GCT 数学 讲义 第二部分 代数.doc

第二部分 代数 Created by huzhiming 第 14 页 共 14 页第二部分 代数本部分内容包括：考试要求、样题、重要问题、内容综述、典型例题、模拟练习考试要求代数式和不等式的变换和计算包括：实数和复数；乘方和开方；代数表达式和因式分解；方程的解法；不等式；数学归纳法，数列；二项式定理，排列，组合等样题1#棵大小不同的柳树，6棵大小不同的杨树，栽到5个坑内，一坑一棵，5个坑内至多栽2棵柳树，5个坑都栽了，有 种栽法(A)(B)(C)(D)2求阶乘不超过的最大整数 。(A)(B)(C)(D)3设函数，则 (A)(B)(C)(D)4设，则函数的最大值为 (A)(B)(C)(D)5#袋中有3个黄球，2个红球，1个兰球，每次取一个球，取出后不放回，任取两次，取得红球的概率是 (A)(B)(C)(D)6现有三张密封的奖券，其中一张有奖，共有三个人按顺序且每人只能抓走一张，问谁抓到奖的概率最大？ (A)第一个人(B)第二个人(C)第三个人(D)一样大7比较 与谁大？ (A)前者(B)后者(C)一样大(D)无法确定8函数是 (A)周期函数(B)奇函数(C)偶函数(D)单调减少函数9在连乘式展开式中，前面的系数为 (A)(B)(C)(D)重要问题样题中问题类型：排列组合（1）、函数求值（3）、二次函数（4）、简单概率问题（5，6）、幂函数与指数函数（7）、函数奇偶性（8）、代数式运算（9）已考问题类型：2003年：二次函数（单调区间）、函数图像(对称性)、乘方开方运算、简单概率问题、比赛场次；2004年：分数运算、绝对值概念、二次方程求根、幅角概念与两角和三角公式、简单概率问题；2005年：简单代数公式（两数差的平方）、复数的模、数列（等差、等比）、简单概率问题（古典概型）。2006年：绝对值的概念与一元二次方程的根、共轭复数、简单概率与组合数（古典概型）、等比数列与乘方运算、一元二次函数的图像内容综述一、数和代数式内容综述1实数的运算（1）四则运算及其运算律（2）乘方与开方（乘积与分式的方根，根式的乘方与化简）（3）绝对值2复数（1）基本概念（虚数单位、复数、实部、虚部、模、辐角）,（2）基本形式（代数形式、三角形式、指数形式）, , （3）复数的运算及其几何意义；，；3代数式（单项式、多项试）（1）几个常用公式（和与差的平方、和与差的立方、平方差、立方和、立方差等）（2）简单代数式的因式分解（3）多项式的除法典型例题 1已知实数和满足条件和，则的值是 （03）AB C*D分析：根据条件，得 或 解得 或 从而 2设均为正数，若，则（ ）（04）ABCD分析：本题利用代入法最为简单，当时，正分数的分子依次增大、分母依次减小，所以3实数在数轴上的位置如下图表示，baOc图中O为原点，则代数式（ ）（04）ABCD分析：因为，所以4表示的幅角，今又，则（ ）（04）ABCD分析：由于，所以5复数（05）A.4 B.2 C.2 D. 分析：因为，所以，即正确选项为C。6复数的共轭复数是（ ）.（06）A. B. C. 1 D. 答：A分析：（本题是代数题。考查复数的基本概念）由于，所以。7若且，则的最小值是 B (A)(B)(C)(D)分析：表示复数对应的点在以点为圆心、半径是的圆周上，最小，是指复数对应的点到点的距离最短，此最短距离为8复平面上一等腰三角形的个顶点按逆时针方向依次为（原点）、和，若对应复数，则对应复数 D (A)(B)(C)(D)分析： Z1 Z2 O 根据复数的几何意义，当对应于复数时，对应复数9如果整除，则实数 D (A)0(B)-1(C)2(D) 2或分析：能够整除说明是的一个因子，因此当时，的值应为，即，解得 或10已知，则（05）A.50 B.75 C.100 D.105分析：由于，所以，从而，故正确选项为B。二、集合、映射和函数（微积分）内容综述1集合（1）概念（集合、空集、全集、表示法）（2）包含关系（子集、真子集、相等、子集的个数）（3）运算（交集、并集、补集、运算律、摩根律）2函数（1）概念（定义、两要素、图形、反函数），（2）简单性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）（3）幂函数、指数函数、对数函数（含义、性质、常用公式）典型例题1设是两个非空实数集，是定义在上的函数，试讨论集合与及的关系分析：，只解释若，不妨设，则存在，使得，所以，故；若，则存在，使得，当时，当时，所以，故2已知，求分析：；3已知，函数的图像关于原点对称的充分必要条件是 D (A)(B)(C)(D)分析：函数的图像关于原点对称的充分必要条件是函数为奇函数，故其偶次项的系数为，即注：也可利用求得，在说明当时，的图像关于原点对称.4函数与的图形关于 A直线对称 B直线对称C直线对称*D直线对称分析：记，由于，所以曲线上的点关于直线的对称点在曲线上5设，且，那么 B (A)(B)(C)(D)分析：由于，所以选项(A)(C)不正确根据 及可知三、代数方程和简单的超越方程内容综述1一元一次方程、二元一次方程组2一元二次方程（1）求根公式（判别式）；（2）根与系数的关系；（3）二次函数的图像，3简单的指数方程和对数方程典型例题1设，若是方程的两个根，求，分析：根据韦达定理可知 ，所以；2函数在上单调减的充要条件是 （03）A，且B，且C，且D，且*分析：函数在上单调减意味着其图像的开口朝上和顶点的横坐标非负，所以且 ，故，且3已知，且满足和，则（ ）（04）ABCD分析：根据，可以推出可能有或根据：，推出可能有4方程，所有实数根的和等于（ ）。（06）A.2006 B.4 C.0 D.答：C分析：（本题是代数题。考查绝对值概念和一元二次方程的求根公式）当时，；当时，。所以方程的所有实数根的和等于。5设二次函数的对称轴为，其图像过点（2，0），则（）。A. 3 B. 2 C. -2 D. -3 （06）答：D分析：（本题是代数题。考查了一元二次函数图像的对称轴和数的简单运算）根据题意，所以，从而。6指数方程组的解 A (A)只有一组(B)只有两组(C)有无穷多组(D)不存在分析：在方程组中每个方程的两端取对数，得由于与的系数不成比例，所以此方程组只有一组解四、不等式内容综述1不等式的基本性质及基本不等式（算术平均数与几何平均数、绝对值不等式）2几种常见不等式的解法绝对值不等式、一元二次不等式、分式不等式、指数不等式、对数不等式等典型例题1已知集合，集合，若，求的取值范围分析：当时，；当时，所以当时，不会有；当时，若，则2解不等式分析：原不等式等价于，即，解得五、数列（微积分）、（数学归纳法）内容综述1数列的概念（数列、通项、前项的和、各项的和、数列与数集的区别），2等差数列（1）概念（定义、通项、前项的和）；（2）简单性质：中项公式、平均值3等比数列（1）概念（定义、通项、前项的和）；（2）简单性质：中项公式4数学归纳法证明：典型例题1三个不相同的非0实数成等差数列，又恰成等比数列，则等于（ ）。（05）A.4 B.2 C.-4 D.-2分析：根据条件可知，从而，由于，所以，即正确选项为A。2设n为正整数，在1与n+1之间插入n个正数，使这n+2个数成等比数列，则所插入的n个正数之积等于（ ）。（06）A. B. C. D. 答：A分析：（本题是代数题。考查了乘方运算的性质、等比数列的概念和通项公式）设此等比数列的公比为，则，即，所以。3已知数列是等差数列，且，求数列的通项分析：设数列的公差为，则，由于，所以 ，故数列的通项为 4设是一等差数列，且，求和分析：由于，所以；5记数列的前项和为，问为何值时最大？ 分析：由于数列从某一项后，所有的项都会小于零，因此只要找到小于零的第一项便可，既要找到使得的第一个的值因为 ，所以当时，最大6设是一等比数列，且，求和分析：设数列的公比为，则，所以； 或 ；六、排列、组合、二项式定理内容综述1加法原理与乘法原理2排列与排列数（1）定义；（2）公式注 阶乘（全排列）3组合与组合数（1）定义；（2）公式；（3）基本性质4二项式定理 注 常见问题典型问题15个男生和2个女生拍成一排照相（1）共有多少种排法？（）（2）男生甲必须站在一端，且两女生必须相邻，有多少种排法？（）（3）男生甲必须站在中间，且两女生必须相邻，有多少种排法？（）（例714）2100件产品中，只有3件次品，从中任取3件，（1）恰有一件次品的取法有多少种？（2）至少有一件次品的取法有多少种？ （3）至多有两件次品的取法有多少种？（例715）3某篮球队共10人，其中7人善打锋位，4人善打卫位，现按队员特点派5人出场（左、中、右锋和左、右卫），共有多少种派法？4求展开式中所有无理项系数之和（例723）七、古典概率问题内容综述1基本概念样本空间、样本点、随机事件、基本事件、必然事件、不可能事件、和事件、积事件、互不相容事件、对立事件2概率的概念与性质（1）定义（非负性、规范性、可加性）；（2）性质，3几种特殊事件发生的概率（1）等可能事件（古典概型）（2）互不相容事件 ，对立事件 （3）相互独立事件 （4）独立重复试验如果在一次试验中某事件发生的概率为，那么在此独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率为 典型问题1设、表示三个随机事件，试将下列事件用、表示出来： （1）三个事件中至少有一个出现； （2）不多于一个事件出现； （3）不多于两个事件出现； （4）、至少有一个出现，不出现 2在100件产品中，只有5件次品从中任取两件，（1）两件都是合格品的概率是多少？（2）两件都是次品的概率是多少？（3）一件是合格品，一件是次品的概率是多少？(例732)3一批产品的次品率为，每件检测后放回，在连续三件检测中至少有一件是次品的概率为 （03）A*B CD4将5个相同的球放入位于一排的8个格子中，每格至多放一个球，则3个空格相连的概率是（ ）（04）ABC*D分析：将5个相同的球放入位于一排的8个格子中，共有种放法，3个空格相连的放法有6种，所求概率为。5任取一个正整数，其平方数的末位数字是4的概率等于（ ）。（05）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4分析：当所取正整数的个位数是2或8时，其平方数的末位数字就是4，所有正整数的个位数只有1，2，3，4，5，6，7，8，9，0等十种可能，所以要求的概率是，即正确选项为B。6桌上有中文书6本，英文书6本，俄文书3本，从中任取3本，其中恰有中文书、英文书、俄文书各1本的概率是（）。A. B. C. D. 答：C分析：（本题是概率题。考查了等可能事件的概率公式和简单的组合数公式）所求概率为 。7办公室有40支笔，其中30支是黑笔，10支是红笔从中任取4支，其中至少有一支是红笔的概率是多少？（例734）8甲、乙两人各投篮一次，如果两人投中的概率分别是和（1）两人都投中的概率是多少？（2）恰有一人投中的概率是多少？（3）至少有一人投中的概率是多少？（例735）9某班共有30名学生，求至少有两名学生同一天生日的概率（假设一年有365天） 10将10个球等可能地放到15个盒子中去，求下列事件的概率： （1）某指定的10个盒子中各有1个球； （2）正好有10个盒子中各有1个球 模拟练习1已知集合，则是 C(A)(B)(C)(D)空集2设，则 B (A)(B)(C)(D) 3函数的定义域是B (A)(B)(C)(D)4若是任意实数，且，则 B (A)(B)(C)(D)5已知是奇函数，定义域为，又在区间上是增函数，且，则满足的的取值范围是 C (A)(B)(C) (D) 6已知函数的反函数为，则的解集是 B (A)(B)(C)(D)7已知复数，复数，那么的三角形式为 D (A)(B) (C) (D) 8已知复数满足，那么复数在复平面上对应点的轨迹是D (A)圆(B)椭圆(C)双曲线(D)抛物线9设复数，则在复平面内对应的点位于第4 象限10从7人中选派5人到10个不同交通岗的5个中参加交通协管工作，不同的选派方法有 D (A)种(B) 种(C) 种(D) 种11某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有一名女生入选时的不同选法有16种，则小组中的女生人数为 A (A)2(B)3(C)4(D)512学校要选派4名爱好摄影的同学中的3名分别参加校外摄影小组的3期培训（每期只派1名），甲、乙两位同学都不能参加第1期培训，不同的选派方式共有 D (A)种(B)8种(C)10种(D)12种13设，则等于 A (A)(B)(C)(D)14若的展开式中第三项的系数为36，则正整数的值是 9 .15设的展开式中，奇数项的二项式系数之和为，数列的前项和记为，则 B (A)(B)(C)(D)16等比数列的公比为，则“”是“对于任意正整数，都有”的 A (A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件17在等差数列中，若前9项的和是90，则的值是 10 18在各项都是正数的等比数列中，公比，并且成等差数列，则公比的值为19某企业2002年12月份的产值是这一年1月分产值的倍，则该企业2002年年度产值的月平均增长率为 D (A)(B)(C)(D) 20实数满足，集合，则集合的子集共有 (A)2个(B)4个(C)8个(D)16个答(D)21在实数范围内对整式分解因式，最终结果分解为 (A)1个1次因式和1个4次因式的乘积(B) 1个1次因式和2个2次因式的乘积(C) 2个1次因式和1个3次因式的乘积(D) 3个1次因式和1个2次因式的乘积答(B)22集合都是实数集的子集，已知不等式的解集是，不等式的解集是，则不等式组的解集是 (A).(B).(C).(D).答(D)23有11个球，编号为，从中取出5个，此5个球编号之和为奇数