工程热力学 课后习题答案 可打印 第三版 第六章.pdf

第六章 实际气体的性质及热力学一般关系式 81 第六章 实际气体的性质及热力学一般关系式第六章 实际气体的性质及热力学一般关系式 6 1 试推导范德瓦尔气体在定温膨胀时所作功的计算式 解 范德瓦尔气体状态方程可写成 2 mm RTa p VbV 所以 2 1 2 2 1 m m V V mm RTa WpdVdV VbV 在等温过程中 T 常数 积分上式得 1 2 2 1 11 ln m mmm Vb WRTa VbVV 6 2 NH3气体的压力 p 10 13MPa 温度 T 633K 试求其压缩因子和密度 并和由理想气 体状态方程计算的密度加以比较 解 由附录表查得 NH3临界参数为 Tc 406K pc 11 28MPa 560 1 406 633 898 0 28 11 13 10 rr Tp 查通用压缩因子图得 Z 0 94 3 3 6 8 3145J mol K 0 94633K 17 04 10 kg mol 0 02866m kg 10 13 10 Pa g ZR T v p 3 1 34 9kg m v 若按理想气体计算 g3 36 8 3145J mol K 633K 0 0305m kg 17 04 10 kg mol 10 13 10 Pa i R T v p 3 1 32 8kg m i i v 3 3 34 9kg m11 1 0641 064 32 8kg m0 94 i i v vZ 6 3 容积为 3m3的容器中储有状态为4MPa113 Cpt o 的氧气 试求容器内氧气 的质量 1 用理想气体状态方程 2 用压缩因子图 解 1 按理想气体状态方程 63 g 3 4 10 Pa3m 288 4kg 8 3145J mol K 273 15 113 K 32 10 kg mol pV m R T 2 查附录表得氧气154K2 49MPa cc Tp 第六章 实际气体的性质及热力学一般关系式 82 4MPa 273 15 113 K 1 6061 040 2 49MPa154K rr pT 查通用压缩因子图得 Z 0 32 3 36 0 32 8 3145J mol K 160 15K 3 33m kg 32 10 kg mol 4 10 Pa g ZR T v p 3 33 3m 900kg 3 33 10 m kg V m v 6 4 容积为 0 425m3的容器内充满氮气 压力为 16 21MPa 温度为 189K 计算容器中氮 气的质量 利用 1 理想气体状态方程 2 范德瓦尔方程 3 通用压缩因子图 4 R K 方程 解 1 利用理想气体状态方程 63 g 3 16 21 10 Pa0 425m 122 80kg 8 3145J mol K 189K 28 01 10 kg mol pV m R T 2 利用范德瓦尔方程 查表 6 1 氮气的范德瓦尔常数 a 0 1361 10 6MPa m3 mol 2 b 3 85 10 5m3 mol 将 a b 值代入范德瓦尔方程 2 m m a pVbRT V 得 65 2 0 1361 16 21 10 3 85 10 8 3145 189 m m V V 展开可解得 33 0 081 10 m mol m V 3 3 3 0 425m 28 01 10 kg mol147 0kg 0 081m mol m V mM V 3 利用通用压缩因子图 氮气的临界参数为126 2K3 39MPa cc Tp 189K16 21MPa 1 504 78 126 2K3 39MPa rr Tp 查通用压缩因子图 Z 0 84 53 6 0 84 8 3145J mol K 189K 8 14 10 m mol 16 21 10 Pa m ZRT V p 3 3 53 0 425m 28 01 10 kg mol146 2kg 8 14 10 m mol m V mM V 4 利用 R K 方程 用临界参数求取 R K 方程中常数 a 和 b 第六章 实际气体的性质及热力学一般关系式 83 22 5 22 5 61 22 6 0 427480 0 427480 8 3145J mol K 126 2K 0 13864Pam K mol 3 39 10 Pa c c R T a p 33 6 0 086640 08664 8 3145J mol K 126 2K 0 0268 10 m mol 3 39 10 Pa c c RT b p 将 a b 值代入 R K 方程 0 530 53 8 3145 1890 13864 0 0268 10189 0 0268 10 mmmmmm RTa p VbTV VbVV V 迭代后解得 Vm 0 080238 m3 mol 148 84kg m V mM V 本例中 因范氏方程常数采用实验数据拟合值 故计算 O2质量误差较小 6 5 试用下述方法求压力为 5MPa 温度为 450 的水蒸汽的比体积 1 理想气体状态 方程 2 压缩因子图 已知此状态时水蒸汽的比体积是 0 063291m3 kg 以此比较上述计算 结果的误差 解 1 利用理想气体状态方程 3 36 8 3145J mol K 273 15450 K 0 066733m kg 18 02 10 kg mol 5 10 Pa g i R T v p 33 3 0 063291m kg0 066733m kg 100 100 5 44 0 063291m kg i vv v 2 利用通用压缩因子图 查附表 水的临界参数为22 09MPa647 3K cc pT 5MPa723 15K 0 2261 11 22 09MPa647 3K rr cc pT pT pT 查通用压缩因子图 Z 0 95 g3 36 0 95 8 3145kJ mol K 723 15K 0 063340m kg 18 02 10 kg mol 5 10 Pa ZR T v p 33 3 0 063291m kg0 063340m kg 100 100 0 11 0 063291m kg i vv v 6 6 在一容积为 3 0 10 2m3的球形钢罐中储有 0 5kgCH4 若甲烷由 25 上升到 33 用 R K 方程求其压力变化 解 摩尔体积 233 43 3 10 m16 043 10 kg mol 9 63 10 m mol 0 5kg m VVM V nm 第六章 实际气体的性质及热力学一般关系式 84 用临界参数求取 R K 方程中常数 a 和 b 查表 6 1 CH4的临界参数为 Tc 190 7K pc 4 64MPa 22 5 22 5 61 22 6 0 427480 0 427480 8 3145J kg K 190 7K 3 1985Pam K mol 4 64 10 Pa c c R T a p 33 6 0 086640 08664 8 3145J kg K 190 7K 0 0296 10 m mol 4 64 10 Pa c c RT b p 将 a b 值代入 R K 方程 1 1 0 5 1 61 22 3330 53336 6 8 3145J kg K 298K3 1985Pam K mol 0 963m0 0296m mol 10 298K 0 963m 0 963m0 0296m mol 10 2 463 10 Pa mmm RTa p VbTV Vb 2 2 0 5 2 61 22 3330 53336 6 8 3145J kg K 306K3 1985Pam K mol 0 963m0 0296m mol 10 306K 0 963m 0 963m0 0296m mol 10 2 534 10 Pa mmm RTa p VbTV Vb 所以 p 2 534 2 463 0 071MPa 6 7 迭特里希状态方程为exp nRTna p VnbRTV 式中 V 为体积 p 为压力 n 为物质 的量 a b 为物性参数 试说明符合迭特里希状态方程的气体的临界参数分别为 c 22 4 a p n b cc 2 4 a VnbT Rb 并将此状态方程改写成对比态方程 解 对迭特里希状态方程求导 22 nana RTVRTV T pnRTnRTna ee VVnbVnb RTV 据临界等温线特征 在临界点令0 T p V 得 2 1 0 c c na RT V c cccc nRTna e VnbRTVVnb 所以有 2 1 0 ccc na RTVVnb 1 第六章 实际气体的性质及热力学一般关系式 85 2 2322 222 322322 2 32 nana RTVRTV T na RTV pnRTnRTna ee VVnbVnbRTV n a VnbVn ana e VnbVVnbVRTV 据临界等温线特征 在临界点有 2 2 0 T p V 所以 2 322 232 244 2 32 0 c ccc cc cccc nRTn a VnbVnb V n a Vnb Vn a Vnb VVnb RTV 2 化简 并将 1 式代入 2 式 得 2 c Vnb 3 将 3 式代入 1 式 得 Rb a Tc 4 4 将 4 3 式代入迭特里希状态方程 得 22 4bn a pc 5 由迭特里希状态方程 exp rc rc rcrccr nRTTna p p VVnbRTTVV 6 将 3 4 5 式代入 6 22 2 4 expexp 42 21 4 2 4 r r r rrrr rr a nRT nRaTana Rb p a n bVnbnbnb VbTV RTVnb Rb 2 2 exp 21 r r rrr n T p VTV 6 8 试证明理想气体的体积膨胀系数 T v 1 证 据体积膨胀系数定义 P v T v v 1 对理想气体的状态方程pv RgT求导 g p R v Tp gg g 11 v RR v pR TT 证毕 第六章 实际气体的性质及热力学一般关系式 86 6 9 试证在 h s 图上定温线的斜率 vT T s h 1 证 dddhT sv p 1111 TTv p T hp TvTvTvTvT vssvdvs tp 证毕 6 10 试证状态方程为 g p vbR T 其中 b 为常数 的气体 1 其热力学能dd V ucT 2 其焓ddbd p hcTp 3 其 vp cc 为常数 4 其可逆绝热过程的过程方程为 常数 bvp 证 1 据热力学能的一般关系式 ddd V v p ucTTpv T a 对 g p vbR T 求导 g v R p Tvb g 0 v R T p Tpppp Tvb 即dd V ucT 2 ddd p p v hcTvTp T g p R v Tp g p R T v vTvvvbb Tp 所以 ddd p hcTb p 3 据式 6 34 pV pv vp ccT TT ggg gg pV RRR T ccTRR p vbp vb 4 对TRbvp g 取对数后求导 dddpvT pvbT b 第六章 实际气体的性质及热力学一般关系式 87 据 g ddd dd V R up vT scv TTTvb 因过程可逆绝热 所以d0s 即 g d dd pV V Rcc T cvv Tvbvb 将 b 式代入得 ddd d pv VV cc pvT ccv pvbTvb 移项整理得 ddd d p V c ppvb cv pvbpvb 取 为定值 积分得 p vb 常数 6 11 证明下列等式 1 p V vp c css TTTT 2 2222 usus TT T vT vT pT p 证 1 取 Tvss ddd vT ss sTv Tv 据第一ds方程式 ddd V v cp sTv TT 所以 V v cs TT 取 Tpss ddd p T ss sTp Tp 据第二ds方程式 ddd p p c v sTp TT p p c s TT 或 由链式关系 1 vvv sTu Tus vV v v u csT uTT s 由链式关系 1 ppp s h h T T s T c s h T h T s p p p p 第六章 实际气体的性质及热力学一般关系式 88 2 由ddduT sp v vv us T TT vT s T Tv s T T s T vT u vvT u vv 222 由dddhT sv p pp T s T T h pT s T T s T pT h ppT h pp 22 6 12 试证范德瓦尔气体 1 2 ddd V a ucTv v 2 g 2 3 g 2 1 pV R cc a vb R Tv 3 定温过程焓差为 21221 1 12 11 Thhp vp va vv 4 定温过程熵差为 2 21g 1 ln T vb ssR vb 证 1 据du第一关系式 dd V v p ducTTpv T 由范氏方程 2 v a bv TR p g ggg 22 vv RR TR T ppaa Tp TvbTvbvbvv 因此 2 ddd V a ucTv v 2 据式 6 34 pV pv vp ccT TT 从 1 得 g v R p Tvb 因求 p T v 较困难 故利用循环关系式 第六章 实际气体的性质及热力学一般关系式 89 1 pT v vTp Tpv g g 23 2 v p T p R vT vb R Tp aT vvbv 2 g g 2 gg 2 gg 32323 g 2 22 1 pV R T R RR vb vb ccT R TR T a vbaavb R Tvvbvvbv 3 由 1 2 ddd V a ucTv v dd hupv 对等温过程dT 0 所以 2121221 1221 1 12 11 TT hhuup vp vap vp v vv 4 ddd V v cp sTv TT 所以 范德瓦尔气体经历等温过程 g dd R sv vb 2 21g 1 ln T vb ssR vb 6 13 利用通用焓图求甲烷 CH4 由6 5MPa 70 C o 定压冷却到 6 时放出的热量 已知 甲烷在理想气体状态下的摩尔定压热容 K J mol K 18 90 055 pm CT 解 查表 6 1 甲烷 4 64MPa190 7K cc pT 1 121 6 5MPa 1 40 4 64MPa rrr c p ppp p 1 12 70273 15 K 6273 15 K 1 801 40 190 7K190 7K rr c T TT T 分别按 11212 1 401 801 40 rrrrr pTppT 查通用焓图 图 6 6 80 0 39 0 2 1 c mm c mm RT HH RT HH 2 12 21 1 d mmmm mmcp m cc HHHH HHRTCT RTRT 第六章 实际气体的性质及热力学一般关系式 90 267 15K 343 15K 8 3145J mol K 190 7K 0 390 80 1 890 055 dT T 2069 2J mol 6 14 某理想气体的变化过程中比热容 cx为常数 试证其过程方程为 n pv 常数 这里 vx px cc cc n p 为压力 cp cV为定压比热容和定容比热容 可取定值 证 由 dd d x qup vqcT 对于理想气体 g dddd V pv ucTT R 得 dd0 Vx ccTp v 即 g d d0 Vx ccpvR p v g d dd0 VxVx ccp vcc v pR p v g d d0 VxVx ccRp vcc v p 因 gpV Rcc 所以 d d0 pxVx ccp vcc v p 由题意 比热容取常数 积分得 px Vx cc cc pv 常数 即 n pv 常数 6 15 某一气体的体积膨胀系数和等温压缩率分别为 1 vT nRa pvpv 式中 a 为常数 n 为物质的量 R 为通用气体常数 试求此气体的状态方程 解 取 pTvv 则 1 ddddddd vT p T vvnRa vTpv TK v pv Tv p Tppvpv a 把 d d VV vv mm 代入 a 式整理得 ddddp vv pap pnR T 积分 2 2 a pvpnRTC 确定积分常数 当 p 0 时气体应服从理想气体方程 pV nRT 上式中0 p p2为高 阶无穷小 可略去不计 所以积分常数0C 因此状态方程为 第六章 实际气体的性质及热力学一般关系式 91 2 2 a pvpnRT 6 16 气体的体积膨胀系数和定容压力温度系数分别为 1 v m R pVT 试求此气体的状态方程 解 据循环关系式 1 vp T vpT pTv g 222 1 p vm m T v vR v R TT vpvvRTvRT pppp Vp Mp p TT 积分 g R T vT p 当0 p时气体趋近于理想气体 服从 g R T v p 0T 因此状态方程为 g pvR T 6 17 水的三相点温度 T1 273 16K 压力 p 611 2Pa 汽化潜热 rlg 2501 3kJ kg 按蒸汽压 力方程计算 t2 10 时饱和蒸汽压 假定潜热可近似为常数 解 据饱和蒸汽压力方程式 g ln s s r pA R T 在三相点 p 611 2Pa Ts 273 16K rlg 2501 3kJ kg 3 3 2501 3 10 J kg ln611 2Pa26 261 8 3145J mol K 273 16K 18 02 10 kg mol A 10 时饱和蒸汽压 10 C g 3 3 exp26 261 2501 3 10 J kg exp26 2611231Pa 8 3145J mol K 283 15K 18 02 10 kg mol s s r p R T 蒸汽表提供