高三圆锥曲线复习(基础和大题含答案).doc

考纲要求（1）圆锥曲线 了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质； 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质； 了解圆锥曲线的简单应用； 理解数形结合的思想。（2）曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系。基本知识回顾（1）椭圆 椭圆的定义设F1，F2是定点（称焦点），P为动点，则满足|PF1|+|PF2|=2a (其中a为定值，且2a|F1F2|)的动点P的轨迹称为椭圆,符号表示：|PF1|+|PF2|=2a（2a| F1F2|)。 椭圆的标准方程和几何性质焦点在x轴上的椭圆焦点在y轴上的椭圆标准方程+=1（ab0）+=1（ab0）范围图形对称性对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点顶点轴长轴A1A2的长为：2a 短轴B1B2的长为：2b焦距F1F2=2c离心率a,b,c关系例题例1：椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则 ；的大小为 。变式1：已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且。若的面积为9，则 。 例2：若点P到点F(4,0)的距离比它到定直线x+5=0的距离小1，则P点的轨迹方程是（ ）Ay2=xBy2=xCy2=16xDy2=32x变式2：动圆与定圆A：(x+2)2+y2=1外切，且与直线lx=1相切，则动圆圆心P的轨迹是（ ）A直线 B椭圆 C双曲线 D抛物线变式3：抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点到焦点的距离为5，则抛物线方程为（ ）A BC D 变式4：在抛物线y2=2x上有一点P，若 P到焦点F与到点A（3，2）的距离之和最小，则点P的坐标是 。课后作业1已知椭圆+=1, F1、F2分别为它的左右焦点，CD为过F1的弦，则F2CD的周长是（ ）A10 B12 C16 D不能确定2设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ）ABCD3已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）A2 B3 C D 答案：例题例1、2，120解：，又， 又由余弦定理，得，故应填2，120。变式1、3解：依题意，有， 可得4c2364a2，即a2c29， 故有b3。例2、C 变式2、D 变式3、D 变式4、（2,2）课后作业1C 2B 3解：直线为抛物线的准线，由抛物线的定义知，P到的距离等于P到抛物线的焦点的距离，故本题化为在抛物线上找一个点使得到点和直线的距离之和最小，最小值为到直线的距离，即，故选择A。（2）双曲线 双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2（称为焦点）的距离的差的绝对值等于常数2a (02a|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,符号表示：|PF1|PF2|=2a (02a|F1F2|)。 双曲线的标准方程和几何性质焦点在x轴上的双曲线焦点在y轴上的双曲线标准方程=1（a0,b0）=1（a0,b0）范围图形对称性对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点顶点轴实轴A1A2的长为：2a 虚轴B1B2的长为：2b焦距F1F2=2c离心率a,b,c关系例题 例3：如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ）A B C D变式5：双曲线的一个焦点为，那么的值是（ ）A1 B1 C D 变式6：曲线的离心率e(1, 2)，则k的取值范围是（ ）A(, 0) B(3, 0) C(12, 0) D(60, 12)例4：设和为双曲线()的两个焦点, 若，是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为（ ） A B C D3变式7：过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ） A B C D 变式8：设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使 且，则双曲线的离心率为（ ）AB C D变式9：双曲线（a0,b0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为（ ）A(1,3)BC(3,+)D例5：设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）A B C D变式10：已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点在双曲线上.则（ ） A12 B2 C0 D4变式11：双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为（ ）A B2 C D1答案：例题例3、C 变式5、B 变式6、C例4、B 解：由有,则,故选B。变式7、B，解：因为，再由有，从而可得，故选B。变式8、B 变式9、B例5、C解：由已知得到，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为变式10、C解：由渐近线方程为知双曲线是等轴双曲线，双曲线方程是，于是两焦点坐标分别是（2，0）和（2，0），且或.不妨去，则，.变式11、解：双曲线-=1的焦点(4,0)到渐近线的距离为,选A（3）抛物线 抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线（定点F不在定直线l上）。 抛物线的标准方程和几何性质标准方程图形l yo F xy lF o xyFo xlylo xF顶点坐标原点O（0，0）对称性关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称焦点离心率e=1准线方程 知识拓展抛物线焦点弦的性质设AB是过抛物线焦点F的弦，若，则1.，；2.弦长丨AB丨=(为弦AB的倾斜角)；3.；4.以弦AB为直径的圆与准线相切；5.A，O与B在准线上的射影B三点共线，B，O与A在准线上的射影A三点共线。例题例6：斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，则线段AB的长是 。变式12：抛物线y2=2x上的两点A、B到焦点F的距离之和是5，则线段AB的中点M的横坐标是 变式13：设过抛物线的焦点F的弦为PQ，则以PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是（ ） A相交B相切C相离D以上答案均有可能变式14：过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则_ 课后作业1若双曲线的离心率为2，则等于（ ）A2 B C D12双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ ）ABCD3已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为。4已知双曲线的离心率为，焦点是，则双曲线方程为（ ）ABCD5抛物线的焦点坐标是（）A（2，0） B（，0） C（4，0） D（，0）6设分别是双曲线的左、右焦点。若点在双曲线上，且，则（ ）A B CD7已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点。若，则椭圆的离心率是（ ）A B C D 8已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且，则有（ ）ABCD答案：例题例6、8变式12、2 变式13、B变式14、2，解：由题意可知过焦点的直线方程为，联立有，又。课后作业1解：由，解得a=1或a=3，参照选项知而应选D。2B 334A 5解：由,易知焦点坐标是，故选B。6B 7D，对于椭圆，因为，则 8C解圆锥曲线常用方法（1）韦达定理的应用例题例1：在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，且点在上（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆和抛物线相切，求直线的方程课后作业1、双曲线的渐近线与圆相切，则r=（ ） A B2 C3 D62、设双曲线的一条渐近线与抛物线有且只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ） A B5 C D3、已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A B C D答案：例1、解：(1):依题意：c=1,1分则：,2分设椭圆方程为：3分将点坐标代入，解得：4分所以 故椭圆方程为：5分（2）设所求切线的方程为：6分消除y7分化简得：8分同理：联立直线方程和抛物线的方程得：消除y得： 9分化简得： 10分将代入解得：解得：12分故切线方程为：14分课后作业1、A2、D 解：双曲线的一条渐近线为,由方程组 ,消去y,得有唯一解,所以,所以, ,故选D。 3、解：设由ABF2是正三角形知所以椭圆的离心率，故选A。（2）圆锥曲线弦长问题例题例2：已知椭圆C:=1(ab0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为。（1）求椭圆C的方程;（2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值。课后作业1、设P是椭圆短轴的一个端点，为椭圆上的一个动点，求的最大值。2、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4。（1）求椭圆的方程；（2）直线l过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当AOB面积取得最大值时，求直线l的方程。答案：例题例2、解：（1）设椭圆的半焦距为，依题意 ，所求椭圆方程为。（2）设，。当轴时，。当与轴不垂直时，设直线的方程为。由已知，得把代入椭圆方程，整理得，。 当且仅当，即时等号成立当时，综上所述。当最大时，面积取最大值课后作业1、解: 依题意可设P(0,1),Q(x,y),则 |PQ|=,又因为Q在椭圆上,所以， 因为,a1, 若a, 则1，当时，|PQ|取最大值；若1a0，椭圆方程为，抛物线方程为，如图4所示，过点F(0,b+2)作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；(2)设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）3、(2009广东理19)已知曲线C：与直线l：交于两点和，且，记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D，设点是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合，(1)若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；(2)若曲线G：与D有公共点，试求a的最小值4、(2010广东理20)已知双曲线的左、右顶点分别为，点，是双曲线上不同的两个动点(1)求直线与交点的轨迹的方程；(2)若过点 的两条直线和与轨迹E都只有一个交点，且，求 的值5、(2010广东理21)设，是平面直角坐标系上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离为：，对于平面上给定的不同两点，(1)若点是平面上的点，试证明：；(2)在平面上是否存在点，同时满足；若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明6、(2011广东理19)设圆与两圆，中的一个内切，另一个外切(1)求的圆心轨迹的方程；(2)已知点，且为上动点，求的最大值及此时点的坐标7、(2011广东理21)在平面直角坐标系上，给定抛物线：实数，满足，是方程的两根，记(1)过点 作的切线交轴于点证明：对线段上的任一点，有；(2)设是定点，其中，满足，过作的两条切线，切点分别为，与轴分别交于，线段上异于两端点的点集记为证明：；(3)设当点取遍时，求的最小值(记为)和最大值(记为) 8、（2012广东理20）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：的离心率e= ，且椭圆C上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3.（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m,n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的OAB的面积；若不存在，请说明理由。文科1、（2013年文科20题）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点(1) 求抛物线的方程；(2) 当点为直线上的定点时，求直线的方程；(3) 当点在直线上移动时，求的最小值【解析】（1）依题意，解得（负根舍去）抛物线的方程为；（2）设点,，由,即得. 抛物线在点处的切线的方程为，即. ， .点在切线上, . 同理， . 综合、得，点的坐标都满足方程 . 经过两点的直线是唯一的，直线 的方程为，即；（3）由抛物线的定义可知，所以联立，消去得， 当时，取得最小值为 2、（2012年文科20题）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点，且在在上。（1）求的方程；（2）设直线同时与椭圆和抛物线相切，求直线的方程【解析】（1）由题意得：故椭圆的方程为： （2）设直线，直线与椭圆相切 直线与抛物线相切，得：不存在 设直线 直线与椭圆相切两根相等 直线与抛物线相切两根相等 解得：或3、（2011年文科21题）在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，设是上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足MPO=AOP（1）当点P在上运动时，求点M的轨迹E的方程；（2）已知T（1，-1），设H是E 上动点,求+的最小值，并给出此时点H的坐标；（3）过点T（1，-1）且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线的斜率k的取值范围。21（本小题满分14分）解：（1）如图1，设MQ为线段OP的垂直平分线，交OP于点Q，因此即另一种情况，见图2（即点M和A位于直线OP的同侧）。MQ为线段OP的垂直平分线，又因此M在轴上，此时，记M的坐标为为分析的变化范围，设为上任意点由 （即）得，故的轨迹方程为综合和得，点M轨迹E的方程为（2）由（1）知，轨迹E的方程由下面E1和E2两部分组成（见图3）：；当时，过作垂直于的直线，垂足为，交E1于。再过H作垂直于的直线，交因此，（抛物线的性质）。（该等号仅当重合（或H与D重合）时取得）。当时，则综合可得，|HO|+|HT|的最小值为3，且此时点H的坐标为 （3）由图3知，直线的斜率不可能为零。设故的方程得：因判别式所以与E中的E1有且仅有两个不同的交点。又由E2和的方程可知，若与E2有交点，则此交点的坐标为有唯一交点，从而表三个不同的交点。因此，直线的取值范围是4、（2010年文科21题）已知曲线，点是曲线上的点（n=1,2,）.（1）试写出曲线在点处的切线的方程，并求出与轴的交点的坐标；（2）若原点到的距离与线段的长度之比取得最大值，试求试点的坐标；（3）设与为两个给定的不同的正整数，与是满足（2）中条件的点的坐标，【解析】（1），的切线斜率，的方程为，当x=0时，；（2）原点O到的距离，此时，；（3）而， ，得证。5、（2009年文科19题）已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点.(1)求椭圆G的方程(2)求的面积(3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.【解析】（1）设椭圆G的方程为： （）半焦距为c; 则 , 解得 , 所求椭圆G的方