数学奥林匹克竞赛轮换与对称.pdf

中小学教育资源交流中心提供 因式分解对称式交代式和轮换式因式分解对称式交代式和轮换式因式分解对称式交代式和轮换式因式分解对称式交代式和轮换式 1 基本概念 1 对称式 在一个代数式中 如果把它所含的两个字母互换 式子不改变 那么这个 代数式就叫做关于这两个字母的对称式 如ab 22 aabb 3223 33aa babb 等都是关于 a b的对称式 一般地 在一个代数式中 无论把其中哪两个字母互换 式子都不变 那么这个代数式 就叫做关于这些字母的对称式 如abc 222 abcabbcca 333 3abcabc 等都 是关于 a b c的对称式 2 交代式 在一个代数式中 如果把它所含的两个字母互换 得到的式子和原来的代 数式只差一个符号 那么这个代数式就叫做关于这两个字母的交代式 如把ab 22 ab 中 的两个字母 a b互换 分别为 baab 2222 baab 则ab 22 ab 就叫做关于 a b的交代式 3 轮换式 在一个代数式中 如果把所含字母顺次替换 即第一个字母换成第二个字母 第二个字母换成第三个字母 以此类推 最后一个字母换成第一个字母 式子不变 那么这 个代数式就叫做关于这些字母的轮换对称式 简称轮换式 如abc abbcca 333 3abcabc 等都是关于 a b c的轮换式 2 齐次对称式的一般形式 1 二元齐次对称式 二元一次齐次对称式 baL 二元二次齐次对称式 MabbaL 22 二元三次齐次对称式 33 baMabbaL 2 三元齐次对称式 三元一次齐次对称式 cbaL 三元二次齐次对称式 222 cabcabMcbaL 三元三次齐次对称式 22233 acbcbaMcbaL Nabcbac 2 其中 L M N 都是待定的常数 不含有 a b c 3 基本性质 1 对称式一定轮换式 但轮换式不一定是对称式 例如accbba 222 是轮换式 但把 a b互换 得到bccaab 222 显然它不是关于 a b的对称式 中小学教育资源交流中心提供 2 两对称式的和 差 积 商一定是对称式 两轮换式的和 差 积 商一定是轮换 式 3 两 交 代 式 的 积 是 对 称 式 一 对 称 式 和 一 交 代 式 的 积 是 交 代 式 如 22 bababa 对称式 交代式 交代式 222 babababa 交代式 交代式 对称式 4 有若干个字母的交代式 一定能被其中任意两个字母的差整除 如交代式 22 ba 能 被 ab 整除 对于轮换式的因式分解 常用的方法是选定一个字母 例如x 作主元 将其余的元看成 确定的数 然后用因式定理来确定它的因式 再利用轮换式的特征 定出几个相应的因式 例如 对一个关于zyx 的轮换式 如已定出yx 是它的一个因式 则xzzy 都是它的因 式 4 对称式 交代式和轮换式的因式分解 例 1 分解因式 222 bacacbcba 解 由于原式是关于 a b c的三次齐次交代式 根据性质 4 它一定能被ab bc ca 整除 即能被 accbba 整除 但 accbba 是三次齐次交代式 性质 3 222 bacacbcba accbbaL 令1 2 1 cba 则 3 3 1 L 1 3 2 L 1 因此 222 bacacbcba accbba 例 2 分解因式 233 yxzxzyzyx 解 由于原式是关于 x y z的四次齐次交代式 根据性质 4 它一定能被xzzyyx 整除 即能被 xzzyyx 整除 但 xzzyyx 是三次齐次交代式 性质 3 原式 xzzyyxzyxL 其中 zyxL 是一次齐次对称式 性质 3 令0 1 2 zyx 则L 1 2 10 2 8 L 1 因此 233 xzzyyxzyxyxzxzyzyx 例 3 分解因式 555 accbba 解 原式是关于 a b c的五次齐次交代式 仿上两例知它能被 accbba 整除 中小学教育资源交流中心提供 因此原式还应有一个二次齐次对称式的因式 222 cabcabMcbaL 555 accbba 222 cabcabMcbaL accbba 令1 1 0 cba 则 2L M 15 令2 1 0 cba 则 5L 2M 15 解 1525 152 ML ML 得 L 5 M 5 555 accbba 5 222 accbbacabcabcba 例 4 分解因式abccba3 333 解 由于原式是关于 a b c的三次齐次对称式 如果它能分解 则必有一个一次齐次对 称式abc 做为因式 而另一个因式应是二次齐次对称式 222 cabcabMcbaL 原式 cba 222 cabcabMcbaL 令1 0 cba 则 L 1 令1 0 cba 则 2L M 1 M 1 abccba3 333 cba 222 cabcabcba 例 5 分解因式 5555 zyxzyx 解 原式是关于 x y z的五次齐次对称式 所以它如果能分解 必有一个一次对称式因 式 我们判断xy 是否是它的因式 假设 5555 zyxzyx xy Q Q 是整式 令xy 由0 5555 zyyz知原式有因式xy 同理知yz zx 都是原式的因式 但 xzzyyx 是三次齐次对称式 所以原式应有一个二次齐次对称式的因式 222 zxyzxyMzyxL 性质 3 5555222 xyzxyzxyyz zx L xyzM xyyzzx 令1 0 zyx 则 2L M 15 令1 zyx 则 L M 10 中小学教育资源交流中心提供 解 10 152 ML ML 得 L M 5 5555222 5 xyzxyzxyyz zx xyzxyyzzx 例 6 分解因式 abccbacabcab 解 原式是一个关于cba 的对称式 取a为主元 原式可看成是一个关于a的二次多项 式 af当ba 时 原式0 22 cbcbbf 由因式定理 原式含有因式 ab 由对 称性 原式还含有因式 accb 由于 accbba 已是关于cba 的三次式 而原 式也只是关于cba 的三次式 故原式不会再由其他因式了 但原式与 accbba 还 可能相差一个常数因数 故设 abccbacabcab accbbak 这是一个关于cba 的恒等式 可通过在等式的两边使cba 取一些特殊值来求出k 例 如 取1 cba 代入 式 得k88 从而1 k 所以 原式 accbba 说明 上述解法中的待定系数 k也可通过观察确定 由观察易知 式左边 2 a的系数是 cb 而右边关于 2 a的系数是 k bc 故1 k 如果一个多项式的所有项关于各字母的次数相同 则称为齐次多项式 否则 称为非齐 次多项式 由于在对称式或轮换式中同型项的系数相同 所以三元二次齐次对称式的一般形 式是 222 a xyzb xyyzzx 三元一次非齐次对称式的一般形式是dzyxc 这里 dcba 都是常数 三元二次非齐次对称式的一般形式是上面两个式子之和 把对称式或轮换对称式作因式分解时 应注意原式是齐次的还是非齐次的 并由此确定 因式的形式 例 7 分解因式 555 xzzyyx 解 原式是五次齐次轮换式 仿照例 8 的办法知 yx xzzy 都是它的一次因式 由原式的齐次性 它还有一个二次齐次因式 由轮换性 这个因式的形式必是 222 a xyzb xyyzzx 若为 222 zyx 由轮换式就会有另两个因式 222 xzy 及 222 yxz 这样原式就至少为 9 次 这里ba 为待定系数 于是 便有 原式 222 zxyzxybzyxaxzzyyx 取1 1 0 xyz 代入上式得215ab 取0 1 2 zyx 得5215ab 关于ba 的两式联立 解得5 5 ba 所以 中小学教育资源交流中心提供 原式 5 222 zxyzxyzyxxzzyyx 例 8 分解因式 333 accbbabacacbcba 解 原式是四次非齐次轮换式 易知accbba 是它的 一次齐次 因式 由于原式 是非齐次的 它的另一个因式必是一次非齐次式 设为lklcbak 待定 于是原式 lcbakaccbba 取1 2 0abc 得462kl 取1 1 ba 0 c得l22 解得1 1 kl所以 原式 1 cbaaccbba 上面三个例子都是用求根法分解因式 但并非所有的对称式都能按照这种方法来分解因 式 例 9 分解因式 444 yyxx 分析 原式是二元四次齐次对称式 很难看出x取什么值 关于y的表达式 能使它为零 这里不加证明的告诉读者如下的结论 任何一个二元对称式都可以用yx 及xy表示出来 例 如 3223444 464 xyyxyxyxyx 224 2 4 xyyxxyyx 对于给定的对称式 寻求上面这种样子的具体表示方法 对解决某些代数求值问题及利 用韦达定理解某些二次方程的问题是很有用的 解 由分析中所得表示可见 原式 2 2 224 xyyxxyyx 22222 2 2 2yxyxxyyx 在一个含有若干个元的多项式中 如果互换任意两个元的位置 多项式不变 这种多项 式 叫 做 对称 多项 式 简 称对 称式 例 如 444 yyxx 是 二 元 对称 多 项 式 xyzzyx3 333 是三元对称多项式 一个关于wzyx 的多元多项式 若依某种顺序把字母进行轮换 如把x换成y y换 成wz 换成x 多项式不变 这种多项式叫做轮换对称多项式 简称轮换式 例如 222 bacacbcbaxzzyyx 都是三元轮换对称式 显然 对称多项式都是轮换对称多项式 而轮换对称多项式则不一定是对称多项式 例 如 222 x yy zz x 是轮换式 但因互换yx 得到的是yzzxxy 222 这已不是原式 所 以原式不是对称式 对于轮换式的因式分解 常用的方法是选定一个字母 例如x 作主元 将其余的元看成 确定的数 然后用因式定理来确定它的因式 再利用轮换式的特征 定出几个相应的因式 例如 对一个关于zyx 的轮换式 如已定出yx 是它的一个因式 则xzzy 都是它的因 中小学教育资源交流中心提供 式 例 8 分解因式 abccbacabcab 解 原式是一个关于cba 的对称式 取a为主元 原式可看成是一个关于a的二次多项 式 af当ba 时 原式0 22 cbcbbf 由因式定理 原式含有因式 ba 由对 称性 原式还含有因式 accb 由于 accbba 已是关于cba 的三次式 而原 式也只是关于cba 的三次式 故原式不会再由其他因式了 但原式与 accbba 还 可能相差一个常数因数 故设 abccbacabcab accbbak 这是一个关于cba 的恒等式 可通过在等式的两边使cba 取一些特殊值来求出k 例 如 取1 cba 代入 式 得k88 从而1 k 所以 原式 accbba 说明 上述解法中的待定系数 k也可通过观察确定 由观察易知 式左边 2 a的系数是 cb 而右边关于 2 a的系数是 cbk 故1 k 如果一个多项式的所有项关于各字母的次数相同 则称为齐次多项式 否则 称为非齐 次多项式 由于在对称式或轮换式中同型项的系数相同 所以三元二次齐次对称式的一般形 式是 222 a xyzb xyyzzx 三元一次非齐次对称式的一般形式是dzyxc 这 里dcba 都是常数 三元二次非齐次对称式的一般形式是上面两个式子之和 把对称式或轮换对称式作因式分解时 应注意原式是齐次的还是非齐次的 并由此确定 因式的形式 例 9 分解因式 555 xzzyyx 解 原式是五次齐次轮换式 仿照例 8 的办法知 yx xzzy 都是它的一次因式 由原式的齐次性 它还有一个二次齐次因式 由轮换性 这个因式的形式必是 222 a xyzb xyyzzx 若为 222 zyx 由轮换式 就会有另两个因式 222 xzy 及 222 yxz 这样原式就至少为 9 次 这里ba 为待定系数 于是 便有原式 222 zxyzxybzyxaxzzyyx 取1 1 0 xyz 代入上式得215ab 取0 1 2 zyx 得5215ab 关于ba 的两式联立 解得5 5 ba 所以 原式 5 222 zxyzxyzyxxzzyyx 例 10 分解因式 333 accbbabacacbcba 中小学教育资源交流中心提供 解 原式是四次非齐次轮换式 易知accbba 是它的 一次齐次 因式 由于原式 是非齐次的 它的另一个因式必是一次非齐次式 设为 k abcl k l待定 于是原式 lcbakaccbba 取0 2 1 cba 得lk264 取1 1 ba 0c 得l22 解得1 1 kl所 以原式 1 cbaaccbba 上面三个例子都是用求根法分解因式 但并非所有的对称式都能按照这种方法来分解因 式 例 11 分解因式 444 yyxx 分析 原式是二元四次齐次对称式 很难看出x取什么值 关于 y 的表达式 能使它为零 这里不加证明的告诉读者如下的结论 任何一个二元对称式都可以用yx 及xy表示出来 例 如 3223444 464 xyyxyxyxyx 224 2 4 xyyxxyyx 对于给定的对称式 寻求上面这