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基于序列响应面法的可靠性研究 作者：吴至彩【摘要】:提出了结构可靠度分析的序列响应面法和相应的收敛控制准则,并应用于非线性极限状 态函数的可靠度计算.该方法用简单的二次函数逐步逼近原来的复杂函数,并由该二次函数计算可靠指标的近似值.这一方法简化了迭代计算过程,减少了迭代次数,有效地提高了计算精度和计算 效率,对于大型复杂结构的可靠度分析较为适宜,并可推广应用于动力问题等的可靠度分析. 关键词:极限状态函数;序列响应面法;可靠度分析 前言：在结构可靠度分析中,一次二阶矩法应用最广，常用的一次二阶矩法有均值点法、验算点法、映射变换法。使用分析法等等,并被国内外工程结构可靠度设计规范 普遍采用,该方法的特点就是只需考虑机械结构状态函数泰勒级数的线性项及基本随机变量的一阶矩和二阶矩。但这一方法的缺点是当变量离散性大或极限状态方程高度非线性时,可靠度计算将产生较大的误 差;二次可靠度分析法又称为SORM法，虽能有效地提高计算精度,但其计算机时却大大增加,用于大型复杂结构的可靠度计 算尚有困难。蒙特卡罗法求解概率问题最直观、最精确，对高度非线性问题也最有效，但简单蒙特卡罗法仿真效率太低，而机械产品的可靠性要求很高，所以难以在机械可靠性仿真分析中应用。结构可靠度计算的响应面法由Wong 于1984 年首先提出,1985年应用于土坡稳定的可靠度计算.这一 方法是用一简单的显式函数逐步逼近复杂的隐式(或显式)函数,并计算其对应的可靠度,其优点是可以直接 应用确定性结构分析程序,而不必对中间计算过程进行修改.用二次响应面函数逼近非线性极限状态函数计 算结构可靠度,与Taylor 一次展开法相比,计算精度明显提高.而计算机时则减少约 1/3.所以,结构可靠度计 算的响应面法尤其适用于大型复杂结构的可靠度分析,有重要的理论研究意义和推广应用价值。一、结构可靠度分析的序列响应面法方法概述早期的一种 方法是随机 地生 成一组被称 之为 “ 拟 合点 ” 的 矢量 x1 , x2 , x3 ,、 , xn 。对每个矢量 x1 计算 g x(x1) , 再用 回归 方法确定响应面G x( x ) 中参数。现在序列响应面法是在验算点法附近拟合响应面内，用插值技术确定近似状态函数，利用一次二阶矩方法求出可靠度指标，再得到新的验算点重新迭代，逐步逼近精确解。由于验算点会出现概率分布的末端，而序列响应面法又是在验算点处拟合响应面，故它有效地改善了试验设计思想构造响应面的缺陷，更接近精确解。由于二次多项式表示的响应面函数在验算点附近拟合状态函数比较精确，且将形式简化也不会影响分析结果，所以，响应面函数选为：同时，利用插值的方法来确定响应面法函数的系数可以减少仿真分析的工作量，但不会降低精度，因此解此线性方程组获得系数，即获得了近似的状态方程函数。得到近似的状态函数后，再应用一次二阶矩方法即可求得可靠度。2、 序列响应面法分析流程1、将极限状态方程转化到标准正态空间：Z = g(u);2、取设计验算点初值，一般在原始空间中取随机变量均值，标准正态空间中对应点 U* = 0;3、形成标准空间拟合点，取=0.10.5形成标准空间中2n+1个拟合点；4、换算成原始空间中拟合点：若已转化为正态分布，则原始空间拟合点为： 5、 据下式确定拟合二次式系数 将标准正态拟合空间及原始空间的（2n+1）个拟合点数据代入上式，求得（2n+1）个联立方程，用以求解。于是，求得标准正态空间拟合二次曲面方程。 6、用一次二阶矩法，对上式进行计算得到； 7、据及新的设计验算点重复46步直至得到可靠度指标收敛。3、 序列响应面法的算法流程图可用图1-1表示 标准正态化输出可靠性指标，可靠度，失效概率标准正态空间函数xi是否标准正态空间 输入功能函数 No可靠指标达到精度？构建试验验点形成A矩阵矩阵计算试验点响应值B矩阵求解响应面系数构建响应面计算响应面可靠性指标验算点 yes no Yes 图1-1 序列响应面法计算流程图4、 算例圆形截面简支梁，受到均布载荷作用，许用弯曲应力为，截面直径， 、相互独立且服从正态分布，其均值与方差分别为解：原始空间极限状态方程为（1） G(，) =324.64/（）=0为了计算方便，原始状态方程转化为： ，=32*4.64/（*）=0（2） 标准正态空间极限状态方程为 F(,)=* + 32*4.64/(+*）3 = 0 =11.76 +80 32*4.64/(30.2+3.0599)3=0(3) 取设计验算点初值 在原始空间取：r* = =80,d*=30.2在标准正态空间对应点为：r*=0，d*=0 （4）确定拟合点，取=0.3.可得标准正态空间的5个拟合点为： （0,0），（-0.3，0），（0.3,0），（0，-0.3），（0,0.3） 初始空间相应的5个拟合点为： =+* ； = +* 代入得，（80,30.2），（76.47,30.2），（83.528,30.2），（80,29.28），（80,31.12） （5）确定二次方程式中系数 - 32*4.64/（*）=+*+*+ 将5个拟合点值代入得到五个方程式，然后解方程式得： 得到，F(x1,x2)=A+B +C+ D+ E (6)对上述方程，采用一次二阶矩法，求得及新的设计验算点。 （7）跟据及新验算点，重复46步直至收敛，最后便可求出二次可靠度。5、 结语大型复杂结构的可靠度分析一直是人们关注的研究课题,实用高效的分析方法是解决这一问题的关键.本文提出的二次序列响应面法简便实用, 计算精度可望高于一次可靠度分析方法,给出的收敛控制准则可以保证迭代计算的收敛精度.该方法以确定 性结构计算为基础,可以直接应用现有的结构分析程序,可靠度计算时直接应用确定性结构计算的结果,不 必考虑其中间运算过程,对于大型结构非线性问题的可靠度分析更为适宜,可见这一方法有良好的应用 前景.5、 参考文献参考文献: 1 Wong F S.Slope reliability and response surface method J .Journal of Geotechnical Engineering, ASCE,1985,111: 32 53. 2 Bucher C G ,Bourgund U. A fast and efficient response surface approach for structural reliability problems J .Structural Safety