为问题的解，则满足1 Euler方程2 边值条件，3 二阶条件根据以上条件求解。注意，当函数F具有特殊形式时，Euler方程会变成很简单的形式：a. 如果函数F不显含变量x，即；Euler方程为：b. 如果函数F不显含时间变量，Euler方程为：c. 如果函数F不显含变量x和时间变量，Euler方程为：d. 如果函数F不显含变量x，即；Euler方程为定积分问题。n 自由边界问题问题：在初始点和终点受约束于下面三种情形：a. t0，x0，t1给定，x1自由；b. t0，x1，t1给定，x0自由；c. t0， t1给定，x0，x1自由；，如果为问题的解，则满足1 Euler方程2 对应于三种不同的初始条件和终点条件的边值条件和横截性条件分别为；a. ,b. ,c. ，3 二阶条件根据以上条件求解。n 终点时刻待定问题：在初始点和终点受约束于下面三种情形：a. t0，x0给定，x1，t1自由；b. t0，x0，x1给定，t1自由；c. x1， t1给定，x0，t0自由；d. x1，x0， t1给定， t0自由；，如果为问题的解，则满足1 Euler方程2 对应于四种不同的初始条件和终点条件的边值条件和横截性条件分别为；a. ,，b. ,c. ，d. ，3 二阶条件n 根据以上条件求解。d) 最优控制n 自由端点问题问题： 受约束于给定，自由。这里，为控制变量，为状态变量。我们可以通过改变来改变。定义Hamilton方程：其中为Hamilton乘子。如果为问题的解，则存在Hamilton乘子，满足1 最优性条件2 Euler方程3 可行性条件4 横截性条件5 二阶条件根据以上条件求解。Hamilton乘子的经济含义: 在t时刻状态变量增加一个单位，所带来的系统最优值的变化量。n 固定边界问题（可能无解）问题： 受约束于，。定义Hamilton方程：如果为问题的解，则存在Hamilton乘子，满足1 最优性条件2 Euler方程3 可行性条件，4 横截性条件：无5 二阶条件根据以上条件求解。e) 比较静态分析问题： 受约束于给定，自由。这里，为控制变量，为状态变量。我们可以通过改变来改变，r为给定的参数。定义Hamilton方程：其中为Hamilton乘子。我们知道系统的解是与参数r有关的。当参数变化时，系统的最优值也相应发生改变。从而我们可以比较不同的参数对应的不同的最优状态。可以证明它可由最优性条件和Euler方程推导出来。 n 带约束的控制问题： 受约束于给定，自由。定义Ha