培养学生直觉思维能力的策略.doc

培养学生直觉思维能力的策略 （654200）会泽县茚旺高级中学 杨顺武【摘要】：数学思维包括逻辑思维和直觉思维两种形式，逻辑思维严格遵守概念和逻辑规则，而直觉思维不受固定的逻辑规则约束，直接领悟事物本质，大大节约思考时间。逻辑思维在数学思维中始终占据着主导地位，而直觉思维又是思维中最活跃、最积极、最具有创造性的成分。两者具有辨证互补的关系。因此，作为选拔人才的高考命题人，很自然要考虑对直觉思维的考查。【关键词】：数学思维 直觉思维 数学思维包括逻辑思维和直觉思维两种形式，逻辑思维严格遵守概念和逻辑规则，而直觉思维不受固定的逻辑规则约束，直接领悟事物本质，大大节约思考时间。逻辑思维在数学思维中始终占据着主导地位，而直觉思维又是思维中最活跃、最积极、最具有创造性的成分。两者具有辨证互补的关系。因此，作为选拔人才的高考命题人，很自然要考虑对直觉思维的考查。人的思维过程包括直觉思维和分析思维。直觉思维是人类思维的重要形式，是创造性思维的基础；直觉思维是未来的高科技信息社会中，能适应世界新技术革命需要，具有开拓、创新意识的开创性人才所必有的思维品质。由于数学知识的严谨性、抽象性和系统性的特点，数学思维就是人脑和数学对象交互作用并按一般的思维规律认识数学规律的过程。现代教育重视能力的培养，主要要求学生在数学学习中学会观察问题、发现问题、提出问题、探究和解决问题。可见直觉思维在中学数学教学中具有重要的地位和作用。直觉类似于灵感、顿悟、奇妙启示等等。总之，直觉思维是一种非逻辑、非理性因素。它是探索数学的概念、规律、方法和寻求解题途径时的主要思维方式之一，是学生形成逻辑思维的基础。其思维特征表现为：从目的看，它的重点是找到事物的本质或事物之间可能有的联系；从形态上看，它表现于思维的多向（正向、逆向、横向、纵向）运动和飞跃运动；从实质上看，它并不需要从充足的理由来得出结果。直觉思维还具有简约、生动、自由的特征。学生的认识过程首先是建立在直觉思维之上的，即是对于问题的本质或规律的直观感受，或直接估断，能动地把外表不同的事物给出直观的结果。直觉思维创造了假设，再经过逻辑思维的推理论证，往往可以发现科学原理或解题途径。尽管人们对直觉产生的机理还知之甚少，但很显然，直觉思维的活动和效果依赖于观察和联想的效果，是与掌握丰富知识密切相关的。而且早已公认直觉思维能力是可以在学习过程中逐步培养起来的。本文从三个方面谈谈如何培养学生的直觉思维能力。第一、 领会直觉思维法的精髓例1、在下列给出的四个函数中，与互为反函数的是（ ）A、 B、 C、 D、 分析：由指数函数的反函数是对数函数，因此只能选C；当然有的题目不止用一种方法，需要几种方法同时使用；也有的题目有多种解法，这就需要在实际解题过程中去分析总结。例2、已知，则的值为（ ）A、 B、或 C、 D、分析：由题目中出现的数字3、4、5是勾股数以及的范围，直接意识到，从而得到，选C 。例3、如图，已知一个正三角形内接于一个边长为的正三角形中，问取什么值时，内接正三角形的面积最小（ ）A、 B、 C、 D、分析：显然小三角形的边长等于大三角形的边长之半时面积最小，选A。例4、测量某个零件直径的尺寸，得到10个数据：如果用作为该零件直径的近似值，当取什么值时，最小？（ ）A、，因为第一次测量最可靠 B、，因为最后一次测量最可靠C、，因为这两次测量最可靠 D、分析：若直觉好，直接选D。若直觉欠好，可以用退化策略，取两个数尝试便可以得到答案了。例5、函数的最小正周期是（ ）A、 B、 C、 D、分析：因为总有，所以函数的周期只与有关，这里，所以选B；例6、已知a、b是不相等的两个正数，如果设，那么数值最大的一个是（ ）A、 B、 C、 D、与a、b的值有关。分析：显然p、q、r都趋向于正无穷大，无法比较大小，选D。要注意，这里似乎是考核均值不等式，其实根本不具备条件缺乏定值条件！第二、 直觉思维法的常见错误1、 类比直觉导致概念混淆在教学中很多教师都会遇到，有学生会写出,等错误式子，这无疑是学生在熟知的背景下产生的一种负迁移，之所以这样是因为学生只看到了新旧知识形式的类似，而不懂得它们实质上的不同，学生把这个式子本身当成了知觉对象，只是从形式上把握了这个式子的结构，而在知觉条件发生变化的情况下，仍然保持了知觉的恒常性，显然这样的直觉在学习中是有害的。2 、数形直觉忽视入微细节解决数学问题时，常对数字语言和数学图形语言有直觉的理解，以“形”助“数”，由“数”思“形”，数形结合，优势互补，然而这样的思维常忽略了一些入微的细节，导致错误的结果。例1方程（）=实根的个数（ ）（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个分析：作函数y=（） 与函数y= 的简图，得答案B，这个答案对大多数学生甚至老师都没有表示怀疑，但对那些善于钻研和思考的学生来说，并没有就此而止，有人提出：图形准确吗？仔细观察发现=, =都是方程的解，这说明作图真的不准确，再准确作图可得在区间（0，1）上有三解，在区间（1，+）上有一个解，所以该选D。3 、经验直觉掩盖发现过程凭经验我们可以很快发现解决问题的途径，但这在很多情况下掩盖了学生对问题的发现和探索过程，G.波利亚说过“学生学习任何东西的最好途径是自己去发现。”学生在探索过程中不断地发现新问题，才是我们最佳的教学方式。例2已知, 求证： (nN+)分析：看到本题学生会毫不犹豫地想到数学归纳法。方法虽不错，但似乎缺少点什么。深入分析已知条件会有如下巧解：设=+t , y=-t , 则有 n+yn=( +t)n + (-t )n=2C()n + C()n-2t2 + (nN+)本题如果停留在经验的基础上不深入发现已知条件的特征，就得不到上述美妙的证法。4、习惯直觉阻碍创造思维习惯的背景下阻碍了学生的探索过程，不利于创造思维的发挥。例3如图，用六种不同颜色给图中A、B、C、D四个区域分别涂色，每个区域只能涂一种颜色，且要求相邻的区域不涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有多少种？按习惯，涂色顺序为A-B-C-D，所以共有6545=600（种）。不少人到此为止，不去思考了。然而你仔细一想，按不同的顺序会有不同的结果吗？如果按A-D-C-B涂有6644=576（种），若按A-D-B-C涂有6653=540（种）。这是什么原因呢？是习惯背景下抹杀了学生的创造思维。事实上，此类问题可以分类讨论： ）六种颜色选四种涂A-B-C-D有A=360（种） ）六种颜色选同一种颜色涂2个区域只有A-D或B-D满足条件，各有AA=120（种）。）无三个或三个以上的区域涂同一种颜色。于是，共有A+ AA+ AA=600（种）由上可知，第一种涂法答案正确只是一种巧合，进一步思考，回到分类讨论，才会得到让人心悦诚服的解答。5 、模型直觉弱化理性思维用具体模型代替抽象问题，往往能得到问题的结论，但这一过程缺少理性思维，会导致学生知其然而不知其所以然。例4函数是定义在（0，+）上的单调函数，且, 。（1）求的值。（2）证明： 分析：看到，凭直觉马上想到了 , 而, 所以, 。做完此题，不免会问，是对数函数吗？会不会是别的函数呢？理由总觉得不充分。事实上，设 , 则 .又设 ，则 ,.从而是线性函数，且。所以可设所以，设 ,则.所以 所以。这样一来，就回答了是对数函数的问题。这个推理过程连续使用了多次换元的思想，光凭直觉学生是会似懂非懂的，有了理性的分析与推理，结果就大不相同了。第三、 培养直觉思维的策略数学最初的概念都是基于直觉，数学在一定程度上就是在问题解决中得到发展的，问题解决也离不开直觉。数学直觉是具有意识的人脑对数学对象（结构及其关系）的某种直接的领悟和洞察。培养直觉思维能力是社会发展的需要，是适应新时期社会对人才的需求。数学直觉思维的培养应该是多方面多渠道的，它需要学生具有广博的知识、丰富的联想、恰当的类比、合理的延拓及标新立异的勇气和胆识。所以说在中学数学中培养直觉思维能力是教学中的主要任务。 1、要打好基础，形成合理认知结构是产生直觉的源泉。只有掌握好数学的基础知识和基本结构，举一反三、触类旁通，才能有助于学生的思维由单向型向多向型转变，有助于学生抽象思维与形象思维相结合、正向思维与逆向思维相结合、会聚思维与发散思维相结合，形成立体的网络思维，从而获得直觉的判断和联想。例5、实数为何值时，圆与抛物线有两个公共点。错误解法 将圆与抛物线 联立，消去，得 因为有两个公共点，所以方程有两个相等正根，得 解之，得错误分析 （如图221；222）显然，当时，圆与抛物线有两个公共点。xyO图222xyO图221要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程有一正根、一负根；或有两个相等正根。当方程有一正根、一负根时，得解之，得因此，当或时，圆与抛物线有两个公共点。思考题：实数为何值时，圆与抛物线，（1） 有一个公共点；（2） 有三个公共点；（3） 有四个公共点；（4） 没有公共点。养成验算的习惯，可以有效地增强思维反思性。如：在解无理方程、无理不等式；对数方程、对数不等式时，由于变形后方程或不等式两端代数式的定义域可能会发生变化，这样就有可能产生增根或失根，因此必须进行检验，舍弃增根，找回失根。 2、在教学中要有意识地训练学生的直觉思维善于通过分析知识之间的逻辑联系、分析多种假设之间的差异和对立，把有待探索的问题展示在学生面前，激发学生探索数学理论的兴趣和愿望，培养学生发现问题。再根据学生的知识水平，选择恰当的内容，有意识地训练学生从整体出发，用猜想、跳跃的方法直接而迅速地找到解决问题的方法和答案，鼓励学生寻求“一题多解”，归纳“多题一解”，鼓励学生敢于向书本、教师质疑，挑战各种问题。 由于每个学生在观察时抓住问题的特点不同、运用的知识不同，因而，同一问题可能得到几种不同的解法，这就是“一题多解”。通过一题多解训练，可使学生认真观察、多方联想、恰当转化，提高数学思维的变通性。例6、 已知复数的模为2，求的最大值。解法一（代数法）设yxOi-2i图123Z解法二（三角法）设则 解法三（几何法）如图123 所示，可知当时，解法四（运用模的性质）而当时，解法五（运用模的性质） 又3、在解题训练中要加强学生的直觉思维在解题训练中更应该让学生发挥他们的直觉思维。这就要求教师转变教学观念，把主动权还给学生。对学生的大胆设想给予充分肯定，对其合理成分及时给予鼓励，爱护，扶植学生的自发性直觉思维，以免挫伤学生直觉思维的积极性和学生直觉思维的悟性。教师应及时因势利导，解除学生心中的疑惑，使学生对自己的直觉产生成功的喜悦感。所以教师应采取积极鼓励的策略让学生运用直觉思维方法来解题，明确地提出把直觉思维直接运用在解题训练中，制定相应的活动策略，从整体上分析问题的特征。掌握换元、数形结合、归纳猜想、反证法等，渗透直觉观念与思维能力。华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微。”通过深入的观察、联想，由形思数，由数想形，利用图形的直观诱发直觉，对培养学生的几何直觉思维大有帮助。教师应该把直觉思维在课堂教学中明确提出，制定相应的活动策略。重视数学思维方法的教学，诸如：换元、数形结合、归纳猜想、反证法等，通过方法论的分析使数学中的发明、创造活动成为“可以理解的”、“可以学到手的”和“可以加以推广应用的”，以思想方法的分析去带动具体知识内容的教学例7、函数在区间A上是增函数，则区间A是（ ）A、 B、 C、 D、 （提示：作出该函数的图象如右，知应该选B）4、在复习中要把握直觉思维的整体性，选择适当的题目类型，有利于培养、考察学生的直觉思维。在复习中做一些开放性问题的练习，对培养直觉思维很有效。开放性问题的条件或结论不够明确，可以从多个角度由果寻因，由因索果，提出猜想，由于答案的发散性，有利于直觉思维能力的培养。例8、若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”设是公比为q的无穷等比数列，下列的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第 组（写出所有符合要求的组号）S1与S2；a2与S3；a1与an；q与an(其中n为大于1的整数，Sn为的前n项和)解：（1）由S1和S2，可知a1和a2由可得公比q，故能确定数列是该数列的“基本量”（2）由a2与S3，设其公比为q，首项为a1，可得，满足条件的q可能不存在，也可能不止一个，因而不能确定数列，故不一定是数列的基本量（3）由a1与an，可得，当n为奇数时，q可能有两个值，故不一定能确定数列，所以也不一定是数列的一个基本量（4）由q与an，由，故数列能够确定，是数列的一个基本量故应填、总之，数学教学与思维密切相关，数学能力具有和一般能力不同的特性，因此，发展数学思维能力是数学教学的重要任务，我们在发展学