高斯(Gauss)公式.pdf

6 高斯 Gauss 公式 一 高斯公式一 高斯公式 则上连续在及其一阶偏导数 曲面为光滑或者分片光滑闭 其边界设空间有界闭区域高斯定理定理 则上连续在及其一阶偏导数 曲面为光滑或者分片光滑闭 其边界设空间有界闭区域高斯定理定理 1 z R y Q x P zyxR zyxQzyxP RdxdyQdzdxPdydzdV z R y Q x P 取外侧其中 取外侧其中 公式称为高斯 Gauss 1777 1855 德国 公式 公式称为高斯 Gauss 1777 1855 德国 公式 coscoscos dSRQP dv z R y Q x P 由两类曲面积分之间的关系得高斯公式的另一 种形式 由两类曲面积分之间的关系得高斯公式的另一 种形式 的外法线方向的方向角为曲面 其中的外法线方向的方向角为曲面 其中 Gauss公式的实质Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系 可得取在高斯公式中可得取在高斯公式中zRyQxP 3 1 zdxdyydzdxxdydzdVV z R y Q x P Fdiv e divergenc 记记 div 一个数量场 是散度的散度称为向量场 一个数量场 是散度的散度称为向量场FRQPF 高斯定理的证明高斯定理的证明 dxdyzyxRdV z R 只证只证 RdxdydV z R QdzdxdV y Q 类似的可证 类似的可证 即恰好交于两点的边界曲面轴的直线与 的内部且平行于坐标穿过具有特点设区域 即恰好交于两点的边界曲面轴的直线与 的内部且平行于坐标穿过具有特点设区域 213 22 11 321 外侧 上侧 下侧 外侧 上侧 下侧 Dyx yxzzyxz Dyxyxzz Dyxyxzz x y z o xy D 1 2 3 dxdyyxzyxR yxzyxR dz z R dxdydV z R D D yxz yxz 1 2 2 1 直接计算 直接计算 x y z o xy D 11 yxzz xy Dyx zzz 213 22 yxzz D dxdyyxzyxRyxzyxR RdxdyRdxdy 12 123 dxdyzyxRdv z R 同理有其他二式成立 相加即得公式 同理有其他二式成立 相加即得公式 如知公式仍然成立 相加即曲面积分的性质利用三重积分及第二类 再有上述特点使得在每一个小区域具进行分割 可用适当的曲面对不具有上述特点时当区域 如知公式仍然成立 相加即曲面积分的性质利用三重积分及第二类 再有上述特点使得在每一个小区域具进行分割 可用适当的曲面对不具有上述特点时当区域 322311 21 213 上侧可添加曲面对图中区域 上侧可添加曲面对图中区域 31 32 21 12 x z O 1 2 2 1 3 y 二 Gauss公式的简单的应用 第二类曲面积分一般是用三重积分计算 公式的用法完全类似高斯公式的用法与格林 第二类曲面积分一般是用三重积分计算 公式的用法完全类似高斯公式的用法与格林 例1 计算曲面积分 例1 计算曲面积分 xdydzzydxdyyx 其中 为柱面 其中 为柱面1 22 yx及平 面 及平 面3 0 zz所围成的空间闭 区域 的整个边界曲面的外侧 所围成的空间闭 区域 的整个边界曲面的外侧 x o z y 1 1 3 解解 0 yxR QxzyP 0 0 z R y Q zy x P x o z y 1 1 3 dxdydzzy 原式原式 dzrdrdzr sin 3 0 1 0 2 0 sinrdzzrdrd 2 9 2 的表面外侧长方体 计算积分例 的表面外侧长方体 计算积分例 nzmdycbxa dxdyxzdzdxzydydzyx 3mncdab 计算很繁 则如果直接计算 计算很繁 则如果直接计算 6 1 i i SdFI x y z O n dVdVI3 111 用高斯公式得解用高斯公式得解 使用使用Guass公式时应注意公式时应注意 1 1 RQP 是对什么变量求偏导数 是对什么变量求偏导数 2 是否满足高斯公式的条件 2 是否满足高斯公式的条件 3 是闭曲面取外侧 3 是闭曲面取外侧 x y z o 例 3 计算曲面积分 例 3 计算曲面积分 dSzyx coscoscos 222 其中 为 锥面 其中 为 锥面 222 zyx 介于平面 介于平面 0 z及及 0 hhz 之间的部分的下侧 之间的部分的下侧 cos cos cos 是 在 是 在 zyx处 的法向量的方向余弦 处 的法向量的方向余弦 h 解解 xy D x y z o h 1 空间曲面在面上的投影域为空间曲面在面上的投影域为xoy xy D 222 1 hyxhz 补充 取上侧 补充 取上侧 1 曲面 不是封闭曲面曲面 不是封闭曲面 为利用 高斯公式 为利用 高斯公式 构成封闭曲面 构成封闭曲面 1 1 围成空间区域围成空间区域 上使用高斯公式在 上使用高斯公式在 xy D x y z o h 1 1 coscoscos 222 dSzyx dvzyx 2 0 dvyx根据对称性可知根据对称性可知 zdvdSzyx2 coscoscos 1 222 2 1 4 h h r h zdzrdrd 0 2 0 2 xy D h dxdyzdz 0 2 h dzzz 0 2 2 2 1 4 h zdz2 1 2dS z 1 coscoscos 222 dSzyx xy D dxdyh2 4 h 故所求积分为故所求积分为 dSzyx coscoscos 222 11 4 2 1 h 4 h 2 1 4 h 31 0 1 4 1 2 18 2 取左侧形成的曲面 轴旋转一周所绕曲线 计算积分练习 取左侧形成的曲面 轴旋转一周所绕曲线 计算积分练习 yy x yz yzdxdydzdxydydzyxI I yxy 2 3 22 围成 右侧添加 围成 右侧添加 D x y z 34216 1 16 31 2 3 1 3 1 12 2 2222 dyydzdxdzdxdy dzdxdV yzxzx 例 3 设函数例 3 设函数 zyxu和和 zyxv在闭区域 上具 有一阶及二阶连续偏导数 证明 在闭区域 上具 有一阶及二阶连续偏导数 证明 dxdydz z v z u y v y u x v x u dS n v uvdxdydzu 其中 是闭区域 的整个边界曲面 其中 是闭区域 的整个边界曲面 n v 为函数 为函数 zyxv沿 的外法线方向的方向导数 沿 的外法线方向的方向导数 coscoscos z v y v x v n v 证证 dS n v u dS z v y v x v u coscoscos dS z v u y v u x v u cos cos cos 利用高斯公式 即得利用高斯公式 即得 dS n v u dxdydz z v u zy v u yx v u x dxdydz z v z u y v y u x v x u vdxdydzu dxdydz z v z u y v y u x v x u dS n v uvdxdydzu 符号符号 2 2 2 2 2 2 zyx 称为拉普拉斯 Laplace 算子 这个公式叫做格林第一公式 称为拉普拉斯 Laplace 算子 这个公式叫做格林第一公式 沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 的边界曲线 无关而只取决于与曲面 曲面积分问题 在怎样的条件下 的边界曲线 无关而只取决于与曲面 曲面积分问题 在怎样的条件下 RdxdyQdzdxPdydz 为零 任意闭曲面的曲面积分即在怎样的条件下 沿 为零 任意闭曲面的曲面积分即在怎样的条件下 沿 我们有以下结论 我们有以下结论 内恒成立 在是等式 件分为零 的充分必要条内任一闭曲面的曲面积 的边界曲线 或沿无关而只取决于取曲面 内与所在则曲面积分 内具有一阶连续偏导数在 是空间二维单连通区域设定理 内恒成立 在是等式 件分为零 的充分必要条内任一闭曲面的曲面积 的边界曲线 或沿无关而只取决于取曲面 内与所在则曲面积分 内具有一阶连续偏导数在 是空间二维单连通区域设定理 G z R y Q x P G GRdxdyQdzdxPdydz GzyxRzyxQ zyxPG 0 2 三 物理意义 通量与散度 1 通量的定义 1 通量的定义 设有向量场设有向量场 kzyxRjzyxQizyxPzyxA 沿场中某一有向曲面 的第二类曲面积分为 沿场中某一有向曲面 的第二类曲面积分为 RdxdyQdzdxPdydz dSnASdA 0 称为向量场称为向量场 zyxA 向正侧穿过曲面 的向正侧穿过曲面 的通量通量 源中包含的区域中有源泉流出大于流入 源中包含的区域中有源泉流出大于流入 0 汇 中包含的区域中有漏洞流入大于流出 汇 中包含的区域中有漏洞流入大于流出 0 流量出入平衡 流出等于流入 流过流量出入平衡 流出等于流入 流过 0 散量 是单位体积内的平均发 则的体积为包含的区域设 散量 是单位体积内的平均发 则的体积为包含的区域设 SdF V V 1 设有向量场设有向量场 zyxA 在场内作包围点 在场内作包围点M 的闭曲面 包围的区域为的闭曲面 包围的区域为V 记体积为 记体积为V 若 当 若 当V收缩成点收缩成点M时 极限 时 极限 V SdA MV lim存在 存在 2 散度的定义 2 散度的定义 则称此极限值为则称此极限值为A 在点在点M处的处的散度散度 记为 记为Adiv 散度在直角坐标系下的形式散度在直角坐标系下的形式 dSvdv z R y Q x P n dSv V dv z R y Q x P V n 1 1 dSv Vz R y Q x P n 1 积分中值定理积分中值定理 dSv Vz R y Q x P n M 1 lim两边取极限两边取极限 z R y Q x P Adiv dSAdvAdiv n 高斯公式可写成高斯公式可写成 的边界曲面 是空间闭区域其中的边界曲面 是空间