数学就是找规律.doc

数学就是“找规律” -学习王岚老师的报告2011年10月16日，我有幸亲眼目睹常州市武进区湖塘桥中心小学副校长庄惠芬、教导主任王岚的教学风采。省军分区的大礼堂座无虚席，来自全省各地的教师一起分享了她们的教艺展示课。同时聆听了她们的精彩报告。让我受益匪浅，颇有“听君一席话，胜读十年书”的感觉。今天借此机会与各位同仁一起分享王岚老师的报告：数学就是“找规律”。下面我从三个方面来谈一谈。首先来看第一个大问题：一、 什么是规律？所谓规律就是一切事物现象之间固有的本质的必然联系，如：昼夜交替、四季轮回、潮汐涨落、花开花落、日出日落周而复始，所产生这些现象的原因便是规律。二、 为什么需要找规律？规律是一种客观存在，规律存在于世界的时时处处。找规律是人类认识和把握客观世界的重要手段。人类认识客观世界是无止境的，探索规律的活动是永远的。三、 数学教师需要关注哪些规律？主要包括：数学教学的规律、儿童成长的规律、教师发展的规律。1、探寻数学教学的规律数学是什么？古往今来，许多数学家、哲学家都会给出自己的见解。数学是关于现实的数量关系和空间形式的研究；数学是一种研究思想事物的抽象的科学；数是量的科学；数学是结构的科学；数学是模式的科学；数学是研究事物数量和形状规律的科学等等，不同的人对于数学都有不同的思考。如果继续对“数学是什么”这一问题追根问底，我们所研究的小学数学，应该是与成人数学相对应的儿童数学，是与生活相对应的学校数学。从学校数学、儿童数学的角度思考“数学是什么”这一本质问题，或许对于教育者和受教育者更有益处。数学学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程，是一个基于探索、发现、创造的规律建构的过程。正如其他领域知识一样，数学学习中存在着三种相互渗透与相互支持的不同的知识：概念性知识、自动化技能、和解决问题策略性知识。与之相对应的有三种类型的数学学习：概念性学习、技能型知识的学习与解决问题的学习。1、 概念性学习概念、定义、公式、法则、定律、规则等都是概念性知识。对于学生而言，有概念同化与概念顺应两种概念获得的方式。当学生学习新的数学概念时，或者利用知识结构的已有概念与新概念建立联系，或者从大量具体例子出发，概括出新概念的本质属性。如：学生在学习长方形面积计算的过程中，就需要把长方形的长与宽建立起联系，同时纳入已有的乘法结构中，而概念的建构过程其实也是规律的发现过程。2、 技能型知识的学习形成运算技能是数学学习中的重要部分，运算技能的形成分为三个阶段，分别是认知阶段，在此阶段初步明了运算发则；其次是联结阶段，把叙述性知识转化为操作行动；第三个阶段是自动化阶段。在计算技能的习得过程中，我们也可以感受到运算技能的形成初期也是建立在思考、探索、发现、归纳的规律发现基础上的。3、 解决问题的学习学生在解决问题时，需要重组已有的数学知识，找到适切的解决方法。问题一旦解决，学习就成为一种资源。在解决问题中所形成的一些策略就会储存下来，成为数学认知结构的重要组成部分。根据波利亚“怎样解决问题”表，解决问题分为了解问题、找出已知与未知之间的联系，实行计划，验证解答。而其中关键的步骤“寻找已知与未知之间的联系”，从广义上说也是寻找不同数量之间的内在联系，内在规律。从三种类型的数学学习来看，数学学习的过程其核心就是“找规律”的过程！那么，王岚老师在研究儿童数学时，又有自己独到的见解，有她内在的意义，有她独特的思考。我们来看一下起点之思：数学的概念、运算性质、运算定律和计算法则、公式等都是抽象的结果。事实上，全部数学概念，从初等的、原始的自然数、整数、最基本的点、线、面等图形，以及在此基础上形成的有理数、无理数、复数、函数、微积分、n维空间、无穷空间等一系列高度抽象的概念，都来源于非常实在的现实“原型”和知觉经验。在数学中需要教师合理利用现实“原型”，借助知觉经验，并在此基础上引导学生逐步剥离非本质属性，关注本质属性，其所反映的已不只是这一特定事物或现象的量性特征，而是一类事物在量的方面的共同特征。现实原型是找规律教学的基础。由于数学在本质上是高度抽象的，其研究的大多是经过多级抽象的形式概念，因此这样的概念需要借助与其具体原型。数学教学要紧密联系学生的生活环境，从学生的经验和已有知识出发，通过创设有助于学生自主学习、合作交流的具体问题情境，逐步完成从图到形，从形到数的抽象。基于原型，从图到形进行抽象在认识角教学中充分给予学生交流与表达的机会，进而从生活角引导走向“数学角”需要尽快摒除具体情境的影响，进而从事物的内在结构来入手认识其内隐规律。三角板、作业本、时钟上都有角，虽然角的位置不一、大小不一、边的长短不一，但都符合角的基本特征，角的特征是连接这些图形的共同点。如果去除了情境的现实意义，具体的图都可以抽象为“ ”，其本质特征是统一的。基于原型，从形到数进行抽象在倍的认识一课中，通过关于形的数量研究，借助摆一摆操作活动引出“倍”。以2倍为本，引领孩子实现倍的认识的第一次抽象的飞跃。无论是3个圆片与6个圆片；3个正方形与6个正方形；3个三角形与6个三角形，都存在着2倍的关系。从2倍到3倍、4倍，引导学生充分关注一份数，从而洞悉倍的内涵，引导孩子进行第二次抽象的飞跃。在变化形的基础上，从圆片到正方形到三角形，认识到只要存在几分几的关系，就存在倍的关系。从形的支撑到数的抽象，凸显了数学的规律本质。过程之辨：从儿童立场来分析：布鲁纳认为，儿童的认知发展是由结构上迥异的三个阶段组成的阶段性的质的过程。分别是：行为把握、图像把握、符号把握。因此，教师需要在教学设计中明确每一环节所对应的学生的认知发展阶段，并在此基础上引导学生不断向更高阶段推进。比如教学有余数的除法学生初步建立概念的时候，往往需要大量的事实来支持，从操作铅笔体会平均分和剩余的现象，到想象花插入花瓶的现象，再到比较概括地认识平均分东西的时候，如果没有正好全部分完，都可以用有余数的除法来计算。这样的过程，学生在操作中积累感性经验，形成了丰富的动作思维，并逐步从行为把握阶段引导走向图形把握阶段，最后走向符号阶段。课堂教学中学生思维差异是客观存在的，我们应该承认、尊重、关注和正视差异。尤其在教学“找规律”的过程中，“找”的速度的快慢，“找”的方法的优劣，都充分展示了学生的思维差异。有效利用学生的思维差异，那么差异不仅不会成为“找规律”的阻力，而且还能转化为整体策略提升的动力。例如：搭配中的学问，有些同学停留在操作思维阶段，他们需要借助事物图片摆一摆；有些同学能借助文字、数字、字母、符号、图形等通过连线来解决；有些同学能借助文字、数字、字母、符号、图形等通过列举来思考（有些是有序的，有些可能是无序的）；当然也有可能是通过符号化或文字化的列表来解决；最高层次的孩子已经能借助形象、表象进而抽象出数量之间的具体关系，用乘法算式进行计算。如：三件上衣和两件裤子进行搭配，他就会列乘法算式23=6。充分认识差异，充分运用差异，引导所有的孩子通过观察、对比，不断优化与提升策略，让起点不同的孩子，在对比中寻求数学本质，从而使自己在解决问题中获得元认知水平的提升，获取对于数量之间稳定关系特征的认识，获得解决问题策略的优化。从教学内容来分析：不同的教学内容，看似风牛马不相及，如果统一到“数学就是找规律”的视野，也能建立起特殊的联系，甚至也可以统一到一个一般的数学关系中。数学的基本思想方法来统领，就能凸显一类数学现象的本质。数学思想方法又可以分为两个层次：一是一般科学方法，如观察、实验、比较、分析、综合、归纳、类比、抽象等；二是数学中常用的数学思想方法，如函数与方程、数形结合、符号化与形式化、分类讨论、化归等思想方法。比如在一年级数数的活动中可以引导学生在一个一个地数、两个两个地数、五个五个地数“正”着数，“倒”着数中体验、发现并描述出在数数过程中的规律。同样，20以内加法表、九九乘法表中也蕴含丰富的规律，在“和不变”、“差不变”、“积不变”、“商不变”等条件下，发现两个数量之间的函数关系。日历表、百数图中除了横、竖、斜的排列规律，还可以探究每一行中或每一列中相邻两个数的关系，甚至两行两列相邻4个数，乃至三行三列相邻9个数之间的关系，这些关系也可以尝试用字母表示其函数关系。另外基本数量关系：周长、面积、体积公式;总价、单价与数量；工作总量、工作效率与工作时间；路程、速度与时间及正比例、反比例都是函数关系的体现载体，在立体的沟通中，数学“找规律”的过程就变得丰富与生动起来。终点之思：（1） 从“是什么”走向“为什么”直观的观察发现固然重要，但它往往还远非找规律的终点，最终还必须在直觉的基础上获得思维的进一步提升。表象的建立有助于更快的摆脱具体事物的束缚，向抽象思维过渡。而超越表象，将帮助学生形成稳固的对于数学元素的结构认知。（2） 从“多样途径”到“更优的模式” 在借助学生生活经验的基础上，必须引导学生学会用数学的眼光去观察，从数学的角度去思考，用数学的语言去表达，揭示现象中的规律。需要学生自己经历抽象概括、形成结构，并