线性代数(-学习指南).doc

线性代数一.判断题(每题2分)1. 非齐次线性方程组Ax=b有唯一解的充要条件是A的秩n.()2. 若方程组Ax=0与方程组Bx=0同解,则A与B有相同的秩.()3. 若A与对角矩阵相似,则A-2I也与对角矩阵相似.()4. 若AB=AC,且A可逆,则必有B=C.()5. 若A有一个特征值为2,则2A-I必有一个特征值为3.()6. 若AB=O,且BO,则A的行列式等于零.()7. 二次型的秩为2.()8. 若A有一个特征值为2,则A-I必有一个特征值为1.()9. 当A,B都可逆时,AB必可逆.()10. 对任何n阶方阵A,B都有det(AB)=det(BA).()11. (ABC)()12. 若det(B)=2,则det()=.()13. 若A与对角矩阵相似,则也与对角矩阵相似.()14. 非齐次线性方程组Ax=b仅有唯一解的充要条件是det(A)0.()15. 非齐次线性方程组Ax=b有唯一解的充要条件是A的列向量组线性无关.()16. 若方程组Ax=0的解都是方程组Bx=0的解,则A的秩大于B的秩.()17. 矩阵的秩等于3.()18. 二次型的秩为3.()19. 对任何n阶方阵A都有det(A)=det().()20. 若A可逆,且矩阵AB=AC,则B=C.()21. 若det(A)=9,det(B)=3,则det(A)=3.()22. 若A有一个特征值为2,则2A-3I必有一个特征值为1.()23. 若向量组线性相关,则a=-6.()24. 若A与B相似,则A与B的行列式必相等,但反之不真.()25. 二次型f(是正定的.()26. 当A,B都可逆时,必有det(AB)0.()27. 若非齐次线性方程组Ax=b有唯一解,则A的秩为n. ()28. 若向量组等价,而且线性无关,则向量组也线性无关.()29. 若为A的伴随矩阵,det(A)=2,则()30. 若向量组等价,其中则向量组的秩为2,()31. 若det(A)=9,det(B)=3,则det(A)=3.()32. 若为A的伴随矩阵,det(A)=2,则()33. 若A与B相似,则A-2I与B-2I有相同的特征值,其中I为n阶单位矩阵.()34. 若A与B相似,则A-2I与B-2I相似,其中I为n阶单位矩阵.()35. 二次型不是正定的.()二、作答题1. 矩阵A=答案：2. 设矩阵A=,求答案：3. 设矩阵A=答案：4. 设矩阵A=答案：5. 设矩阵A=的伴随矩阵为B,求B及AB.答案：6. a,b取何值时,向量可由向量组线性表示?并求出此线性表示式,其中答案：当b=2,a1时,有;当b=2,a=1时,有其中k为任意常数。7. 已知向量组是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,证明向量组也是该方程组的一个基础解系。答案：证明是方程组Ax=0的三个线性无关的解。,对应的全部特征向量为.8. 设A,B都是n阶对称矩阵,证明:AB为对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.答案：9. 求一个正交变换,将二次型化成标准形,并写出所用正交变换的正交矩阵.答案：.10. 设n阶方阵A,B满足其中I为n阶单位矩阵,且det(A)+det(B)=0，证明：det(A+B)=0.答案：Det(A)det(B)=-1,A+B=A(A+B)B,两端取行列式得det(A+B)=-det(A+B).11. 设矩阵A,B,C满足AB=C,其中A=求矩阵B.答案：B=12. 设矩阵A=证明=2A并证明.答案：13. 试叙述矩阵的秩的定义,并求矩阵A=的秩。答案：秩(A)=2.14. 设矩阵A=,求A的特征值与特征向量。答案：,对应的全部特征向量为15. a取何值时,方程组有无穷多解?并在此时求出方程组的通解。答案：16. 求矩阵A=的特征值与特征向量。答案：17. 设矩阵A=,三阶非零方阵B满足AB=O,求常数k的值,并证明det(B)=0.答案：若A可逆,则有B=O,因BO,故det(A)=0,由此得k=-3.同理知det(B)=0.18. 设nm矩阵A和mn矩阵B满足AB=I,其中I为n阶单位矩阵,证明B的列向量组线性无关。答案：设B按列分快为19. 设阵A=,求齐次线性方程组Ax=0的基础解系。答案：20. 求下列方程组的通解：答案：21. 求矩阵A=的特征值与特征向量。答案：1,22. 求一个正交变换,将二次型化成标准形,并写出所用变换的正交矩阵。答案：23. 求一个正交变换,将二次型化成标准形,并写出所用变换的正交矩阵。答案：24. 设A为mn矩阵,B为ns矩阵,已知A的列向量组线性无关,证明:B与AB有相同的秩。答案：证明方程组25. 设矩阵A=,求齐次线性方程组Ax=0的基础解系。答案：26. 设向量试将向量用向量组线性表示。答案：27. 求矩阵A=的特征值与特征向量。答案：28. 设n阶方阵A=(为n阶单位矩阵的第j个列向量,求为的转置。答案：A的第j个列向量,A的第i个行向量.29. 设方阵B为n阶可逆方阵A的伴随矩阵,试求B的伴随矩阵（用A及A的行列式表示）.答案：30. 设有向量证明线性表示.答案：证明A=的秩为3或A的行列式不为零.31. 已知矩阵A=相似,求一个可逆矩阵P,使得答案：32. 求一个正交变换,将二次型化成标准形,并写出所用变换的正交矩阵.答案：33. 求一个正交变换,将二次型化成标准形,并