数学物理方法习题解答_Tex.pdf

数 学 物 理 方 法 习题解答 向安平 xiangap xiangap 成都信息工程学院光电技术系 2003 年 10 月 8 日 前前前言言言 本书供电子科学与技术专业和光信息科学与技术专业 数学物理方法 课程教学使用 本教学参考书仅供授权读者在计算机上阅读 不能编辑 拷贝和打印 经作者授权 可取消全 部限制 在第一版中只收录了必要的试题 以后将增补习题的数量和类型 在每章增加内容小结和解题 方法讨论 欢迎读者提供建议 作为本书的第一版 错误和排版差错在所难免 敬请读者指正 向安平 2003年9月30日 目 录 目 录 I复复复变变变函函函数数数概概概论论论1 第第第一一一章章章 复复复变变变函函函数数数2 1 1 复数与复数运算 2 1 2 复变函数 4 1 3 导数 5 1 4 解析函数 5 1 5 平面标量场 7 1 6 多值函数 8 第第第二二二章章章 复复复变变变函函函数数数的的的积积积分分分9 2 1 复变函数的积分 9 2 2 柯西定理 9 2 3 不定积分 9 2 4 柯西公式 9 第第第三三三章章章 幂幂幂级级级数数数展展展开开开10 3 1 复数项级数 10 3 2 幂级数 10 3 3 泰勒级数展开 11 3 4 解析延拓 12 3 5 洛朗级数展开 12 3 6 孤立奇点的分类 14 第第第四四四章章章 留留留数数数定定定理理理15 4 1 留数定理 15 4 2 应用留数定理计算实变函数定积分 17 xiangap 第iii页供教学参考 目 录 xiangap 第iv页供教学参考 第一篇复变函数概论 xiangap 第1页供教学参考 第一章复变函数 1 1复数与复数运算 1 下列式子在复平面上各具有怎样的意义 1 x 2 2 z a z b a b为复常数 3 Rez 1 2 1 x 2 解一 z x iy px2 y2 2 或x2 y2 4 这是以原点为圆心而半径为2的圆及 其内部 解二 按照模的几何意义 z 是复数z x iy与原点间的距离 若此距离总是 2 即表 示以原点为圆心而半径为2的圆内部 2 z a z b a b为复常数 解一 设z x iy z a1 ia2 b b1 ib2 z a p x a1 2 y a2 2 z b p x b1 2 y b2 2 于是 x a1 2 y a2 2 x b1 2 y b2 2 即 2y a2 b2 b2 a2 2x a1 b1 a1 b1 y a2 b2 2 x a1 b1 2 a1 b1 b2 a2 这是一条直线 是一条过点a和点b连线的中点 a1 b1 2 a2 b2 2 且与该直线垂直的直线 解二 等式的几何意义是 点z到定点a和点b的距离相等的各点的轨迹 即表示点a和 点b的连线的垂直平分线 3 Rez 1 2 解 设z x iy 则Rez x 故原式为x 1 2 它表示x 1 2的半平面 即直线x 1 2右边 的区域 不包括该直线 2 把下列复数用代数式 三角式和指数式几种形式表示出来 1 i 2 1 3 1 i 1 i xiangap 第2页供教学参考 第一章 复变函数 1 i 解 i本身即为代数式 此时在z x iy中 x 0 y i 三角式 p x2 y2 1 arctan y x arctan 1 0 2 所以 z i cos 2 isin 2 指数式 z i ei 2 1 i 解 i本身即为代数式 三角式 z cos isin 指数式 z ei 3 1 i 1 i 解 代数式 z 1 i 1 i 1 2 1 i 2 i 三角式 因 1 arctan 3 2 所以 z cos 3 2 isin 3 2 指数式 z ei 3 2 3 计算下列数值 a b和 为实常数 1 a ib 2 3 i 3 cos5 1 a ib 解 先化a ib为三角式 a ib p a2 b2 cos isin cos a a2 b2 sin b a2 b2 xiangap 第3页供教学参考 1 2 复变函数 于是 a ib 4 p a2 b2 cos 2 isin 2 4 p a2 b2 r 1 2 1 cos i r 1 2 1 cos 4 p a2 b2 s 1 2 1 a a2 b2 i s 1 2 1 a a2 b2 2 2 qp a2 b2 a i qp a2 b2 a 2 3 i 解 因 i 1 h cos 2 2n isin 2 2n i 所以 3 i 3 1 cos 6 2 3n isin 6 2 3n 3 i ei 6 2 3n 3 cos5 解 由乘幂的公式 cos isin n cosn isinn 及二项式定理 a b n an nan 1b n n 1 2 an 2b2 n n k k a n kbk 可知 cos5 isin5 cos isin 5 cos5 i5cos4 sin 10cos3 sin2 i10cos2 sin3 5cos sin4 isin5 比较等式两边的实部和虚部得 cos5 cos5 10cos3 sin2 5cos sin4 sin5 5cos4 sin 10cos2 sin3 sin5 1 2复变函数 1 计算下列数值 a和b为实常数 x为实变数 1 sin a ib 2 cosix 3 sinix xiangap 第4页供教学参考 第一章 复变函数 1 sin a ib 解 sin a ib 1 2i e i a ib e i a ib 1 2i e b cosa isina eb cosa isina 1 2 e b sina ebsina i ebcosa e bcosa 1 2 e b e b sina i eb e b cosa 2 cosix 解 cosix ei ix e i ix 2 ex e x 2 chx 3 sinix 解 sinix ei ix e i ix 2i ex e x 2 i 1 3导数 无作业 1 4解析函数 1 某个区域上的解析函数如为实函数 试证它必为实常数 2 已知解析函数f z 的实部u x y 或虚部v x y 求该解析函数 1 u exsiny 2 u x2 y2 xy f 0 0 3 试从极坐标系中的柯西 黎曼方程 1 3 4 消取u或v 本题答案就是Laplace方程 1 4 2 在极坐标系中的表示式 1 某个区域上的解析函数如为实函数 试证它必为实常数 解 设这个解析函数为w z u x y iv x y 因为它是实数 所以v x y 0 因为它 是解析函数 所以满足C R条件 u x v y v x u y 注意到v x y 0 则 u x 0 1 1 u y 0 1 2 由式 1 知 u f1 y 由式 2 知u f2 x 因为x y在该区域中皆为独立变数 要f1 x f2 x 则只有f1 x f2 x 常数 即u必为常数 亦即必为常数 该解析函数 2 已知解析函数f z 的实部u x y 或虚部v x y 求该解析函数 1 u exsiny xiangap 第5页供教学参考 1 4 解析函数 解一 u x exsiny u y excosy 根据C R条件 则 v y exsiny v x excosy 于是 dv v xdx v y dy excosydx exsinydy d excosy 所以 v x y excosy C f z exsiny i excosy C iex cosy isiny iC iex eiy iC iex iy iC iez iC 解二 因为 v x excosy 1 3 v y exsiny 1 4 所以 由式 1 暂且可把y当作参数 对x积分 v x y Z excosydy y excosy y 1 5 式 3 对y求偏导数 v y exsiny 0 y 1 6 比较式 2 和式 4 得 0 y 0 即 y C 所以 v x y excosy C f z exsiny i excosy C iez iC 必须指出 下面各题都可用这两种方法求解 限于篇幅 我们将只给出任一种 2 u x2 y2 xy f 0 0 解 因 u x 2x y v y u y 2y x v x 则 dv 2x y dy 2y x dx xiangap 第6页供教学参考 第一章 复变函数 d 2xy 1 2y 2 d 2xy 1 2x 2 d 2xy 1 2y 2 1 2x 2 v 2xy 1 2 y 2 x2 C 所以 f z x2 y2 xy i 2xy 1 2 y 2 x2 iC x2 y2 i2xy 1 2i x 2 y2 xy iC x iy 2 i1 2 x2 y2 i2xy iC z2 i1 2z 2 iC 又因f 0 0 iC 0 则C 0 从而 f z z2 1 i 2 3 试从极坐标系中的柯西 黎曼方程 1 3 4 消取u或v 本题答案就是Laplace方程 1 4 2 在极坐标系中的表示式 解 C R防程可改写为 u v 1 u v 上式第1式两边对 微分一次 二式两边对 微分一次 u 2v 1 2u 2 2v 上式第一式减第二式 得 u 1 2u 2 0 这就是极坐标系下的Laplace方程之一 C R条件还可以改写为 u 1 v u v 上式第一式对 微分一次 第二式对 微分一次 并相减得极坐标系下的另一Laplace方程 v 1 2v 2 0 1 5平面标量场 无作业 xiangap 第7页供教学参考 1 6 多值函数 1 6多值函数 无作业 xiangap 第8页供教学参考 第二章 复变函数的积分 第二章复变函数的积分 2 1复变函数的积分 无作业 2 2柯西定理 无作业 2 3不定积分 无作业 2 4柯西公式 1 已知函数 t x e2tx t 2 把 x作为参数 把t认为是复变数 试应用柯西公式 把 n tn t 0表为回路积分 对回路积分进行积分变数的代换 t x z 并借以证明 n tn 1 nex 2dn dxn e x 2 本题的 t x 是埃尔米特多项式的母函数 见附录九 解 i 把 n tn 表为回路积分如下 n tn t 0 n 2 i I 逆 e2 x 2 t n 1 d n 2 i I 逆 e2 x 2 n 1 d ii 证明 以 x z代入上式 n tn t 0 n 2 i I ex 2 z2 x z n 1 d z n 2 i I ex 2 e z 2 x 1 n z x n 1dz ex 2n 2 i I 1 ne z2dz z x n 1 1 nex 2dn dxn e x 2 得证 xiangap 第9页供教学参考 第三章幂级数展开 3 1复数项级数 无作业 3 2幂级数 1 把幂级数 3 2 1 逐项求导 求所得级数的收敛半径 以此验证逐项求导并不改变收敛半 径 2 把幂级数 3 2 1 逐项积分 求所得级数的收敛半径 以此验证逐项积分并不改变收敛半 径 3 求下列幂级数的收敛圆 1 P k 1 1 k z i k 2 P k 1 z k k 3 P k 1k k z 3 k 1 把幂级数 3 2 1 逐项求导 求所得级数的收敛半径 以此验证逐项求导并不改变收敛半 径 解 该幂级数的收敛半径是 R lim k fl fl fl fl ak ak 1 fl fl fl fl 对该幂级数逐项求导得 d dz X k 0 ak z z0 k a1 2a2 z z1 kak z z0 k 1 k 1 ak 1 z z0 k 其收敛半径为 R lim t fl fl fl fl kak k 1 ak 1 fl fl fl fl lim t fl fl fl fl fl ak 1 1 k ak 1 fl fl fl fl fl lim t fl fl fl fl ak ak 1 fl fl fl fl 所以逐项求导并不改变其收敛半径 2 把幂级数 3 2 1 逐项积分 求所得级数的收敛半径 以此验证逐项积分并不改变收敛半 径 解 对幂级数逐项积分 得 Z X k 0 ak z z0 kd z z0 a0 z z0 1 2a1 z z0 2 1 3a2 z z0 3 1 k 1ak z z0 k 1 1 k 2ak 1 z z0 k 2 xiangap 第10页供教学参考 第三章 幂级数展开 用同上题的方法可得收敛半径为 R lim t fl fl fl fl ak ak 1 fl fl fl fl 所以逐项积分并不改变收敛半径 3 求下列幂级数的收敛圆 1 P k 1 1 k z i k 解 其收敛半径为 R lim k fl fl fl fl 1 k 1 k 1 fl fl fl fl lim k fl fl fl fl k 1 k fl fl fl fl lim k fl fl fl fl 1 1 k fl fl fl fl 1 所以收敛圆为 z i 1 2 P k 1 z k k 解 收怜半径为 R lim k fl fl fl fl k k k 1 k 1 fl fl fl fl lim k fl fl fl fl k 1 k 1 kk fl fl fl fl lim k fl fl fl fl 1 kk h k k 1 k 1 kk i fl fl fl fl lim k k k 1 R lim k 1 k q 1 k k lim k 所以只要z是有限的 此幂级数就是收敛的 收敛圆为 z R 3 P k 1k k z 3 k 解一 收敛半径为 R lim k 1 k p a k lim k 1 k kk lim k 1 k 0 解二 收敛半径为 R lim k fl fl fl fl kk k 1 k 1 fl fl fl fl lim k fl fl fl k k 1 1 fl fl fl 0 所以收敛圆为 z 3 0 只要z 6 3 此幂级数就发散 3 3泰勒级数展开 1 在指定的点z0的邻域上把下列函数展开为泰勒级数 1 m z 在z0 1 2 e1 1 z 在z0 0 1 m z 在z0 1 xiangap 第11页供教学参考 3 4 解析延拓 解一 因为 f z z 1 m f 1 的主值 1 f0 z 1 mz 1 m 1 f0 1 1 m f00 z 1 m m2 z 1 m 2 f00 1 1 m m2 f000 z 1 m 1 2m m3 e 1 m 3 f000 1 1 m 1 2m m3 故其泰勒展式为 f z 1 1 m z 1 1 m 2 m2 z 1 2 1 m 1 2m 3 m3 z 1 3 解二 注意到 m z 1 z 1 1 m 则根据二项式定理也可求出上述答案 2 e1 1 z 在z0 0 解一 因为 f z e 1 z 1 f 0 e f0 z e 1 z 1 1 z 2 f0 0 e f00 z e 1 z 1 1 z 2 1 z 2 2 1 z 3 f00 0 3e f000 z e 1 z 1 1 z 6 2 1 z 5 4 1 z 5 6 1 z 4 f000 0 13e 故其泰勒级数为 f z e 1 z 3 2 z 2 13 3 z3 解二 注意到几何级数 1 1 z X k 0 zk z 1 则 e 1 1 z e1 z 1 z e e z 1 z e 1 z 1 z 1 2 z 1 z 2 e 1 z z2 z3 1 2 z z 2 z3 2 e 1 z 1 1 2 z 2 1 1 2 1 3 z3 e 1 z 3 2 z 2 13 3 z3 z 3 3 1 z2 3z 2 在1 z 2 1 z5e1 z在z0 0 解 由 et 1 t 1 2 t 2 1 n t n t 知 e1 z 1 1 z 1 2 1 z2 1 n 1 zn 0 z 所以 f z z5e1 z z5 z4 1 2 z 3 1 3 z 2 1 n z 5 n 0 3 解 因为 1 z 2 z 3 z 2 z 3 z 2 z 3 1 z 3 1 z 2 1 z 1 1 3 z 1 z 1 1 2 z 并注意到当 z 3时 有 1 z 1 1 3 z X k 0 3k zk 1 1 X k 3 k 1 zk 以及 1 z 1 1 2 z 1 X 2 k 1 zk 所以 1 z 2 z 3 1 X k h 3 k 1 2 k 1 i zk z 3 3 1 z2 3z 2 在1 z 2 解 原式可改写为 1 z2 3z 2 1 z 1 z 2 1 z 2 1 z 1 而 1 z 2 1 2 1 z 2 1 2 1 z 2 z 2 2 z 2 3 fl fl fl z 2 fl fl fl 1 z 2 1 z 1 1 z 1 1 z 1 z 1 1 z 1 z 2 1 z 3 xiangap 第13页供教学参考 3 6 孤立奇点的分类 1 z 1 z2 1 z3 1 z4 fl fl fl fl 1 z fl fl fl fl 1 所以 1 z2 3z 2 1 2 X k 0 z 2 k 1 X k zk X k 0 zk 2k 1 1 X k zk 1 z 2 3 6孤立奇点的分类 无作业 xiangap 第14页供教学参考 第四章 留数定理 第四章留数定理 4 1留数定理 1 确定下列函数的奇点 求出函数在各奇点的留数 1 ez 1 z 2 z z 1 z 2 2 3 1 z3 z5 4 z2 z2 1 2 5 1 1 z2n 2 计算下列回路积分 1 H dz z2 1 z 1 2 的方程是x2 y2 2x 2y 0 2 H z 1 cosz z3 dz 3 应用留数定理计算回路积分 1 2 i H f z z dz 函数f z 在 所围区域上是解析的 是该区 域的一个内点 1 ez 1 z 解 i 因为 lim z 1 ez 1 z 所以z0 1是函数的极点 又因 lim z 1 1 z ez 1 z lim z 1 ez 1 e 这是非零有限值 所以z0 1是函数的一阶极点 或称单极点 其留数就是1 e 即 Resf 1 1 e ii 因为 lim z ez 1 z 不存在 所以z0 是函数的本性奇点 函数在全平面上只有这两个奇点 由于全平面上所有奇点的 留数之和为零 所以 Resf f z 在所有 有限个 有限远奇点的留数之和 Resf 1 1 e 以下各题皆应如此分析 但限于篇幅 我们只给出简捷的步骤 2 z z 1 z 2 2 解 i 单极点z0 1 Resf 1 lim z 1 z z 2 2 1 ii 又二阶极点z0 2 Resf 2 lim z 2 d dz z z 1 xiangap 第15页供教学参考 4 1 留数定理 lim z 2 1 z 1 z z 2 2 1 3 1 z3 z5 解 f z 1 z3 z5 1 z3 1 z2 i 单极点z0 1 Resf 1 lim z 1 1 z3 z 1 1 2 ii 单极点z0 1 Resf 1 lim z 1 1 z3 1 z 1 2 iii 三极极点z0 0 Resf 0 lim z 0 1 2 d2 dz2 1 1 z2 lim z 0 1 2 2 1 z2 2 8z2 1 z2 2 1 或 Resf 0 Resf 1 Resf 1 1 4 z2 z2 1 2 解 i 二阶极点z0 i Resf i lim z i d dz z2 z2 1 2 i 4 ii 二阶极点z0 i Resf i Resf i i 4 5 1 1 z2n 解 令原式分母1 z2n 0 z2n 1 zn i e i 2k 1 2 所以 z0 e i 2k 1 2n k 0 1 2 2n 1 为实函数f z 的单极点 Resf z0 lim z z0 z ei 2k 1 2n 1 z2n 应用罗毕达法则 则 Resf z0 lim z z0 1 2nz2n 1 1 2ne i 2n 1 2k 1 2n 1 2n ei 2k 1 2n ei 2k 1 1 2ne i 2k 1 2n 2 计算下列回路积分 1 H dz z2 1 z 1 2 的方程是x2 y2 2x 2y 0 解 的方程可化为 x 1 2 y 1 2 2 2 在复平面上 它是一个以 1 i 为圆 心 2为半径的圆 xiangap 第16页供教学参考 第四章 留数定理 被积函数f z 1 z2 1 z 2 它有两个单极点z0 i 和一个二阶极点z0 1 在 这三个极点中 z0 i不在积分回路内 只有极点z0 i和z0 1在积分回路内 它们的留 数分别为 Resf i lim z i 1 z i 1 z 2 1 4 Resf 1 lim z 1 d dz 1 1 z2 lim z 1 2z 1 z2 2 1 2 应用留数定理 I dz z2 1 z 1 2 2 i Resf i Resf 1 2 i 1 4 1 2 i 2 2 H z 1 cosz z3 dz 解 被积函数f z cosz z3的三阶极点z0 0在单为圆内 其留数为 Resf 0 1 2 lim z 0 d2 dz2 cosz 1 2 所以 I z 1 cosz dz z3 2 iResf 0 i 3 应用留数定理计算回路积分 1 2 i H f z z dz 函数f z 在 所围区域上是解析的 是该 区域的一个内点 解 设被积函数g z f z z 因为 f z 在 所围区域内是解析的 所以g z 在积分回路 即 所围区域 内只有一个单极点z0 而 Resf lim z f z z z f 所以 I z z dz 2 iResf 2 if 于是 1 2 i I f z z dz f 这正是柯西公式 4 2应用留数定理计算实变函数定积分 1 计算下列实变函数定积分 1 R2 0 dx 2 cosx 2 R2 0 dx 1 cosx 2 0 1 3 R2 0 cos22xdx 1 2 cosx 2 0 5 R 2 0 dx 1 cos2x 2 计算下列实变函数定积分 1 R x2 1 x4 1 dx 2 R 0 x2dx x2 9 x2 4 2 3 计算下列实变函数定积分 xiangap 第17页供教学参考 4 2 应用留数定理计算实变函数定积分 1 R xsinx 1 x2 dx 2 R 0 cosmx x2 2 2 dx 3 R eimx x i dx R eimx x i dx m 0 Re 0 1 计算下列实变函数定积分 1 R2 0 dx 2 cosx 解 这是属于类型一的积分 为此 做变换z eix使原积分化为单位圆内的回路积分 I I z 1 dz iz 2 z z 1 2 I z 1 2 i dz z2 4z 1 2 i I z 1 dz z 2 3 z 2 3 2 i I z 1 f z dz f z 有两个单极点z0 2 3 其中z0 2 3 在单位圆内 且 Resf 3 2 lim z 3 2 1 z 2 3 1 2 3 I 2 i 2 i Resf 3 2 2 3 和本题一样 下面的几个小题都属于类型一的积分 处理方法和本题类似 因此 我们将 只给出简捷的步骤 2 R2 0 dx 1 cosx 2 0 1 解 作变换z eix 则 I I z 1 dz iz 1 2 z z 1 2 4 i 2 I z 1 z dz z2 2 z 1 2 4 i 2 I z 1 f z dz f z 有两个二阶极点z0 1 1 1 2 其中 z0 1 1 1 2 在单位圆内 且 Resf 1 1 p 1 2 2 4 1 2 3 2 I 2 i 4 i 2 Resf 1 1 p 1 2 2 1 2 3 2 3 R2 0 cos22xdx 1 2 cosx 2 1 xiangap 第18页供教学参考 第四章 留数定理 解 令z eix 则dx dz iz cosx 1 z2 2z cos2x 1 z4 2z2 以此代入原式得 I I z 1 h 1 z4 2z2 i2 dz iz 1 2 1 z 2 2z 2 I z 1 1 z4 2dz 4iz4 z2 1 2 z 1 4i I z 1 1 z4 2dz z4 1 z 1 4i I z 1 f z dz 被积函数的极点是 四阶极点z0 0 单极点z0 1 因 0 故只有 z0 0和z0 两个极点在单位圆内 其留数分别为 Resf 0 1 3 lim z 0 d3 dz3 1 z4 2 1 z z 1 3 lim z 0 d2 dz2 1 z4 2 2 z 1 2 1 z z 2 8z3 1 z4 1 z z 1 2 1 4 4 Resf lim z 1 z4 2 z4 1 z 1 4 2 4 1 2 I 2 i 1 4i 1 4 2 4 1 2 1 2 1 4 4 1 4 1 2 4 R 0 adx a2 sin2x a 0 解 把原式化为 I 1 2 Z 0 adx a2 sin2x 1 2 Z 0 ady a2 sin2y 在后一个积分中 令y x 则上式可表为 I 1 2 Z 0 adx a2 sin2x 1 2 Z 2 adx a2 sin2x a 2 Z 2 0 adx a2 sin2x a 2 I z 1 dz iz a2 z z 1 2 2i 2 a 2 I z 1 dz iz a z z 1 2 a z z 1 2 2a i I z 1 z dz z2 2az 1 z2 2az 1 2a i I z 1 z dz z a a2 1 z a a2 1 z a a2 1 z a a2 1 xiangap 第19页供教学参考 4 2 应用留数定理计算实变函数定积分 2a i I z 1 f z dz f z 在单位圆内有单极点z0 a a2 1及z0 a a2 1 且 Resf a p a2 1 a a2 1 2 a2 1 2 a a2 1 2a 1 8a a2 1 Resf a p a2 1 a a2 1 2a 2 a a2 1 2 a2 1 1 8a a2 1 Z 0 adx a2 sin2x 2a i 2 i 1 4a a2 1 a2 1 1 R 2 0 dx 1 cos2x 解 因被积函数是偶函数 故可作延拓 I 1 4 Z 2 0 dx 1 cos2x 1 4 I z 1 dz iz 1 z2 1 2z 2 1 i I z 1 z dz z4 6z2 1 1 i I z 1 z dz z2 3 2 2 z2 3 2 2 1 i I z 1 z dz z2 3 2 2 z p 3 2 2i z p 3 2 2i 被积函数的四个单极点中 只有z0 p 3 2 2i在积分回路内 其留数分别为 Resf q 3 2 2i lim z z0 z z2 3 2 2 z p 3 2 2i 1 8 2 Resf q 3 2 2i lim z z0 z z2 3 2 2 z p 3 2 2i 1 8 2 I 2 i 1 i 1 4 2 2 2 2 计算下列实