多对多的数量化理论_的数学模型及解法探讨.pdf

西北林学院学报 多对多的数量化理论的数学模型及解法探讨 孟德顺 西北林学院基础课部 陕 西杨陵作者男 岁 副教授 摘要在数量化理论 的基础上 建立了多对多的数量化理论的数学模型 给出 了解 法 研究了解的一些性质 并应用多元统计分析理论解决 了其模型的假设检验问题 提出了挑选项目 类目的依 据和计算方法 为实际应用莫定了理论基础 关键词数 量化理论 项目类目最小二乘估计退化矩阵 中图分类号 数量化理论在自然科学 特别在农林科学的研究中已经有了广泛地应用 但在实际 中 基准变量不是一个 而是一个 多维向量 这个基准向量与若干个定性说明变量之 间存在着 一定的线性关系 如何建立这样的线性关 系 怎样检验这种线性关系等等 这一套理论和方法 暂称为多对多的数量化理论 它的一个重要用途仍是解决预测问题 关于这方面的研究 目前在文献中尚未见报导 多对多的数量化理论将会在数量生态等方面的研究中发挥一 定的作用 例如预测不同林分采用不同的采伐方式之后天然更新状况 从而为选用抚育伐措施 提供理论依据 模 型与解法 反应矩阵 希望根据个定性变量 川 每一个 定性变量称为一个项目 对 基准向量 厂 进行预测 并在第个项 目 下设置 个类目 加 其 总类目数为 艺 间 一一 假定观察了个样品 首先将基准向量的测 定值排成 又 矩 阵 记为 丫 一 其 中 是第个样本中基准向量的第个分量的测定值 即 同时将说明变量的个样品的观察排成 丫 矩阵 收稿日期一一 西北林学院学报卷 占 占 一 占 占 占 占 占 占 占爪 占 占 占 占 占 八 其中成表示第个样 品中说明变量 的第个项目下的第个类目的反应值 具体按下式 确定 成 了 一 当第 其他 个样 品的说明变量属于第个项 目的第类目时 这时兀称 为说明变量 的反应矩 阵 数学模型 假没鹅准 向量与说明变量的 各项 目 类目间遵从下列线性关系 苏 一 万艺 凡 十么 一二 儿 二 其中八 寿 一 变童的随机误差 一 一 妇是待定的常数 是次抽样中第个基准 这时我们称式为多对多的数量化理论的数学模型 同时称 犷 一 万艺 占 无月 少 一 二 一 为多对 多的数 童化理论 工 的线性方程 对厂 丫 个样品 根据 式 相应的矩阵表示则为 一 月 二 月 比中无 夕日 所示 月是一个 火叮矩阵 第列为 夕 月 月 月 风 风 洲的估计 山 式 考察误差平方和 一一犷 一犷一一 夕 一 义月 均犷 脸 一 个 又 方阵 而对于一个矩阵要使其最小 在不同意义下有不同的考虑 此处我 们仅在 作负定阵意义下来确定月的最 小二乘估计量夕一 定川 月的最小二乘估计量为 一 即对任何作 零的 维向量满足 期孟德顺多对多的数量 化理论的数学牛 艾甲协解法探训了马 一 一 一 月 一 月 其中是方程 月 的解 厂 一 是 的广义逆 证 明由于 一 月一 一 一月 注意到是方程的解 则有厂 一一 从而也有 一 一 那么 一 夕 一 月 一一月 一一月 一 一十一 一月 一 召 一月 一月 一 一一月 一月 所以 一 月 一 月 一 一 一月 一月 妻 一 一 当且仅 一 时 上式等号方能成立 定理得证 方程称做正规方程 在反应矩 阵中 由于 艺 一一 一 一 所以 是一个退化矩阵 故 的逆不存在 但其广义逆是存在的 故有 一 一 这就是说 月的最小二乘估计量不唯一 但是对于不 同的 预测值是否相 同定理回答 了 这个问题 定理对于 月的任一个最小二乘估计量 其预测值均相 同 证明设和 均为日的两个不同的最小二乘估计量 根据正规方程必有 一 一 两式相减 得 一 给上式左乘以 一 得 一 一 即 一 一 这时只能有 一 所以 一 在一般情况下 当时 一一十 这时正规方程有无穷多解 由于有定理 作根据 为了计算方便 将第个项 目 一 的第一个类目的反应值从反应矩阵 中删去 所得的矩阵记为戈 同时取 二一 一 妇 并从中删去 所得 西北林学院学报卷 矩 阵记为 云 这样 正规方程改写成 戈 戈石 一戈 其 系数矩 阵 戈 戈 满秩 故有 云一戈 戈 一 戈 求出 方后 依据方程 即得到 的估计值犷 显然 当 一 时 多对多的数量化理论的数学模型和线性 方程就是人们过去使用的 数量化理论 工 的数学模型和线性方程 线性关系的显著性检验 尽的估计值确定之 后 线性方 程或能否在实际中应 用 仍需对其进 行显著性检验 为此 引入以下记号 丫丫 一 一 尸 一犷 一夕 其中 了一 告 争 定理 条件 一下 戈 丫 如果 了 相互独立 且一 卢 山山 在 刀一成立的 一咬一一 寿 丫以 一 生上立 二 卫些土卫 八 二 一户一 一 乙 其中 表 示近 似地服从 证明由于 一 邓 乙 所以 一了一 万 故 一 一 艺 同理 一 一 一 艺 由多元抽样分布理论得知 八一 可丽 一 又 叮 一十 一艺 一十 根据分布与丫一分布的关 系 一可得 一 一一生土卫 卫生以 乙 滋义 一 八 九 一一 一 胡十 对于给定的置信水平 如果 镇荔 一 纤 期孟德顺多对 多的数量化理论的数学模型及解法探讨 时 接受 月一 否则 拒绝 预测方程可在实际 中应用 项目与类目的选择 步 为了考察每个项目分别对预测有无显著的作用 将每个项目视为一个说明变量 当考察第 个项 目时 我们将戈写成分块矩阵 戈一戈 戈 其中戈 是从又中删去第个项目的各类目 一 的反应值之后所余元素构成的矩 阵 戈 则为第个项 目的各类目反应值构成的矩阵 此时月的分块矩阵为 护 风几 产 一一 八 户 定理若 相互独立 且一 月 艺艺 在 一 成立的条 件下 一 卫一 一 一 一 叮 一一 其中 二 一 二 一 一 一犷 一犷 一 戈 戈 戈 一 戈 是 月 的最小二乘估计量 注意到 定理与多对多的线性回归在检验某个 自变量对因变量是否有显著影响的条件和 结论完全相同 故定理证明从略 如果同时有几个项目经检验均不显著外 首先应删去值最小的项目 重新建立剩余项 目与基准向量的线性方程 而且每次只能删去一个项目 至于类目的选择与项目的选择相仿 只不过此时将每个类目均视为一个说明变量 不仿记 为 二 为了区别于定理的记法 令 戈 其中 是从戈中删去第个类目的反应值之后剩余元素构成的矩阵 仅 为第个类反应 值构成的矩阵 对应的月矩阵记 为 凡劣 一一 尸 定理 条件下 设 相互独立 且一 月 艺艺 在 万 一 成立的 了 一一一 一八了 八岁 一 一一一 其中 一纷 厅阵 一 厂 西北林学院学报卷 寿 一 一 一 镶的意义同前所述 对于给定的置信水平 如果户 一一一 可将第个类目与本项目中删 去的第一个类目合并 建立新的线性方程 在实际应 用中 常将项 目与类目的选择结合起来 即首先挑选项目 使将进入线性方程中 的每个项目对预测的影响均显著 而没进入线性方程的项目对预测的影响均不显著在此基础 上再来选择类目 可使运算量大大减少 说明变量中兼有定性和定量变量 的情况 假设在说明变量中含有个定性变量共设置个类目及个 定量变量 且 这些说明变量与基准向量 一 为 之间满足如下线性关系 二 月 十 一 其中月 十 丫 为待 定 的常数矩 阵 且其第列元素为 月 月 月 风 月 风 一 厂 一 氏 氏 叻 那么称为多对 多的混合型数量化 理论的数学模型 并称 一 月 为多对多的混合型数量化理论的线性方程 记说 明变量的反应矩阵为 占 舀 一一 氏 民 二 从 月 的最小二乘估计为 根据矩阵的导数及多元函数取得极值的必要条件 得到正规方程 同前一样 刃 仍为退化矩阵 当刃 一一 时 仍将 中定性变量的第个 项目 一 的第一个类目删去 并令 一 一 妇从 中删 去 得到相应的矩 阵 戈 石 对应 的正规方程改为 戈 戈 左 戈 那么 石 戈 戈 一 戈 关于线性关系的显著性检验和前相似 只不过将公 式的丫一分布 的 自由度换 成 一十一 即可 至于项目 类 目的选择基本同前 此处不再重复 当 二 时 式就与式完全相 同当 一 时 就成为多对多的线性回归模型 由此可以看 出多对多的数理化理论与多对多的线性回归之间的联系 参考文献 董文 泉 周光亚 夏立显数量 化理论及其应用 长春 吉林人民出版社 袁志发 孟德顺多元统计 一 分析陕西杨陵天则出版社 转第页 期樊金栓等提高红富士苹果座果率的研究 参考文献 曾骗 陆秋农生长调节剂在果树卜的应用北京农业出版 社 一 杜澎