函数与导数检测题.doc

函数与导数专题练习题1. 函数的定义域是（ ）A B C D【解析】 D；2. 在同一坐标系中画出函数，的图象，可能正确的是（ ）【解析】 D；在B、C、D三个选项中对应的，只有选项D的图象正确3. 下列函数中，既是奇函数又是区间上的增函数的是（ ）ABCD【解析】 C；AD不是奇函数，B在上是减函数4. 若，则下列结论正确的是（ ）A B C D【解析】 D；由指数函数与对数函数的单调性知D正确5. 设函数，则其零点所在的区间为（ ）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）【解析】 B；在上单调增，故零点所在区间6. 奇函数在上单调递增，若则不等式的解集是（ ）A BC D【解析】 A；如图，根据所具有的性质可以画出的草图，因此或7. 在同一坐标系中画出函数，的图象，可能正确的是（ ）【解析】 D；在B、C、D三个选项中对应的，只有选项D的图象正确8. 设函数在区间内有零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD【解析】 C；在上是减函数，由题设有，得解9. 已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（ ）【解析】 A；由的图象知和是的极值点，且时，单调递减，故选A10. 已知函数，正实数是公差为正数的等差数列，且满足若实数是方程的一个解，那么下列四个判断：；中有可能成立的个数为（ ）A B C D【解析】 C；在上单调减，值域为又，所以，由可知，成立；此时，成立综上，可能成立的个数为11. 已知函数是奇函数且是上的增函数，若满足不等式，则的最大值是（ ）A B C D【解析】 C；由为奇函数得，又为增函数，有，即，它表示圆心在，半径为的圆的内部（包括边界），故到原点最远的点为，从而12. 定义在上的函数是减函数，且函数的图象关于成中心对称，若，满足不等式则当时，的取值范围是（ ）A B C D【解析】 D；由的图象关于中心对称知的图象关于中心对称，故为奇函数得，从而，化简得，又，故，从而，等号可以取到，而，故13. 设函数的定义域为，若对于给定的正数，定义函数，则当函数时，定积分的值为（ ）ABCD【解析】 D；由题设，于是定积分14. 函数的定义域是 【解析】 ；且15. 函数的图象在点处的切线方程是 【解析】 ；，所求的切线方程为，即，化简为16. 已知，若，则 【解析】 或；当时，由得，（正值舍）；当时，解得17. 已知函数， 【解析】 ；18. 函数图象上点处的切线与直线围成的梯形面积等于，则的最大值等于 ，此时点的坐标是 【解析】 ，；函数在点处的切线方程为，即它与轴的交点为，与的交点为于是题中梯形的面积当时，取得最大值为，此时点坐标为即19. 如果对任意一个三角形，只要它的三边长，都在函数的定义域内，就有，也是某个三角形的三边长，则称为“型函数”则下列函数：； ； ，是“型函数”的序号为 【解析】 ；若，则，故满足；若，则，故满足；反例：，时，构成三角形，但，故不构成三角形20. 设函数的定义域为，若存在非零实数使得对于任意，有，且，则称为上的高调函数现给出下列命题：函数为上的高调函数；函数为上的高调函数；如果定义域为的函数为上高调函数，那么实数的取值范围是；其中正确的命题是 （写出所有正确命题的序号）【解析】 ；中为减函数，故不可能是高调函数；中，故正确；的图象如下图所示，要使得，有；时，恒有，故即可，正确21. 设函数的定义域为，若存在非零实数使得对于任意，有，且，则称为上的高调函数如果定义域为的函数为上的高调函数，那么实数的取值范围是 如果定义域为的函数是奇函数，当时，且为上的4高调函数，那么实数的取值范围是 【解析】 ；的图象如下图左所示，要使得，有；时，恒有，故即可；由为奇函数及时的解析式知的图象如下图右所示，由，故，从而，又时，恒有，故即可22. 有下列命题：是函数的极值点；三次函数有极值点的充要条件是；奇函数在区间上是单调减函数其中假命题的序号是 【解析】 ；在上单调增，没有极值点，错；，有极值点的充要条件是有两个不相等的实根，也即，正确；是奇函数，则，由，可得，因此，所以当时，故在上是单调减函数23. 有下列命题：若存在导函数，则；若函数，则；若函数，则；若三次函数，则“”是“有极值点”的充要条件其中真命题的序号是 【解析】 ；，错误；，则，错；，正确；，只需即可，是的充分不必要条件24. 设若函数在区间内单调递减，求的取值范围；若函数处取得极小值是，求的值，并说明在区间内函数的单调性【解析】函数在区间内单调递减，函数在处有极值是，即，所以或当时，在上单调递增，在上单调递减，所以为极大值，这与函数在处取得极小值是矛盾，所以当时，在上单调递减，在上单调递增，所以为极小值，所以时，此时，在区间内函数的单调性是：在内减，在内增25. 已知函数当时，求函数的单调区间；若函数在上的最小值是求的值【解析】 函数的定义域为， ，故函数在其定义域上是单调递增的 在上，发如下情况讨论：当时，函数单调递增，其最小值为，这与函数在上的最小值是相矛盾； 当时，函数在单调递增，其最小值为，同样与最小值是相矛盾；当时，函数在上有，单调递减，在上有，单调递增，所以函数满足最小值为由，得当时，函数在上有，单调递减，其最小值为，还与最小值是相矛盾；当时，显然函数在上单调递减，其最小值为，仍与最小值是相矛盾；综上所述，的值为26. 已知函数与函数若，的图象在点处有公共的切线，求实数的值；设，求函数的极值【解析】 因为，所以点同时在函数，的图象上因为，由已知，得，所以，即因为（所以当时，因为，且所以对恒成立，所以在上单调递增，无极值当时，令，解得，（舍）所以当时，的变化情况如下表：0+极小值所以当时，取得极小值，且综上，当时，函数在上无极值；当时，函数在处取得极小值27. 已知函数，其中为常数，且当时，求在（）上的值域；若对任意恒成立，求实数的取值范围【解析】 当时，得令，即，解得，所以函数在上为增函数，据此，函数在上为增函数，而，所以函数在上的值域为由，令，得，即，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增；若，即，易得函数在上为增函数，此时，要使对恒成立，只需即可，所以有，即而，即，所以此时无解若，即，易知函数在上为减函数，在上为增函数，要使对恒成立，只需，即，由和得若，即，易得函数在上为减函数，此时，要使对恒成立，只需即可，所以有，即，又因为，所以综合上述，实数的取值范围是28. 已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；求函数的单调区间和极值；当，且时，证明：【解析】 函数的定义域为，所以，又曲线在点处的切线与直线平行，所以，即令得当变化时，的变化情况如下表：+0极大值由表可知：的单调递增区间是，单调递减区间是所以在处取得极大值，当时，由于，要证，只需证明，令，则，因为，所以，故在上单调递增，当，即成立故当时，有，即29. 已知函数，若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；求函数的单调区间；当，且时，证明：【解析】 函数的定义域为，又曲线在点处的切线与直线垂直，所以，即由于当时，对于，有在定义域上恒成立，即在上是增函数当时，由，得当时，单调递增；当时，单调递减当时，令当时，在单调递减又，所以在恒为负所以当时，即故当，且时，成立30. 已知函数若为的极值点，求的值；若的图象在点处的切线方程为，求在区间上的最大值；当时，若在区间上不单调，求的取值范围【解析】 是的极值点，即，解得或2在上在上，又，解得由可知和是的极值点在区间上的最大值为8因为函数在区间不单调，所以函数在上存在零点而的两根为，区间长为，在区间上不可能有2个零点所以，即，又，31. 已知函数若为的极值点，求的值；若的图象在点处的切线方程为，求在区间上的最大值；求函数的单调区间【解析】 是极值点，即或2在上在上，又，解得；由可知和是的极值点在区间上的最大值为8，令，得当时，此时在单调递减当时：0+0极小值极大值此时在上单调递减，在上单调递增当时：00+0极小值极大值此时在上单调递减，在上单调递增，综上所述：当时，在单调递减；时，在单调递减，在单调递增；时，在单调递减，在单调递增32. 已知函数，其中求函数的零点；讨论在区间上的单调性；在区间上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由【解析】 令，得，所以函数的零点为函数在区域上有意义，令得，因为，所以，当在定义域上变化时，的变化情况如下：所以在区间上是增函数，在区间上是减函数在区间上存在最小值，证明：由知是函数的零点，因为，所以由知，当时，又函数在上是减函数，且所以函数在区间上的最小值为，且所以函数在区间上的最小值为计算得33. 已知函数，其中若函数存在零点，求实数的取值范围；当时，求函数的单调区间，并确定此时是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由【解析】 设有零点，即函数有零点，所以，解得或；，令得或，因为，所以，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减；当时，函数单调递增此时，存在最小值的极小值为根据的单调性，在区间上的最小值为m，解=0，得的零点为和，结合可得在区间和上，因为，所以，并且，即，综上，在区间和上，在区间上的最小值为，所以，当时存在最小值，最小值为34. 已知函数，在点处的切线方程为求函数的解析式；若对于区间上任意两个自变量的值，都有，求实数的最小值；若过点，可作曲线的三条切线，求实数的取值范围【解析】 ，根据题意，得即 解得 令，即，解得+极大值极小值，当时，则对于区间上任意两个自变量的值，都有，所以所以的最小值为点不在曲线上，设切点为则，切线的斜率为则，即因为过点，可作曲线的三条切线，所以方程有三个不同的实数解即函数有三个不同的零点则令，解得 或+极大值极小值 即 解得35. 已知函数若，求曲线在点处的切线方程；若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围【解析】 当时，函数，曲线在点处的切线的斜率为从而曲线在点处的切线方程为，即