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高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 第三章 微分中值定理与导数的应用第三章 微分中值定理与导数的应用 本章内容是上一章的延续 主要是利用导数与微分这一方法来分析和研究函 数的性质及其图形和各种形态 这一切的理论基础即为在微分学中占有重要地位 的几个微分中值定理 在分析 论证过程中 中值定理有着广泛的应用 一 教学目标与基本要求一 教学目标与基本要求 一 知识 1 记住罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理的条件和结论 2 记住泰勒公式及其拉格朗日余项的表达式 3 记住 ex sin x cos x ln 1 x 1 1 x 的 N 阶麦克劳林公式 4 知道极限的末定式及其常见的几种类型的求法 5 知道函数的极值点 驻点的定义以及它们之间的关系 6 知道曲线的凹凸性与拐点的定义 7 知道弧微分的定义与弧微分公式 8 知道光滑曲线 曲率和曲率半径的定义 9 知道求方程的近似解的基本方法 二 领会 1 领会罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 领会罗尔定理 拉格 朗日中值定理的几何意义 2 领会罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理和泰勒中值定理之间的 联系 3 领会洛必达法则 4 领会函数的单调性与一阶导数之间的联系 5 领会函数的极值与一 二阶导数之间的联系 6 领会函数的极值和最值的定义以及它们之间的区别和联系 7 领会曲线的凹凸性与二阶导数之间的联系 三 运用 1 会用中值定理证明等式和不等式 2 会用洛必达法则求末定式的极限 3 会求一些函数的泰勒公式和利用泰勒公式求函数的极限及一些函数的近 似值 4 会用导数求函数的单调区间和极值 5 会用函数的单调性证明不等式 6 会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点 7 会求曲线的水平渐近线和铅直渐近线 会描绘函数的图形 8 会求一些最值应用问题 9 会求曲率和曲率半径 10 会用二分法和切线法求一些方程实根的近似值 四 分析综合 1 综合运用中值定理 介值定理和函数的单调性等证明方程实根的存在性和 惟一性 2 综合运用中值定理 函数的最 极 值和凹凸性等方面的知识及构造性方 法证明等式和不等式 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 1 页 共 68 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 3 综合运用洛必达法则 泰勒公式和其他方法求末定式的极限 4 综合运用函数的连续性 单调性 凹凸性和极值等方面的知识描绘函数的 图形 二 教学内容及学时分配二 教学内容及学时分配 根据教学实践 建议本章的教学课数可一般控制在 18 学时 含习题课 左 右 各节的学时分配大致如下 第一节 微分中值定理 2 3 学时 第二节 洛必达法则 2 学时 第三节 泰勒公式 2 学时 第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 2 学时 第五节 函数的极值与最大值最小值 2 3 学时 第六节 函数图形的描述 2 学时 第七节 曲率 1 学时 第八节 方程的近似解 1 学时 选讲 三 本章重点及难点三 本章重点及难点 1 三个中值定理及泰勒公式 2 洛必达法则 3 函数的单调性 曲线的凹凸性与拐点 4 函数的极值概念及求法 5 函数的最值问题 6 函数图形的描绘 7 弧微分 曲率的概念及计算 曲率半径 四 本章教学内容的深化和拓宽四 本章教学内容的深化和拓宽 柯西中值定理的几何意义以及运用 洛必达法则 函数极值在实践中的运用 五 教学方法及注意事项五 教学方法及注意事项 本章的内容比较多 要学好它 大家一定要抓住其中心内容和主要特点 对 本章中的思想方法要融会贯通 加深理解 首先要掌握中值定理的条件和结论 它是本章内容的理论基础 它建立了导数通向应用的桥梁 中值定理无论是在理 论研究中还是在实际应用中都具有十分重要的作用 其次要掌握中值定理证明的 思想方法构造性证明方法 此方法是一个十分常用的数学思想方法 它不仅在中 值定理的证明中 而且在不等式的证明 方程根的存在性及导数的应用中都具有 广泛的应用 它为我们提供了求未定型的极限的一种重要方法 大家一定要将前 面所介绍过的求极限的方法与洛必达法则结合起来 融会贯通 真正掌握和灵活 使用洛必达法则 第四要熟悉和掌握导数的应用 利用导数可以研究函数的单调 性和极值 最值 曲线的凹凸性和拐点等 对它们的研究 最基本的方法是用它 们的定义和判定定理 这是很重要的 要注意所研究的问题与导数之间的联系 并加以比较 导数的应用问题的求法比较规范 步骤明确 简单易懂 但在求解 过程中要特别注意列表法的使用 注意要点 1 罗尔定理 拉格朗日定理 柯西中值定理的条件与结论中的共同点与不同 点 并且知道它们之间的关系 罗尔定理是拉格朗日定理的特例 拉格朗 日定理又是柯西中值定理的特例 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 2 页 共 68 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 2 注意罗尔 拉格朗日 柯西中值定理的中值定理的中值点是开区间内的某 一点 而非区间内的任意点或指定一点 换言之 这三个中值定理都仅 定 性 地指出了中值点的存在性 而非 定量 地指明的具体数值 3 结合这三个中值定理在本节中的应用以及在以后各章节的应用 反复体会 这些定理在微积分学的意义与作用 六 思考题和习题六 思考题和习题 七 教学方式 手段 七 教学方式 手段 本章主要采用讲授新课的方式 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 3 页 共 68 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 第一节 微分中值定理第一节 微分中值定理 讲稿内容讲稿内容 本章内容是上一章的延续 主要是利用导数与微分这一方法来分析和研究 函数的性质及其图形和各种形态 这一切的理论基础即为在微分学中占有重要地 位的几个微分中值定理 Rolle Lagrange Cauchy Taylor 在分析 论证过程中 中值定理有着广泛的应用 一 洛尔 一 洛尔 Rolle 定理 定理 洛尔定理洛尔定理 假设函数满足 xf Y 水平切线 A yf x B O a b x 图 3 1 2 1 在 a b上连续 2 在 a b内可导 3 f af b 则 a b 使 f 0 即 是 0fx 的一个根 几何解释几何解释 xf满定理条件时 存在平行于足x轴或两端点连线弦的切线 该定理的证明用到下面的引理 费马定理费马定理 1 f x在内有定义 0 U x 0 xU x 有 0 f xf x 或者 0 f xf x 2 f x在 0 x 点可导 则 0 0fx 证明证明 不妨设 0 xU x 时 0 f xf x Y 水平切线 yf x O 0 x x 图3 1 1 由于 0 fx 存在 因此有 00 0 fxfxfx 而0 lim 0 0 0 0 xx xfxf xf xx 且0 lim 0 0 0 0 xx xfxf xf xx 所以 0 0fx 定理的几何解释定理的几何解释 函数 f x 0 在x 的某邻域内的最高点或最低点处有水平切线 如 图 3 1 1 通常称导数等于零的点为函数的驻点 或稳定点 临界点 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 4 页 共 68 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 证明证明 由闭区间上连续函数的性质 知函数在 上必能取得最大值 M 和最小值 m xf a b 如果 M m 这时在 上恒为常数 从而有 xf a b 0fx 由此可取 a b 均使得 f 0 如果 M m 因为 f af b 所以 M 和 m 至少有一个在内取得 不 妨 设 a b Mf a 即 内 存 在 a b 使 fM 因 此 当 xa b 时 f xf 由费马定理知 0f 证毕 注意 注意 定理的条件是充分 只有三个条件都满足时结论一定成立 否则结论 将不一定成立 下面给出定理条件不满足 结论一定不成立的例子 例例 1 0 或 yxx 1x 10 10 x xx y 所给函数不满足条件 1 但满足条件 2 和 3 容易看出 定理的结 论是不成立的 事实上在 0内 1 1y 故不存在 使 0f 例例 2 yx 11x 这个函数满足条件 1 和 3 但不满足条件 2 它的导数 1 10 1 01 x y x 不存在 x 0 由此可知不存在 1 1 使 0f 例例 3 yx 01 x 满足条件 1 和 2 但不满足条件 3 也容易知道 此时定理的结论 不成立 因为这时 1y 定理表明可能存在多个 使 0f 如 2 3 2 cos xxxf满足罗尔定理条件 存在 01 0 使 0sin xxf 定理条件不满足时 定理结论仍可能成立 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 5 页 共 68 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 例例 4 1 是 0fx 的根 当时 1 1mn 0 是 的根 当时 0fx 1 1mn 0 1 均是 0fx 根 综上 方程至少有一个不超过 1 的非负根 0fx 例例 证明 若为常数其中 n n ccc n cc c 0 12 10 1 0 则方程 0 10 n nx cxcc 在内至少有一个实根 1 0 证明 取 121 0 12 nn x n c x c xcxf 满足罗尔定理条件 上 连续 可导 xf 1 0 1 0 0 1 0 ff 所以存在0 1 0 f使 即 0 10 n n ccc 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 6 页 共 68 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 例例 若函数在 上连续 在内可导 则存在 xf a b a b a b 使 ff a f b 分析分析 要证式子变形为 0ffbff a 易知左端是函数的导数在 F xxf xxf abf x 处的值 证明证明 设 由已知 在 上连续 在 内可导 所以存在 F xxf xxf abf x F x a b a b F aF b a b 使 0F 又因为 F xf xxfxf abfx 故 0Ffff abf 即 ff a f b 得证 例例 设在 上连续 可导 且 xf a b a b 0f af b 试证 a b 使得 0ff 或证明 0ff 证明证明 取在 上用罗尔中值定理 或取 x F xe f x a b x F xef x 例例 设函数在上有二阶导数 且 证明在区 间 内至少存在一点 xf 1 0 0 1 2 xfxxFf 1 0 0 F 证明 由已知在 上连续 可导 且 xF 1 0 0 1 0FF 由洛尔定理知 1 0 1 使 1 0F 又因为在 2 2 F xxf xx fx 1 0 上连续 可导 且 1 0 0FF 由洛尔定理知 1 0 0 1 使 0 F 练习题 练习题 设 f x在 上连续 在 a b a b内可导 0f af b 证明存 在 使得 取辅助函数 a b 2 3 0ff 3 x g xef x 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 7 页 共 68 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 二 拉格朗日 拉格朗日 Lagrange 中值定理 中值定理 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函数 f x满足 Y B C A yf x O a 0 x b x 图 3 1 3 1 在闭区间 ba上连续 2 在开区间 ba内可导 则 a b 使 f bf a f ba 或写成 f bf a fba 几何解释几何解释 注意连接端点的弦AB的斜率是 f bf a ba 函数 f x在点 f 处的切线斜率为 f 因此定理说明 连续曲线 yf xaxb 若处处具 有不垂直于x轴的切线 则必存在一点 f 使曲线在该点的切线平行于两 端点连线的弦AB 证明证明 我们利用洛尔定理证明 为此 构造端点函数值相等的辅助函数 从 图形可知 用曲线 f x的纵坐标与弦 AB 的纵坐标之差作为辅助函数 其端点 的函数值相等 弦 AB 的方程为 f bf a yf axa ba 作辅助函数为 f bf a xf xf axa ba 容易证明 x 在 上连续 在 内可导 a b a b 0ab 且 f bf a xfx ba 根据洛尔定理 可知 内至少有一点 a b 使 0 f bf a f ba 由此得 f bf a f ba 即 f bf a fba 在拉格朗日定理的条件中 如果 f af b 那么就有 0f 所以洛尔定理是拉格朗日定理的特殊情况 拉格朗日定理是洛尔定理的推广 注 前面三点与罗尔定理一样 注 前面三点与罗尔定理一样 辅助函数的作法不唯一 有无穷多种 如过原点作直线 则 CD 的方程为 0 0 ABCD x ab afbf y 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 8 页 共 68 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 作x ab afbf xfxg 可作为辅助函数 事实上 事实上 f x与平行于弦与平行于弦AB的任何直线的纵坐标之差均可辅助函数 的任何直线的纵坐标之差均可辅助函数 又如取辅助函数 1 1 1 afa bfb xfx xh 前面一例子所取函数 Lagrange 公式有许多不同的表现形式 f bf a fababa 01 如果把区间换成 ba x xx 则公式 也可改写为 0f xxf xfxxx1 记 则公式 可写为 yf x yfxxx 我们知道 函数的微分 dyfxx 是函数的增量y 的近似表达式 一般说 来 以近似代替时所产生的误差只有当dyy 0 x 时才趋于零 而 式表示 fxxx 则在x 为有限时就是增量y 的准确表达式 在某些问题中当自变 量x取得有限增量x 而需要函数的增量的准确表达式时 拉格朗日中值定理就 显出它的价值 因此这个定理也叫做有限增量定理 它在微分学中占有重要地位 有时也叫做微分中值定理微分中值定理 它精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这 个区间内某个点的导数之间的关系 由拉格朗日定理 可得如下重要推论 推论推论 1 xa b 有 0fx f xC xa b 证 12 x x a b 设 12 xx 则 f x在 12 x x上满足拉格朗日定理条件 于是 2121 0f xf xfxx 12 axxb 所以 故 21 0f xf x 1 2 f xf x 这就是说在区间 内任取两点的函 数值相等 所以 a b f x在区间内是一个常数 反之显然成立 a b 推论推论 2 xa b 有 fxg x 在内有 a b f xg xc 证 由 fxg x 可 以 推 出 0f xg x 再 由 推 论 1 知 道 f xg x c 即 f xg x c 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 9 页 共 68 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 例例 8 证明恒等式 arcsinarccos 11 2 xxx 证明 令 arcsinarccosf xxx 22 11 0 11 fx xx 1x 故 f xc 11 x 又 0 cf arcsin0arccos0 2 当时 1x 1 1 2 ff 所以 arcsinarccos 2 f xxx 1 1 x 又如恒等式又如恒等式 222 sincos1 1tansec2xxx x 等 例例 若在内满足关系式 xf xfxf 且 x exff 1 0 则 证明 要证 x f xe 即证 1 x f x e 取 应用推论即得 x exfxg 例例 9 验证拉格朗日中值定理对于函数 2 3 2 01 1 12 xx f x xx 在区间 上的正确性 0 2 证明证明 因为 1 lim 1 x f x 1 lim 1 x f x 故 1 lim 1 1 x f xf 在 0上 连续 xf 2 又 1 1 1 lim1 1 x f xf f x 1 1 1 lim1 1 x f xf f x 故 1 1f 在 内可导 且 xf 0 2 2 0 1 1 xx fx xx 1 2 ln 1 1 x xx x 证明 设 在 0 1ln ttf tf x上满足拉格朗日定理的条件 故 0 f xffx 0 x 即ln 1 1 x x 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 10 页 共 68 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 由 11 01 111 11 xx x 11 xx x x 得 ln 1 1 x xx x 例例 证明 s insin bab a 证明证明 设 sinf xx f x在闭区间 上连续 在内可导 且 a b a b cosfx x 由拉格朗日定理 在该区间内至少存在一点 a b 使得 f bf a fba a 代入得sinsincos bab 所以 sinsin cos bababa 归纳上面的证明过程可知 用拉格朗日中值定理证明等式或不等式的关键 是 归纳上面的证明过程可知 用拉格朗日中值定理证明等式或不等式的关键 是 构造一个适当的函数 从所给式子中观察得到 tf 选用适当的区间 使用拉格朗日中值定理 把 f 适当放大或缩小 使出现要证的式子 例例 证明 1 x ex 证明证明 当时 为函数0 x 1 x e t f te 在 0 x或 0 x上的有限增量 而 在 0 t e x或 0 x上满足拉格朗日定理的条件 下面证明不等式在 1 x ex 0 x上成立 t f te 在 0 x上连续可导 应用拉格朗日中值定理有 0 f xffx 即 1 x ee x x 0 x由 所以01 0exxe 又1 x ex 当0 x 时等号成立 例例 设函数 f x在上连续 在上可导 a b a b f x不为常数 且 f af b 求证 存在 a b 使 0 f 证 因 f x在 不为常数 故 a b ca b 使 f cf a 若 f cf a 由拉格朗日中值定理知 a c 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 11 页 共 68 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 使 0 f cf a f ca 若 f cf af b 例例 设 f x在 0可微 对 1 0 1 0 1 1xf xfx 由介值定理知 0 1 使 f 设有 不妨设 12 0 x x 1 12 xx 使 112 2 f xxf xx 由拉格朗日中值定 理知 12 x x 使 1212 1212 1 f xf xxx f xxxx 与假设矛盾 例例 极限 sin 000 sin limlimlim1 sinsin xx xx eeexx e xxxx 介于x与sin x之间 也可用等价无穷小 例例 若函数 f x在R可导 lim x f x 与lim x fx 都存在 则 lim 0 x fx 证 应用拉格朗日中值定理得 1 1f xf xfxx 所以 lim lim lim 1 0 xx fxff xf x 练习题练习题 1 求极限 21 lim nn n naa 答案 lna x f xa 在 11 1nn 用中值定理 2 求极限 2 11 lim sinsin 1 n n nn 答案 1 3 设 f x在 上连续 在 内可导 a b a b 1f af b 证明存在 使得 a b 1eff 证 在 上用拉氏中值定理 得 x F xe f x a b a b 使 bab e f be f aee eff baba a 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 12 页 共 68 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 x xe 在 上用拉氏中值定理 得 a b a b 使 ba ee e ba 故结论成立 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 13 页 共 68 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 三 柯西中值定理三 柯西中值定理 若曲线弧 AB 用参数方程表示 XF x axb Yf x 则参数xa 对应的直角坐标点为 A F af a 参数xb 对应的直角坐标点为 B F bf b 弦AB的斜率是 f bf a k F bF a 从几何上同样可见 在曲线弧 AB 上存在一点 使 处的切线平行弦 AB 由参数方程的求导公式知 点的导数即切线的斜率为 f F 从而也有 ff bf a FF bF a 柯西中值定理柯西中值定理 如果函数和满足条件 xf xF 1 在闭区间上连续 ba A F af a B F bf b X Y 2 在开区间内可导 ba 3 在开区间内 ba 0F x 则 a b 使 ff bf a FF bF a 证明证明 因为在内 ba0 xF 故 0F bF aFba 用弧 AB的纵坐标与直线 Yf x AB纵坐标 f bf a Yf aF xF a F bF a 之差 作辅助函数 f bf a xf xf aF xF a F bF a 或作辅助函数 f bf a xf xF x F bF a 或 xf x F bF aF xf bf a x 在上连续 内可导 且 ba ba ab 由洛尔定理得 0 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 14 页 共 68 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 又 f bf a xfxF x F bF a 所以 ff bf a FF bF a 证毕 注 1 在定理中 取 F xx 则柯西中值公式变为拉格朗日中值公式 2 下面证明是否正确 因在上满足拉格朗日中值定理的条件 所以 xf ba a b 使 f bf afba 又因在上满足拉格朗日中值定理的条件 所以 xF ba a b 使 F bF aFba 同时 从而 0F x 0 0FF bF a 故 ff bf a FF bF a 3 0 ff bf a fF bF aFf bf a FF bF a 可取 xf x F bF aF xf bf a 作为辅助函数 例例 11 设0ab 证 取 2 f x F xx 在上使用柯西中值定理 ba 例例 证明 1 e 使sin1cosln 证明 取 sinln lnf xx F xx e在 1上使用柯西中值定理 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 15 页 共 68 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 教学要求和学习注意点教学要求和学习注意点 教学要求 理解费尔马引理和拉格朗日中值定理并了解柯西中值定理 1 会用中值定理证明简单的不等式和证明方程解的存在性 学习注意点 1 要注意罗尔 拉格朗日 柯西中值定理的条件与结论中的共同点 与不同点 并且知道它们之间的关系 罗尔定理是拉格朗日定理 的特例 拉格朗日定理又是柯西定理的特例 2 要注意罗尔 拉格朗日 柯西中值定理的中值点 是开区间 a b 内的某一点 而非区间内的任意点或指定一点 换言之 这三个 中值定理都仅 定性 地指出了中值点 的存在性 而非 定量 地指明 的具体数值 3 要结合这三个中值定理在本节中的应用以及在以后章节中的应 用 反复体会这些定理在微积分学中意义与作用 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 16 页 共 68 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 2 罗必达法则罗必达法则 讲稿内容讲稿内容 罗必达法则主要用于求未定式 型 也称为不定式或不定型 的极限 那 么是不定式呢 通常把两个无穷小量商的极限叫做 0 0 型的不定式型的不定式 把两个无穷大 量商的极限叫做 型的不定式型的不定式 等等 常见的其他类型的不定式还有 型 型 型 0 0 0 0 型 1型 这类极限一般不能直接套用简单的极限运算法则 一 一 0 0 型的不定式型的不定式 定理定理 1 设 1 li lim 0 xa f x m 0 xa F x 2 存在 使得 0 U a fx 及 都存在 且 F x 0F x 3 lim xa fx A F x 则 limlim xaxa f xfx A F xF x 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定不定式的值的 方法即所谓罗必达法则 分析分析 由于右端是分子 分母分别的求导形式 猜想用柯西中值定理 limlimlimlim xaxaaxa f xf aff xf afff F xF aFF xF aFFF x x 其中 介于与ax之间 因此只需证明 0 0f aF a 证证 在a点的邻域内 不管 f x F x连续 总可以令 0f aF a 是否在点 若 a f x F x在a点连续 由连续的定义及条件 1 有 0lim 0lim xax f xf aF xF a 若 f x F x在处间断 由条件 1 知 a xa 为可去间断点 因此可补充定义 0 0f aF a 从而 f x F x在 或 a x x a 上连续 内可导满足柯西中值定理条件 利用定理 a x f xf xf af ax F xF xF aF 解 ln lim n x x x 1 11 limlim0 nn xx x nxnx 例例9 计算lim n x x x e n为正整数 0 解 lim n x x x e 12 2 1 lim lim nn xx xx nxn nx ee lim0 nx x n e 事实上 如果例中的n不是正整数而是任何正数 极限仍为零 使用洛必达法则应注意使用洛必达法则应注意 1 判定是否为 判定是否为 0 0 型型 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 19 页 共 68 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 2 用洛必达的过程中 注意化简整理表达式 用洛必达的过程中 注意化简整理表达式 3 结合等价无穷小 重要极限等求极限的方法 结合等价无穷小 重要极限等求极限的方法 例例 22 22 2arctan1 1 limlimlim1 111 xxx xxx xx x 例例 1 1ln cossin lim 32 33 0 3 x exx x x 先变量代换 等价无穷小 再用洛必达 例例 22 2 33 9 ln 4 9 3 limlim6 arctan 3 3 xx xxxx xx 2 该题利用等价比罗必达简 其它类型的不定式其它类型的不定式 除 0 0 型和 型外 其它尚有一些 0 0 0 0 1 型的不定式均可 化为 0 0 型或 型 然后应用罗必达法则求极限 下面举例说明 例例 10 计算 0 limln n x xx 0n 解 0 limln 0 n x xx 0 ln lim n x x x 1 1 00 limlim0 n n xx xx nxn 另解 另解 1 12 0000 0 limlnlim limlim ln 0 ln 1 ln nn n xxxx xnxn xx xxx 2 n x x 例例 11 计算 0 11 lim 2 1 x x xx e 解 0 11 lim 2 1 x x xx e 0 1 lim 2 1 x x x e x e 0 lim 42 1 x x x x e 例例 12 求 2 2 lim tan x x x 解 这是型未定式 设 0 2 tan x yx 取对数 ln 2 lntanyxx 1 222 lntan lim lnlim 2 lntanlim 2 xxx x yxx x 2 2 2 cot sec lim 2 2 x xx x 2 2 2 lim sin2 x x x 2 4 2 lim0 2cos2 x x x 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 20 页 共 68 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 故 2 2 lim tan x x x 0 1e 例例 13 求 sin 0 lim x x x 例例 14 计算 1 111 0 lim xxx x x abc abc 解 这是1型未定式 设 1 111 xxx x abc y abc 111 1 ln ln ln xxx yabcabc x 1 111 00 ln ln lnlnln limlnlimln xxx abc a b c xx abcabcaabbcc ya b c xabc 所以 1 1 111 ln 00 lim lim a b c a b c xxx a b c x xx abc ye abc 1 abc a b c a b c 例例 求极限 2 1 0 sin lim x x x x 以此例进一步说明在利用罗必达法则求极限时 以此例进一步说明在利用罗必达法则求极限时 结合使用重要极限 等价无穷小的重要性 结合使用重要极限 等价无穷小的重要性 2 1 2 00 sin1sin limlnlimln x xx xx yy解 令 xxx 2 2 2 000 cossin cossinsin sin lnlimlnlimlim 22 xxx xxxx sin xxxx xx yx xxxx 2 00 1cossincos1sin1 limlim 22 sincos22sincos6 xx xxxxx xxxxxxx 另解另解 2 2 3 000 cossin cossinsin sin lnlimlnlimlim 22 xxx xxxx xxxx xx yx xxx 2 0 cossincos1 lim 66 x xxxx x 其中利用乘积的极限求出 0 lim1 sin x x x 再解再解 利用等价无穷小 22 3 000 sin1sinsin lnlimlnlim 1 lim 26 xxx xxxx yxx xxx 再解再解 配成重要极限 2 2 1 1 00 sin limlim 1 h x hx xx x h x 其中 sin 1 x h x 22 00 sin1 limlim 36 xx hxx xx 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 21 页 共 68 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 例例 求lim cos n n n 解解 配成重要极限 只需求极限lim cos1 n n n 而 22 lim cos1 lim cos1 lim 22 nxx nxx xnx 原极限为 2 exp 2 例例 f x具 有 二 阶 导 数 在0 x 的 某 去 心 邻 域 内 且 0f x 0 lim0 0 4 x f x f x 求 1 0 lim 1 x x f x x 解解 所求极限为1型 由 0 lim0 x f x x 及 f x连续知 0 lim 0 0 x f xf 且 0 0 0 lim0 x f xf f x 原极限 2 2 0 lim 1 xf x f x x x f x e x 其中 2 000 1 0 1 limlimlim 0 2 222 xxx f xfxfxf f xxx 用罗必达法则求极限时 对未定型极限的题目很有效 但也不是万能的 例例 15 求 sin lim cos x xx xx 问能否用罗必达法则计算 解 姑且尝试一下 sin lim cos x xx xx 1cos lim 1sin x x x 后一极限不存在 故不能用罗必达法则求其 极限 因为它不满足罗必达法则的第二个条件 事实上 sin 1 sin limlim1 cos cos 1 xx x xx x x xx x 极限是存在的 例例 2 00 1 sin 1 limlimsin0 sinsin xx x x x x xx x 但 2 00 11 sin2 sincos limlim sincos xx xx 1 xx xx x 后式的极限不存在 不满足罗必达法 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 22 页 共 68 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 第三条 不能使用罗必达法则 有些极限 罗必达法则的条件都满足 且极限也存在 但不能用罗必达求出 例如极限lim xx xx x ee ee x x x 2 1 lim 练习练习 1 2008年考研 全国 4 0 sinsin sin sin lim sin x xxx x 答案 1 6 2 试确定常数 使极限 a b 4 0 1cos2cos4 lim x axbx x 存在 并求出它的值 答案 41 33 ab 极限值为 8 3 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 23 页 共 68 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 一 内容要点 在求0 0型或 型未定式极限时 在一定的条件下可以用洛必达法则 1 0 0型 Limit f x g x lim f x g x x x 0 2 型 Limit f x g x lim f x g x x x 0 以上x x0的极限过程改为x x0 0 x x0 0 x x 或x 时 公式仍然成立 二 教学要求和学习注意点 教学要求 会用洛必达法则求各种类型的未定式极限 基本类型是 和 而 1 对0 型未定式 可通过取倒数 通分等恒等变形化为0 0型 或 型 2 对00 1 0 等幂指型未定式 可取对数化为0 型 然后化为0 0型 或 型 学习注意点 1 要懂得洛必达法则是求0 0型与 型未定式极限的一种比较有效的方 法 但也有一定的使用范围 只有满足条件 lim f x g x x x 0 存在或为 这时我们称lim f x g x x x 0 有确定意义 用洛必达法则求的的极限 Limit f x g x 才是正确的 洛必达法则的条件是未定式存在极限的充分而非必 要条件 换言之 当lim f x g x x x 0 不存在或也不为 时 Limit f x g x 仍然可能是确定的 2 应注意洛必达法则不是求0 0型或与 型未定式的唯一方法 读者在 计算时应该结合使用等价无穷小的替换 带有佩亚诺余项的泰勒公式等方法 以 使计算简便 准确 3 在每一次使用洛必达法则前 都要验证以下所求极限是否为0 0或 型未定式 否则就会出错 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 24 页 共 68 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 第三节第三节 泰勒公式泰勒公式 讲稿内容 讲稿内容 不论在近似计算或理论分析中 我们希望能用一个简单的函数来近似地表示 一个比较复杂的函数 这样做将会带来很大的方便 一般说来 最简单的是多项 式 因为多项式只涉及变量的加 减 乘运算 但怎样从函数本身出发得到我们 需要的多项式呢 在微分的应用中 有下列近似计算公式 000 xxxfxfxf 左端是需用简单函数来表示的复杂函数 右端是只涉及已知函数本身一次多项 式 上式表明可用一次多项式近似表示一个已知函数 从几何上看 是用切线代 替曲线 函数与一次近似多项式 xf 0001 xxxfxfxP 在处满足 0 x 010010 xPxfxPxf 如果要提高精度 近似程度 我们自然想到用高次多项式来近似地表示 比如说次多项式 其 中为待定常数 并且要求 xfn n nn xxaxxaxxaaxP 0 2 2010 i a 000000 nn nnnn P xf xP xfxP xfxPxfx 0 同时给出 误差估计 xPxf n 在上面的要求下 我们得到待定系数 00 af x 10 afx 2 1 2 afx 0 0 1 n n afx n 从而 n n n xx n xf xx xf xxxfxfxPxf 2 0 0 20 000 若要使上式成为等式 必须加上一个余项 这样就得到泰勒中值定理 xRn Taylor 中值定理中值定理 如果在含有的某个开区间内具有直到 阶导数 则当时 可以表为 xf 0 x ba1 n bax xf 0 xx 的一个次多项式与一个余项 之和 即 n xRn 2 0 0 2 0 0 000 xRxx n xf xx xf xxxfxfxf n n n 其中 1 0 00 1 1 0 1 1 1 n n n n n xx n xxxf xx n f xR 称为拉格朗日型 余项 这里 10 0 之间的某个值与是xx 证明 只须证 1 0 1 1 n n nn xx n f xPxfxR 由于及在内具有直到 xf xPn ba1 n阶导数 所以也具有直到 阶导数 且 xRn 1 n 0 0 0 0 000000 xRxPxfxRxPxfxR n nnnnn 对函数及在以为端点的区间上应用柯西 Cauchy 中值 定理 xRn 1 0 n xxxx与 0 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 25 页 共 68 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 之间与在xx xn R xxxx xRxR xx xR n n nn nn n n 01 01 1 1 00 1 0 0 1 0 1 之间与在 102 1 02 2 0001 01 1 1 1 1 x x R nnxxx xRR n n n nn nn 之间与在xx n R n n 0 1 1 而 代入上式即得 1 1 1 nn xn n n fxPxfR 1 0 1 1 n n n xx n f xR 注 注 1 当时 泰勒中值定理即为拉格朗日中值定理 0 n 2 对某个固定的n 若Mxf n 1 则 1 1 0 n n xx n M xR 3 易 知 0 lim 0 0 0 n n n n xx xxoxR xx xR 即 此 时 余 项 称 为 皮 亚 诺 Peano 余项 泰勒公可表为 2 00 0 2 0 0 000 nn n xxoxx n xf xx xf xxxfxfxf 在不需要余项的精确表达式时常用该式 4 在Taylor公式中 若0 0 x 则得到麦克劳林 maclaurin 公式 0 1 0 2 0 0 0 1 1 2 之间与在xxx n f x n f x f xffxf n n n n 例例 1 写出函数 x f xe 展开到阶的麦克劳林公式 n 解解 因为 nx fxe 所以 0 0 1 0 1 2 n fen 所以 1 2 1 1 2 n xxex 1 1 n x n x n e x 10 x 11 1 1 xx n ee n xx nn 10 R 如果取1x 则得无理数 的近似值为 e 11 1 1 2 e n 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 26 页 共 68 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 其误差 x 3 1 1 e nn n R 当时 可算出 其误差不超过百万分之一 10n 2 718281 x e 例例 2 求函数 sinf x x展开到阶的麦克劳林公式 n 解 因为 sin 2 n n fxx 0 sin 2 n n f 4 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 fffff 它们顺序循环地取 四个数0 于是按公式 11 得 令1 0 1 2nm 12 1 1 5 1 3 1 sin 153 m xxxx m 21 2 m m xRx 其中 21 2 sin 21 2 21 m m xm Rxx m 10 如果取 则得近似公式 1m sin xx 这时误差为 2 x 3 3 sin 1 2 3 6 x 3 xx R 10 如果取 则得近似公式 2m 3 1 sin 3 xxx 这时误差为 4 x 5 5 sin 1 2 5 120 x 5 xx 10 R 例例 4 求函数ln 1 yx 的麦克劳林展开式 并写出拉格朗日型余项 若用 这个公式计算ln的值 要求误差不超过 需要取多少项 1 10 0001 解 ln 1 f xx 1 1 ln 1 1 1 nnn n n fxx x 即 0 0f 1 0 1 1 nn fn 于是 ln 1 f xx 1 234 12 3 1 1 2 3 4 n n n n xxxxxR n x 1 234 111 1 234 n n n xxxxxR n x 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 27 页 共 68 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 因为 1 1 1 1 nn n n f 所以 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 nn nn n n fn x Rxx nnn 1 nn n x 在0与x之间 23 1 0 1 0 1 0 1 ln1 1ln 1 0 1 0 1 1 23 n n n R x n 为了使误差不超过0 0001 我们先计算n 当时 由0 1x 111 1 11 1 0 1 0 1 0 1 0 0001 1 1 1 1 1 nnnn n nn x nnn 解得 因此3n ln1 1 23 11 0 1 0 1 0 1 0 09533 23 常见的麦克劳林公式如下 常见的麦克劳林公式如下 1 0 1 n xk n k exR k x 1 1 x n n e Rxx n 10 2 21 21 0 sin 1 21 k n k n k x xRx k 3 2 21 0 cos 1 2 k n k n k x xRx k 22 21 cos 21 2 22 n n xn Rxx n 4 0 1 1 n k n k xR x x 1 2 1 1 1 n n n n Rxx nx 10 5 1 1 0 ln 1 1 1 k n kn k x xo x k 6 1 1 2 1 1 1 2 n naaa x aa axx a n n xRx 1 1 1 1 nn n a aan 1 Rxxx n 1 0 麦克劳林展式的一些其它应用麦克劳林展式的一些其它应用 例例 前面求过的极限 3 0 tansin1 lim 2 x xx x 不能这样做不能这样做 因tan sin xxxx 故 33 00 tansin limlim0 xx xxxx xx 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 28 页 共 68 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 事实上 333 11 sin tan 3 3 3 xxxo xxxxo x 即有 33 11 sin tan 3 3 xxxxx x 从而 33 33 00 tansin 3 3 1 limlim 2 xx xxxxxx xx 但我们不用这种更精细的等 价无穷小来描述 而用 式来描述 又如又如 求 24 6 0 11 cos1 2 4 lim x xxx x 解 此题是 0 0 型不定式 若用罗必达法则 需要反复运用六次方能得出结果 读者可试做 如用cosx的麦克劳林展开式就简便多了 因 246 111 cos1 2 4 6 6 xxxxo x 所以 24 11 cos1 2 4 xxx 66 1 6 xo x 故 原式 66 6 0 1 1 6 lim 6 x xo x x 例例 求 2 1 lim ln 1 x xx x 解 2 1 1 2 1 lim 1 1 3 11 2 11 lim 332 2 x o x o xxx xx xx 例例 设 f x在的某邻域内二阶可导 且0 x 32 0 sin3 lim0 x xf x xx 求 并计算极限 0 0 0 fff 22 0 3 lim x f x xx 解 32 0 sin3 0lim x xf x xx 3322 32 0 111 lim 3 3 0 0 0 3 x xxo xffxfxo x xx 2 0 11 0 9 lim 3 0 0 2 x f ffo xx x 故 9 0 3 0 0 0 2 fff 从而 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 29 页 共 68 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 2 2222 00 3 3 0 0 0 9 limlim 0 2 xx f