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复变函数期末复习提要第5章：解析函数的幂级数表示了解复级数的基本概念；理解解析函数的幂级数表示；理解收敛圆及收敛半径的概念；熟练掌握收敛圆及收敛半径的求法；了解解析函数的零点并掌握其判别方法；熟练掌握将函数在一点展成幂级数的方法； 了解解析函数的唯一性定理，掌握其证明方法。 幂级数定义5.7 称形如 （5.5）或 （5.6）的级数为幂级数，其中均为复常数。 收敛圆 收敛半径 对于级数（5.5），总存在圆周，使得级数（5.5）在的内部绝对收敛，在的外部发散我们称圆为级数（5.5）的收敛圆，称为级数（5.5）的收敛半径。求收敛半径的方法与数学分析中的方法一样。定理5.7 对于级数（5.5），若极限存在（有限或无限），则极限存在，并且有其中的为级数（5.5）的收敛半径当时，规定，当时，规定。 解析函数的幂级数表示 定理5.9 设为区域，点，圆含于（图5-1），若函数在内解析，则在内有 （5.7）其中 （5.8）且上述展式是唯一的。例1 试将在点展成泰勒级数。解 因为是的唯一有限奇点，所以，可在内展成泰勒级数，有解析函数的零点定义4.8 设函数在点解析，若，则称点为的零点，若的零点满足，但则称点为函数的级（阶）零点。 计算的零点的级别的方法 定理5.11点是不恒为零的解析函数的级零点的充分必要条件是其中，在点解析，且。例2 试判断点是函数的几级零点。解 因为所以，若令，则在点解析，且，即满足定理5.11的条件，故点为函数的二级零点。解析函数的唯一性定理5.13若函数与在区域内解析。为内一无穷点集，且在内至少有一个聚点。在上成立，则在内成立
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