高一数学培优专题(已修正).doc

厦大附中高一数学培优专题（一） （2010-3-6/13）知识要点梳理本节公式中，,r为内切圆半径，R为外接圆半径，为三角形面积.（一). 三角形中的各种关系设ABC的三边为a、b、c，对应的三个角A、B、C1角与角关系：A+B+C = ，2边与边关系：a + b c，b + c a，c + a b，ab c，bc a，ca b3边与角关系： 正弦定理； 余弦定理； c2 = a2+b22bacosC，b2 = a2+c22accosB，a2 = b2+c22bccosA它们的变形形式有：a = 2R sinA，3）射影定理：abcosCccosB，bacosCccosA，cacosBbcosA4）面积公式：（二）、关于三角形内角的常用三角恒等式：1.三角形内角定理的变形由ABC，知A（BC）可得出：sinAsin（BC），cosAcos（BC）而有：，2.常用的恒等式：（1）sinAsinBsinC4coscoscos；（2）cosAcosBcosC14sinsinsin；（3）sinAsinBsinC4sinsincos；（4）cosAcosBcosC14coscossin3余弦定理判定法：如果c是三角形的最大边，则有：a2b2c2 三角形ABC是锐角三角形a2b2c2 三角形ABC是钝角三角形a2b2=c2 三角形ABC是直角三角形(三) 三角形度量问题：求边、角、面积、周长及有关圆半径等。条件角角边边边角边边边边角边适用定理正弦定理正弦定理或余弦定理余弦定理余弦定理其中“边边角”（abA）类型利用正弦定理求角时应判定三角形的个数：A90A90ababababsinAa=bsinAabsinA一解两解一解无解一解无解(四)积化和差公式；(五)和差化积公式；（一）课前练习（1）中，A、B的对边分别是，且，那么满足条件的 A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定（2）在ABC中，A=60,b=1,面积为，则= . （3）在中， ，则_(4)在中，分别是角A、B、C所对的边，若，则_（5）在中，若其面积，则=答案：（1）C；（2）（3）（4）（5）；（6）在中，这个三角形的面积为，则外接圆的直径是_（7）在ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，= ，的最大值为（8）在ABC中AB=1，BC=2，则角C的取值范围是（9）设O是锐角三角形ABC的外心，若，且的面积满足关系式，求答案：（6）；（7）；（8）；（9）；例题精讲：例1. 在ABC中，已知，B=45 。求A、C及c解法一：由正弦定理得：B=4590 即ba A=60或120当A=60时，C=75， 当A=120时，C=15， 解法二：设c=x由余弦定理 将已知条件代入，整理：，解之：, (1)当时 从而A=60 ，C=75(2)当时同理可求得：A=120 ，C=15例2.已知三角形的一个角为60，面积为10c2，周长为20c，求此三角形的各边长.解析：设三角形的三边长分别为a、b、c，B60，则依题意得 由式得：b220（ac）2400a2c22ac40（ac） 将代入得4003ac40（ac）0再将代入得ac13由 b17，b27所以，此三角形三边长分别为5c，7c，8c。例3. ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边.已知tanA+tanB+=tanAtanB，(1)求C的大小；(2)若c=，ABC的面积SABC=，求a+b的值.解析；(1)tanC=tan(A+B)=.0C180，C=60.(2)由c=及余弦定理，得a2+b22abcos60=()2.又由SABC=absin60=，整理得(a+b)2=，即a+b=.例4.在ABC中，AB5，AC3，D为BC中点，且AD4，求BC边长。解析：设BC边为，则由D为BC中点，可得BDDC，在ADB中，cosADB在ADC中，cosADC又ADBADC180cosADBcos（180ADC）cosADC。解得，2, 所以，BC边长为2。 例5. 在ABC中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三边长。解析：设三角形的三边长分别为，1，2，其中*，又设最小角为，则 ,-又由余弦定理可得2（1）2（2）22（1）（2）cos-将代入整理得：2340解之得14，21(舍)所以此三角形三边长为4，5，6例6.如图，在中，（1）求的值；（2）求的值. 解析；（） 由余弦定理， 那么，（）解：由，且得由正弦定理，解得。所以，。由倍角公式，且，故例7.在,求（1）(2)若点解析：（1）由由正弦定理知（2）由余弦定理知例8.在锐角中，角所对的边分别为，已知，（1）求的值；（2）若，求的值解析：（1）因为锐角ABC中，ABCp，所以cosA，则；（2），则bc3。将a2，cosA，c代入余弦定理：中得解得b 。附加题（06江西卷）如图，已知ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过ABC的中心G，设MGAa（）（1）试将AGM、AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为a的函数（2）求y的最大值与最小值常见错误：不会利用正弦定理顺利地将S1，S2表示为a的函数，导致思路受阻。正解：（1）因为