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高等数学竞赛试题7答案一、求由方程所确定的函数在内的极值，并判断是极大值还是极小值. 解：对两边求导得，令得，代入原方程解得.故当时，取极大值.二、设，求, .解：=, =三、计算曲线积分，其中是以点（1，0）为中心，为半径的圆周,取逆时针方向.解：, , 当时, ， 当时,由格林公式知,. 当时, ,作足够小的椭圆曲线,从到. 当充分小时,取逆时针方向,使,于是由格林公式得， 因此 = = 四、设函数在内具有连续的导数，且满足，其中是由所围成的闭区域，求当时的表达式.解： =, 两边对求导得，且， 这是一个一阶线性微分方程，解得 五、设，求级数的和. 解：令, 则 =. . . = =, 六、设在上连续且单调增加，试证：对任意正数，恒有.解：令， 则, = =,于是. 七、设具有连续偏导数，由方程=0确定隐函数，求. 解：两边对求偏导得, 两边对求偏导得, ，, =1. 八、设，判别数列的敛散性. 解：定义，令，则,当时，, =. , 由可知收敛，从而收敛.九、设半径为的球面的球心在球面：上，问当为何值时，球面在球面内部的那部分面积最大？解：由对称性可设的方程为，球面被球面所割部分的方程为， , , . 球面与球面的交线在平面的投影曲线方程为，令所求曲面面积为, =. 令得驻点, 容易判断当时，球面在球面内部的那部分面积最大.十.计算，其中曲线弧为：，. 解： , (1) , ， (2) 将(1)、(2)代入得 = =4.十一.计算曲面积分，其中是曲面被平面所截出部分的上侧. 解：记为平面上被园所围成的部
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