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文档简介

高 等 数 学第五次课教学内容：极限存在准则，两个重要极限，无穷小比较教学目的：（1）熟练运用，（2）了解两个极限存在准则（3）无穷小比较教学重点：两个重要极限，无穷小比较教学难点：两个重要极限，无穷小比较教学关键：极限存在准则，无穷小比较教学过程：一、极限存在准则 两个重要极限准则1、（夹逼准则）如果数列、及满足下列条件： （1）、（2）、那么数列极限存在，且例、求解：原极限为1准则如果（1） 当，（2），那么存在，且等于A利用存在准则，得到重要极限1、例1、求极限解：例2、求极限解：原极限 =1例3、求极限解：原极限 准则2、单调有界数列必收敛利用准则，得到重要极限：2、当时，函数的值无限地接近于一个常数2.71828，记这个常数为e，即在自然科学中，这个数e作为对数的底，为e底的对数叫做自然对数，记作例1、 求极限解：原极限 =例2、解：原极限= = = =1例2、 求极限解：令则原极限= = = =柯西极限存在准则：数列收敛的充分必要是：对于任意给定的正数，存在着这样的正整数N，使得当mN,nN时，就有说明：柯西极限存在准则有时也叫做柯西审敛原理二、无穷小的比较1.引入两个无穷小的和、差及乘积仍旧是无穷小.但是,关于无穷小的商,却会出现不同的情况.例如,当时,、都是无穷小，而，.两个无穷小之比的极限的各种不同的情况,反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度.2.定义如果,就说是比高阶的无穷小,记作;如果,就说是比低阶的无穷小.如果,就说与是同阶无穷小;如果,就说是关于的k阶无穷小.如果,就说与是等价无穷小,记作.显然,等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形,即.例如:因为,所以当时, 是比高阶的无穷小,即.因为,所以时, 是比低阶的无穷小因为,所以时,与时同阶无穷小.因为,所以当时, 是关于的二阶无穷小.因为,所以当时,与是等价无穷小,即.下面再举一个常用的等价无穷小的例子.例1 证明:当时,.证:因为，所以关于等价无穷小,有下面两个定理.3.定理定理1 .定理2 设,且存在,则=.证：注定理2提供了一种计算极限的重要方法-等价无穷小代换.求两个无穷小之比的极限时,分子及分母都可用等价无穷小来代换,对乘积因子也可用等价无穷小代换.但要注意,等价无穷小不能在加减法中使用.常用的等价无穷小有:当时, ,(其中为常数).例求解：当，所以例求解：当，对分子作代换，得应用举例例1 计算下列极限：（1） （2） 解 （1） （2） =例2 计算下列极限： （1）（2） 解（1）原式（2）原式例3 求 解：原式 因为，所以所以 原式例4已知 ，求常数解：，求常数和解一：令，则故即 而得代入得 两边令得解二：因，而原式右边为，故如，则分子的次数（）比分母高，当时分式应；故再由知。于是上式右边成为以除
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