4-7-定积分的物理应用.pdf

微积分 A 习题解答 习题习题 4 7 P267 1 细杆的线密度x l 3 06 单位为 其中为与杆左端的距离 杆长 求细杆的质量 mkg xm10 解 dxdm l 故 kg 75 3 06 10 0 dxxm 2 一根平放的弹簧 拉长时 要用的力 求拉长时克服弹性力所做的功 cm10N49cm15 解 如图选取坐标系 将平衡位置设为原点 将弹簧拉长时 弹性力为xkxxf ox 由已知时 故mx1 0 Nf49 490 k 所以xxf490 因为 xdxdxxfdW490 故所求功为 焦耳 5125 5490 15 0 0 xdxW 3 半径为的半球形水池内存满水 求吸出池中全部水所做的功 m20 o x dxx 解法 1 如图选取坐标系 图中半圆为半球体的截面 a y 水的密度 半圆的方程为 3 1000mkg 222 20 yx 将水池中位于 dxxx 中的水吸出所作的功的微元为 x a dxxxgdxygxdW 20 1000 222 97 20 0 22 102315 1104 20 1000 gdxxxgW 焦耳 解法 2 如图选取坐标系 图中半圆为半球体的截面 b o b 水的密度 设半球体的半径为 3 1000mkg RR x y 水池中位于 的表面的水的面积为 2 cos R 表面距水面的距离为 sinR 故图中薄片的体积 为 因而将水池中位于 sin cos 2 RdR 的薄片的水吸出所作的功的微元为 dRgRRdRgdWsincossin sin cos 342 4 2 0 4 4 2 0 34 4 1 4 cos sincosRgRgdRgW 焦耳 97 102315 1104 g 第 4 章 一元函数积分学 第 7 节 定积分的物理应用 1 5 微积分 A 习题解答 4 某加油站把汽油存放在地下一容器中 容器为水平放置的圆柱体 如果圆柱的底面半径为 长度为 并且最高点位于地面下方处 设容器装满了汽油 试求把容器中 的汽油从容器中全部抽出所做的功 汽油的密度为 m5 1m4m3 6 3 73mkg x y o x dxx 5 0 3 20 x y o x dxx 解 如图选取坐标系 图中圆为圆柱体 的截面 圆的方程为 222 5 1 yx 将容器位于区间上的汽油 dxxx 抽出所作的功的微元 42 5 4 dxygxdW dxxxg 22 5 1 5 4 8 5 1 5 1 22 5 1 5 1 22 5 15 485 1 5 4 8dxxgdxxxgW 37 83875 1 2 8 973 65 485 1 2 5 48 22 g 几何意义 由定积分的 几何意义 由定积分的 焦耳 5 有一等腰梯形闸门垂直立于水中 上底长 下底长 高 上底恰好在水面 处 计算闸门所受的侧压力 m10m6m20 解 如图选取坐标系 则位于第一 象限的侧边方程为 10 5 x y 闸 门位于区间上的面积 dxxx 微元dx x ydxdA 10 5 22 侧压力微元为dx x gxgxdAdP 10 5 2 故 73 20 0 10437 18 9101467 3 4400 10 5 2 gdx x xgP 牛顿 6 一长的水槽一侧面是竖直的矩形 m4 m4 m4 0 m3 0 394 图 图 另有一倾斜的矩形侧面及两个竖直的直 角三角形端面 尺寸如图 4 39 所示 如 果水槽中装满水 试分别计算水作用于 各侧面及两个端面上的侧压力 解 设竖直矩形侧面所受侧压力 第 4 章 一元函数积分学 第 7 节 定积分的物理应用 2 5 微积分 A 习题解答 x y o dxx x 3 0 4 A图 为 由图 其侧压力微元 1 P A gxdxdxgxdP 44 1 3 0 0 3 0 0 1 44xdxgdxgxP 17648 9100018 018 0 g 牛顿 设每个三角形侧面所受侧压力 y o x x dxx 3 0 4 0 B图 为 由图 三角形斜 2 P B 边的方程为xy 3 4 4 0 其侧压力微元 dxxgx 3 4 4 0 ydxgxdP2 8 588 91000006 0006 0 3 4 4 0 3 2 gdxxxP 0 0 g 牛顿 设斜面所受侧压力为 由图 三角形斜边的方程为 3 P Bxy 3 4 4 0 则 3 4 y gxdxdxgxgxdP 3 20 3 4 14 2 ds4 3 其侧压力微元 3 20 3 0 0 3 gP 29408 910003 009 0 3 10 gxdx 牛顿 7 长为的直导线 均匀带电 电荷线密度为l2 单位长导线所带的电荷 在导线的中 垂线上与导线相距a处有带电量的点电荷 求 1 它与导线间的作用力 计算两个点电 荷 间的作用力可用库仑定律 q 1 q 2 q 2 1 r qq k ab a 2 F 2 点电荷由点移到点所做的功 y 3 点电荷由点到无穷远点处所做的功 解 如图选取坐标系 1 在 a l ll 上任取区间 dxxx 该小 区间上的导线与a点的作用力微元 22 ax dxkq dF 它在垂直方向上的分力 xox dxx l 第 4 章 一元函数积分学 第 7 节 定积分的物理应用 3 5 微积分 A 习题解答 dx ax akq ax dxkq ax a dFdFy 2 3 22 22 22 sin 22 arctan 0 2 3 22 2 cos 2tan al l a kq tdt a kqtax dx ax akq F a l l l y y轴对称 且导线带电是均匀的 故导线在水平方向上的分力 0 x F由于导线关于 22 2 2 2lkq al a FFF yx 2 由 1 得 22 2 yl l y kq yF 22 1 22 1 2 22 22 1 2 1 2 bl al b a b a b lt dt lkq t yl yly dy lkqdyyFW 22 1 22 1 22 1 22 1 2 1 1 ln 1 2 bl al bl al lt lt kq lt ltd kq ln2 22 22 llab llba kq 3 lla a kq llab llba kqWW b b b 2222 22 ln2 ln2limlim 8 在纯电阻电路中 已知电流tIi m sin 其中 m I 为常数 t为时间 计算一个 周期的功率的平均值 电阻值为时 瞬时功率 RR 2 iP t 解 2 0 2 2 2 0 sin 2 2 tdt RI dttPtP m 22 2cos1 2 2 2 0 2 mm RI dt tRI 9 一汽车以速度v 单位为 行驶 若其速度hkm v的大小介于h和h 之间 则它每消耗 km 40km 100 L1汽油可行驶kmv 假设作为时间 30 1 8 t的函数的速度v由 1 t v给出 80 t t的单位为h 问在2 t和3 t之间这段时间内汽车消耗了多少升汽油 第 4 章 一元函数积分学 第 7 节 定积分的物理应用 4 5 微积分 A 习题解答 第 4 章 一元函数积分学 第 7 节 定积分的物理应用 5 5