圆锥曲线(一)轨迹问题.doc

圆锥曲线（一） 轨迹问题解析几何主要研究两大类问题：一是根据题设条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质【教学目标】能理解轨迹的概念，能根据所给条件选择适当的直角坐标系求轨迹方程，掌握 求轨迹方程的常用方法：直接法、定义法、相关点代入法、参数法等；将几何性质转化为方程（几何法等）。【自测回扣】（步步坚实，赢在起点）1.分别过作两条互相垂直的直线，则它们的交点的轨迹方程是_. 2.已知点F为抛物线的焦点，P在抛物线上运动，则线段PF的中点轨迹方程是 .3.已知椭圆的焦点是、，是椭圆上的一个动点如果延长到，使得，那么动点的轨迹是 （ ），如果M是线段的中点，则动点M的轨迹是( ).（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线的一支 （D）抛物线PMN【典例精析】（夯实基础，高效整合）4（06江苏卷） 如图,圆O1与圆O2的半径都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得试建立适当的坐标系，并求动点 P的轨迹方程.5. 已知（1）若动圆Q与C1外切，且与C2内切，则动圆圆心Q的轨迹方程为_；（2）与C1、C2都外切的动圆圆心的轨迹方程为_（3）与C1、C2都内切的动圆圆心的轨迹方程为_（4）过点C1且C2外切的动圆圆心的轨迹方程为_（5）与C1外切，且与y轴相切的动圆圆心M的轨迹方程是_.6.设A，B分别是直线和上的两个动点，并且，动点P满足记动点P的轨迹为C，求轨迹C的方程.7. 已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点为，过点F且垂直长轴的弦长为，(1) 求椭圆的方程;(2) 过椭圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.*变式：在上题中，若P为椭圆上的动点，A为过P且垂直于y轴的直线上的点，=，求点A的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 【总结归纳】（1）掌握好直接法、定义法、相关点法、参数法等方法的运用，特别是面对什么条件要想到用什么方法，一般步骤是：建系、设点、限制条件列式、代入、化简.（建设限代化）；（2）用待定系数法求出对应方程类型的系数，要注意方程思想的应用；（3）最后结果要写正确（注意“查漏除杂”）。【巩固练习】（强化训练，规范提升）8.已知A,B是两个定点, O为线段AB的中点,且|AB|=2,动点M到点A的距离为4,线段MB的垂直平分线l交MA于点P,求点P的轨迹方程. 变式：点A，B分别在x轴，y轴上运动，且|AB|=2，点P在线段AB上，（1）若P为线段AB的中点，则点P的轨迹方程为_.（2）若，则点P的轨迹方程为_.9.动圆P过点A (0,1)且与直线y=-1相切，O是坐标原点，动圆P的圆心轨迹是曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）过A作直线交曲线C于两点，求弦的中点的轨迹方程；（3）在（2）中求的重心G的轨迹方程。【高考链接】10.（2010天津文数）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同。则双曲线的方程为 .11.（07年湖南）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的动直线与双曲线相交于两点若动点满足（其中为坐标原点），(1)求点的轨迹方程;12.（2010安徽文数）17、（本小题满分12分）椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率. ()求椭圆的方程；()求的角平分线所在直线的方程。13.( 2010广东理)已知双曲线的左、右顶点分别为，点，是双曲线上不同的两个动点.（1）求直线与交点的轨迹的方程;14.（2010江西理）设椭圆，抛物线.（1）若经过的两个焦点，求的离心率；（2）设A（0，b），,又M、N为与不在y轴上的两个交点，若AMN的垂心为，且QMN的重心在上，求椭圆和抛物线的方程。圆锥曲线（一） 轨迹问题【自测回扣】（步步坚实，赢在起点）1.分别过作两条互相垂直的直线，则它们的交点的轨迹方程是_. 2.已知点F为抛物线的焦点，P在抛物线上运动，则线段PF的中点轨迹方程是 .3.已知椭圆的焦点是、，是椭圆上的一个动点如果延长到，使得，那么动点的轨迹是 （ ），如果M是线段的中点，则动点M的轨迹是( ).（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线的一支 （D）抛物线PMN答案：1 2 1A,B 【典例精析】（夯实基础，高效整合）4（06江苏卷） 如图,圆O1与圆O2的半径都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得试建立适当的坐标系，并求动点 P的轨迹方程.解：如图，以直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，则两圆心分别为设，则，同理，即，即这就是动点的轨迹方程5. 已知（1）若动圆Q与C1外切，且与C2内切，则动圆圆心Q的轨迹方程为_；（2）与C1、C2都外切的动圆圆心的轨迹方程为_（3）与C1、C2都内切的动圆圆心的轨迹方程为_（2）与（4）过点C1且C2外切的动圆圆心的轨迹方程为_（5）与C2外切，且与y轴相切的动圆圆心M的轨迹方程是_.6.设A，B分别是直线和上的两个动点，并且，动点P满足记动点P的轨迹为C，求轨迹C的方程.解：设P（x，y），因为A、B分别为直线和上的点，故可设，又，即曲线C的方程为6分7. 已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点为，过点F且垂直长轴的弦长为，(1) 求椭圆的方程;(2) 过椭圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线. 解: (1) 设椭圆方程为： , 由题意得, 所求的椭圆方程为. (2)设点的坐标为（），点坐标为,则点坐标是 ， 即， , 又，,即 点的轨迹方程是，轨迹是一个以原点为圆心，2为半径的圆，除去与y轴的交点。 *变式：在上题中，若P为椭圆C上的动点，A为过P且垂直于y轴的直线上的点，=，求点A的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 解：设，其中,由已知及点在椭圆上可得，其中,易知（i）时。化简得所以点A的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段。（ii）时，方程变形为，其中当时，点A的轨迹为中心在原点、焦点在轴上的双曲线满足的部分；当时，点B的轨迹为中心在原点、焦点在轴上的椭圆满足的部分。【巩固练习】（强化训练，规范提升）7.已知A,B是两个定点, O为线段AB的中点,且|AB|=2,动点M到点A的距离为4,线段MB的垂直平分线l交MA于点P,求点P的轨迹方程. （先建立适当的坐标系） 变式：点A，B分别在x轴，y轴上运动，且|AB|=2，点P在线段AB上，（1）若P为线段AB的中点，则点P的轨迹方程为_.（2）若，则点P的轨迹方程为_.8.动圆P过点A (0,1)且与直线y=-1相切，O是坐标原点，动圆P的圆心轨迹是曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）过A作直线交曲线C于两点，求弦的中点的轨迹方程；（3）在（2）中求的重心G的轨迹方程。解：(1)P到A的距离等于P到直线y= -1的距离，P的轨迹C是以A为焦点，直线y= -1为准线的抛物线：x2=4y.另解：（2），设，则由，两式相减得 ，又，即（3）设G（x,y）, 由（2）得，消去k得：为所求方程。10.（2010天津文数）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同。则双曲线的方程为 。11.（07年湖南）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的动直线与双曲线相交于两点若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；解：由条件知，设，设，则则，由得即于是的中点坐标为当不与轴垂直时，即又因为两点在双曲线上，所以，两式相减得，即将代入上式，化简得当与轴垂直时，求得，也满足上述方程所以点的轨迹方程是12.（2010安徽文数）17、（本小题满分12分）椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率。 ()求椭圆的方程；()求的角平分线所在直线的方程。12.【命题意图】本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力.【解题指导】（1）设椭圆方程为，把点代入椭圆方程，把离心率用表示，再根据，求出，得椭圆方程；（2）可以设直线l上任一点坐标为，根据角平分线上的点到角两边距离相等得.解：（）设椭圆E的方程为13.（2010江西理数）设椭圆，抛物线。（1） 若经过的两个焦点，求的离心率；（2） 设A（0，b），,又M、N为与不在y轴上的两个交点，若AMN的垂心为，且QMN的重心在上，求椭圆和抛物线的方程。【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。（1）由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得：，由。(2)由题设可知M、N关于y轴对称，设,由