圆中的基本概念和质.doc

圆中的基本概念和性质一、圆1、定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径通常用符号表示圆，定义中以为圆心，为半径的圆记作”“，读作”圆“2、点与圆的位置关系1、点在圆内 点在圆内；2、点在圆上 点在圆上；3、点在圆外 点在圆外；3、性质（1）对称性轴对称图形：经过圆心的任一条直线是它的对称轴； 中心对称图形：对称中心是圆心；旋转对称图形：无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合（2）垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧推论1： 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等问题：若一个圆经梯形ABCD四个顶点，则这个梯形是_梯形，若一个圆经ABCD四个顶点，则ABCD是_形解题技巧：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：，根据此公式，在，三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量（3）圆心角和圆周角 圆心角、圆周角的定义圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等题型一：圆的定义1. 点A在以O为圆心，3cm为半径的O内，则点A到圆心O的距离d的范围是题型二：圆周角定理圆周角圆心角例1.(2007浙江温州)如图，已知是的圆周角，则圆心角是 变式练习1：(09四川凉山)如图，是的外接圆，已知，则的大小为_变式练习2：(宜宾中考)已知：如图，四边形是的内接正方形，点是劣弧上不同于点的任意一点，则的度数是( ) 变式练习3：(08龙岩)如图，量角器外沿上有两点，它们的度数分别是，则的度数为_变式练习4：（2010海淀期末考试）如图，是的直径，是的弦若，则 的大小为（ ）A B C D变式练习5：在足球比赛中，甲乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到A点时，乙也跟随冲到B点，此时甲是自己直接射门好？还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢？（不考虑其他因素）半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径例2.(07重庆)已知，如图：为的直径，交于点，交于点，给出以下五个结论：，；劣弧是劣弧的倍；其中正确结论的序号是 变式练习1： 如图，是的两条直径求证：四边形为矩形题型三：垂径定理例3. (07年广州中考题)如图，是的外接圆，于点，交于点， 如果的半径为，则结论错误的是( )A B C D变式练习1：如图，矩形与圆心在上的交于点，则_ 变式练习2：如图所示，在中，若以为圆心、的长为半径的圆交于，则 变式练习3：如图，已知的半径是，点到圆心的距离为，求过点的所有弦中最短弦的长度 变式练习4： (2003北京市)如图23-10，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为E，如果AB10，CD8，那么AE的长为( )A2B3C4D5变式练习5：(2000北京西城区)如图23-15，AB为O的直径，弦CDAB，垂足为E，那么下列结论不正确的是( )ACEDEBCBACBADDACAD变式练习6：(2000北京市丰台区)在直径为52cm的圆柱形油桶内装入一些油后，截面如图23-16所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度为_cm变式练习7： 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是的圆心，E为的中点，OE交CD于点F. 已知CD=600m, EF=100m，求这段弯路的半径.变式练习8：某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为长方形并高出水面2m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？变式练习9：(2008广东湛江)如图所示，已知为的直径，是弦，且于点连接 求证： 若，求的直径例4.如图所示，在与三角形所组成的图形中，求证 变式练习1：如图所示，同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，试证明： 变式练习2： 若中等于的劣弧所对的弦长为，则的半径是_ 在半径为的圆中，垂直平分半径的弦长是_ 如图，同心圆中，大圆的弦交小圆于两点，的弦心距等于，那么，大圆半径与小圆半径之比是_ 例5. (08郴州)已知在中，半径，是两条平行弦，且，求的长变式练习1：在半径为的中，弦的长分别为和，则的度数为_ 已知的直径是，的两条平行弦，求弦与间的距离 变式练习2：(2002青海省)O的半径为10cm，弦ABCD，AB12cm，CD16cm，则AB和CD的距离为( )A2cmB14cmC2cm或14cmD10cm或20cm变式练习3：(09湖北黄石)如图，是的直径，且，弦的长为，若弦的两端在圆上滑动时，始终与相交，记点到的距离分别为，则 等于( )A B C D 例6.如图，已知AB是O的直径，CD是弦，AECD，垂足为E, BFCD，垂足为F，且AE=3cm，BF=5cm若O的半径为5cm，求CD的长. 变式练习1：如图，AB是O的直径，CD是弦若AB = 10cm, CD = 8cm, 那么A , B 两点到直线CD的距离之和为 ( )A. 12cm B. 10cm C.8cm D.6cm题型四：圆心角、圆周角与垂径定理综合1.若弦长等于半径，则弦所对的圆心角的度数是_，弦所对弧的度数是_课上小测：1. 下列说法正确的是（ ）A.直径是圆的对称轴 B.经过圆心的直线是圆的对称轴C.与圆相交的直线是圆的对称轴 D.与半径垂直的直线是圆的对称轴2. 在直径为10cm的O中，有长为5cm 的弦AB， 则O到AB的距离等于（ ) A. 5cm B. 5cm C.cm D. cm3. 在半径为 4cm 的图中，垂直平分一条半径的弦长等于（ ） A.3cm B.2cm C. 4cm D. 8cm4. 已知：如图，有一圆弧形拱桥，拱的跨度AB=16cm，拱高CD=4cm，那么拱形的半径是 cm.5. 如图，AB为O的直径，弦CDAB，垂足为P，若AP:PB=1:4, CD=8，则 AB=.6. 已知O的半径为10cm，弦MN/EF，且MN =12cm, EP=16cm，则弦MN和EF之间的距离为 .7. 已知O的半径为5cm，过O内一点P的最短的弦长为8cm，则OP= .8. 如图，O的直径为10cm，弦AB为8cm , P是弦AB上一点，若OP的长是整数， 则满足条件的点P有（ ) A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个9. 已知圆的两弦AB,CD的长是方程x2-42x+432=0的两根，且AB/CD，又知两弦之间的距离为3，则圆的半径长是（ ) A.12