2019_2020学年高中数学第3章导数及其应用3.3.2利用导数研究函数的极值（二）学案新人教B版.docx

3.3.2利用导数研究函数的极值(二)学 习 目 标核 心 素 养1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值(重点、难点)通过学习利用导数在闭区间上求函数的最值，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.1函数yf(x)在闭区间a，b上的最值(1)取得最值的条件：在闭区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线(2)结论：函数yf(x)必有最大值和最小值，若函数在(a，b)上是可导的，该函数的最值必在极值点或区间端点取得2求可导函数yf(x)在a，b上的最值的步骤(1)求f(x)在开区间(a，b)内所有极值点(2)计算函数f(x)在极值点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值思考：函数在闭区间上的极大值就是最大值吗？极小值就是最小值吗？提示不一定函数在闭区间上的极大值不一定是最大值，还要与端点处的函数值比较，最大的即是最大值，同理，闭区间上的极小值也不一定是最小值1如图所示，函数f(x)的导函数的图象是一条直线，则()A函数f(x)没有最大值也没有最小值B函数f(x)有最大值，没有最小值C函数f(x)没有最大值，有最小值D函数f(x)有最大值也有最小值C由函数图象可知，函数f(x)只有一个极小值点，且函数在此处取得最小值，没有最大值2函数yxsin x，x的最大值是()A1 B1CD1C在上y1cos x0，yxsin x为增函数，当x时，ymax.3函数yx(1x2)在0,1上的最大值为()ABCDAy13x20，x.当0x时，y0；当x1时，y0.所以当x时，y极大值；当x0时，y0；当x1时，y0.所以当x时，ymax.4已知函数yx22x3在区间a,2上的最大值为，则a_.y2x2，令y0，得x1，所以函数在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减若a1，则最大为f(a)a22a3，解得a.若a1，则最大为f(1)1234.求函数的最值【例1】求下列函数的最值：(1)f(x)2x312x，x1,3；(2)f(x)xsin x，x0,2思路探究解(1)f(x)2x312x，f(x)6x2126(x22)，令f(x)0，x220，x1，x2.当x变化时，f(x)与f(x)的变化状态如下表：x1(1，)(，3)3f(x)0f(x)10818因为f(1)10，f(3)18，f()8，所以当x时，f(x)取得最小值8；当x3时，f(x)取得最大值18.(2)f(x)cos x，令f(x)0，又x0,2，解得x或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化状态如下表：x02f(x)00f(x)0当x0时，f(x)有最小值f(0)0；当x2时，f(x)有最大值f(2).求函数在闭区间上的最值，在熟练掌握求解步骤的基础上，还须注意以下几点：(1)对函数进行准确求导；(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值；(3)比较极值与端点函数值大小时，有时需要利用作差或作商，甚至要分类讨论.1求下列各函数的最值：(1)f(x)2x36x23，x2,4；(2)f(x)x33x26x2，x1,1解(1)f(x)6x212x6x(x2)，令f(x)0，得x0或x2，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表x2(2,0)0(0,2)2(2,4)4f(x)00f(x)37极大值3极小值535当x4时，f(x)取最大值35.当x2时，f(x)取最小值37.(2)f(x)3x26x63(x22x2)3(x1)23，f(x)在1,1内恒大于0，f(x)在1,1上为增函数故x1时，f(x)最小值12；x1时，f(x)最大值2.即f(x)的最小值为12，最大值为2.含参数的函数最值问题探究问题1在闭区间上函数的图象连续不断是函数有最值的充要条件吗？提示闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值若有惟一的极值，则此极值必是函数的最值2函数最值与极值有何区别与联系？提示(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得【例2】已知函数f(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.718 28为自然对数的底数设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间0,1上的最小值思路探究先求导，再求极值，最后分类讨论来确定最值解因为f(x)exax2bx1，所以g(x)f(x)ex2axb，又g(x)ex2a，因为x0,1，所以：1exe，(1)若a，则2a1，g(x)ex2a0，所以函数g(x)在区间0,1上单调递增，g(x)ming(0)1b.(2)若a，则12ae，于是当0xln(2a)时，g(x)ex2a0，当ln(2a)x1时，g(x)ex2a0，所以函数g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间ln(2a)，1上单调递增，g(x)ming(ln(2a)2a2aln(2a)b.(3)若a，则2ae，g(x)ex2a0，所以函数g(x)在区间0,1上单调递减，g(x)ming(1)e2ab.综上所述，当a时，g(x)在区间0,1上的最小值为g(x)ming(0)1b；当a时，g(x)在区间0,1上的最小值为g(x)ming(ln(2a)2a2aln(2a)b；当a时，g(x)在区间0,1上的最小值为g(x)ming(1)e2ab.1(变换条件)若a1，b2，求函数g(x)在区间0,1上的最小值解因为a1，b2，g(x)f(x)ex2x2，又g(x)ex2，令g(x)0，因为x0,1，解得xln 2，已知当xln 2时，函数取极小值，也是最小值，故g(x)ming(ln 2)22ln 2242ln 2.2(改变条件和问法)当b0时，若函数g(x)在区间0,1上的最小值为0，求a的值解当b0时，因为f(x)exax21，所以g(x)f(x)ex2ax，又g(x)ex2a，因为x0,1，所以1exe，(1)若a，则2a1，g(x)ex2a0，所以函数g(x)在区间0,1上单调递增，g(x)ming(0)1，不符合题意；(2)若a，则12ae，于是当0xln(2a)时，g(x)ex2a0，当ln(2a)x1时，g(x)ex2a0，所以函数g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间ln(2a)，1上单调递增，g(x)ming(ln(2a)2a2aln(2a)0，解得a不符合题意，舍去；(3)若a，则2ae，g(x)ex2a0，所以函数g(x)在区间0,1上单调递减，g(x)ming(1)e2a0，解得a.综上所述，a.对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况.若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值.提醒：由f(x)0得到根x0，是否在a，b内不明确时要分类讨论.函数最值的应用【例3】已知函数f(x)xln x.(1)若函数g(x)f(x)ax在区间e2，)上为增函数，求a的取值范围；(2)若对任意x(0，)，f(x)恒成立，求实数m的最大值解(1)由题意得g(x)f(x)aln xa1，函数g(x)在区间e2，)上为增函数，当xe2，)时，g(x)0，即ln xa10在e2，)上恒成立，a1ln x，令h(x)ln x1，当xe2，)时，ln x2，)，h(x)(，3，a的取值范围是3，)(2)2f(x)x2mx3，即mx2xln xx23，又x0，m，令t(x)2ln xx，t(x)1，令t(x)0得x1或3(舍)当x(0,1)时，t(x)0，t(x)在(1，)上单调递增t(x)mint(1)4，mt(x)min4，即m的最大值为4.(1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常用的解决“恒成立”问题的方法.一般地，可采用分离参数法进行转化.f(x)恒成立f(x)max；f(x)恒成立f(x)min.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可.(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“”.2设f(x)ln x，g(x)f(x)f(x)(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)求a的取值范围，使得g(a)g(x)0成立解(1)由题设知f(x)的定义域为(0，)，f(x)，所以g(x)ln x，所以g(x).令g(x)0，得x1，当x(0,1)时，g(x)0，故(1，)是g(x)的单调递增区间因此x1是g(x)在(0，)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)1.(2)因为g(a)g(x)0成立，即ln a0成立由(1)知，g(x)的最小值为1，所以ln a1，解得0ae，即a的取值范围为(0，e)1思考辨析(1)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值()(2)函数f(x)只有一个极小值点，则函数f(x)的极小值也是最小值()(3)函数F(x)f(x)g(x)的最小值大于0，则f(x)g(x)()提示(1)(2)不一定最小值也有可能在区间端点处取得(3)2若函数f(x)x33xa在区间0,3上的最大值、最小值分别为M，N，则MN的值为 ()A2 B4C18D20Df(x)3x23，令f(x)0得x1.当0x1时，f(x)0；当10.则f(1)最小，又f(0)a，f(3)18a，又f(3)f(0)，最大值为f(3)，即Mf(3)，Nf(1)MNf(3)f(1)(18a)(2a)20.3函数y在0,2上的最大值为_y.令y0，得x10,2f(1)，f(0)0，f(2)，f(x)maxf(1).4函数f(x)x3x22x5，对任意x1,2都有f(x)m，则实数m的取值范围是_由题意知只要f(x)minm即可，由f(x)3x2x20，得x(舍去)或x1，易知f(x)minf(1)，所以m.5(2019全国卷)已知函数f(x)2sin xxcos xx，f(x)为f(x)的导数(1)证明：f(x)在区间(0，)存在唯一零点；(2)若x0，时，f(x)ax，求a的取值范围解(1)设g(x)f(x)，则g(x)cos xxsin x1，g(x)xcos x.当x时，g(x)0；当x时，g(x)0，所以g(x)在单调