博弈论练习题 第一组 参考答案.pdf

1 博弈论练习题第一组 第一章 囚徒困境与经典矩阵博弈 博弈论练习题第一组 第一章 囚徒困境与经典矩阵博弈 习题集 2011年9月30日 习题集 2011年9月30日 1 单项选择 甲乙两人各在纸片上写下 合作 或 斗争 两词 然后双方同 时翻开纸片 如果两人都写 合作 每人各得100元 若两人都写 斗争 两人什么也得不到 若一人写 斗争 另一人写 合作 则 合作 者得S 斗争 者得 T 要使 斗争 为占优策略 S和T必须是 A S T 200 B S100 C S100 D 以上都不是 解答 答案为C 写出这个博弈的支付矩阵如下 乙 合作 斗争 甲 由于这个博弈是对称的 因此 只需要解其中一个人的最优反应即可 对于 对称博弈而言 两个人的占优策略及其支付是完全相同的 我们不妨解 乙的反应 要使 斗争 为占优策略 意味着无论甲选择什么行动 对于 乙而言 斗争总是好于合作 于是 若甲选择合作 那么乙选择斗争的收 益是T 选择合作的收益是100 因此T 100 若甲选择斗争 乙选择斗争的 收益是0 选择合作的收益是S 要使对于乙而言斗争好于合作 则0 S 因 此要选C 2 某博弈中甲乙双方各有三个策略 其相应的支付矩阵如下图所示 问 1 甲会不会采用策略A 为什么 2 请剔除上述支付矩阵里的占劣策略 3 请找出该博弈的纯策略纳什均衡 100 100 S T T S 0 0 D F E A C B 乙乙 甲甲 2 5 4 8 3 7 6 4 2 7 4 2 1 2 3 5 3 7 合作 斗争 2 答案 1 甲不会采用策略A 策略A是甲的劣策略 它是劣于C的 2 对于甲而言 A是一个劣策略 对于乙而言 F是一个劣策略 做到这一步即 可算正确 但当剔除了A和F这两个策略后 对乙而言 D又变成了劣策略 可以剔除 当剔除了A F D之后 对甲而言 B是劣策略 可以剔除 因此 纳什均衡是 C E 做到这一步也是正确的 且可以一并解决问题3 3 可以用重复剔除劣策略法 如上 纳什均衡为 C E 也可以用最优反应 法 用红色数字标出 答案相同 3 05年北京大学考研题 求下列博弈的纯策略纳什均衡 这个博弈在经典矩阵 博弈的名称是什么 参与人 2 参与人 1 答 步骤 1 先找两人的最优反应 用划圈法 注意 划圈的时候 要记住 如果找列参与人的最优策略 就要固定行参与人的行动 反之亦然 步骤2 两人的最优反应的组合即是纳什均衡 即 U L 和 D R 注意不要 写 6 2 2 6 注意不要 写 6 2 2 6 这个博弈在经典矩阵博弈中叫做 协调博弈 4 A和B手中各有一个魔瓶 魔瓶中各有1元钱 他们可以把这1元钱从魔瓶取出放 入自己的衣袋 也可以把这1元钱放入对方的衣袋 但是 如果放入自己的衣 袋 这1元钱会变为2元钱 如果放入对方的衣袋 这1元钱会魔术般地变为4 元 1 假设A和B互不关心 只关心自己的收益 他们各自的备选行动是 把1元钱 放入自己的口袋 可用字母D表示 把1元钱放入对方的口袋 可用 字母C表示 注意只有这两个备选行动 没有其他可能的行动 写出该博 弈的货币收益矩阵 并解出它的占优策略均衡 2 假设A是段誉王子 B是王语嫣姑娘 段誉非常喜欢王语嫣 在计算自己的 支付时 段誉会把王语嫣的收入乘以r加在自己的收入上 而王语嫣则并不关 心段誉 她只计算自己的货币收入 例如 如果段誉有x元钱 王语嫣有y元 钱 则段誉的心理支付是x ry 而王语嫣的心理支付为y 如果该博弈最后的 均衡结果是段誉总是往王语嫣的衣袋里放1元钱 而王语嫣也往自己的衣袋里 放了1元钱 问r的取值范围是多少 3 假设A是贾宝玉 B是林黛玉 两人互相关爱对方 因此 在计算自己的心 理支付时 两人互相把对方的收入乘以r加在自己的收入上 例如 如果宝玉 有x元钱 黛玉有y元钱 则宝玉的心理支付是x ry 而黛玉的心理支付为y rx 如果该博弈最后的均衡结果是双方都总是往对方的衣袋里放1元钱 问r的取 值范围是多少 假设 1 3 r 1 2 那么纯策略纳什均衡解是什么 L R U 2 6 5 5 D 0 0 6 2 3 解答 1 这个博弈的货币收益矩阵如下 B C D A 这是一个囚徒困境博弈 该博弈的占优策略均衡是 D D 2 段誉和王语嫣的心理支付矩阵如下 王语嫣 C D 段誉 该博弈最后的均衡结果是段誉往王语嫣的衣袋里放了1元钱 而王语嫣也往自 己的衣袋里放了1元钱 亦即根据原题目 C D 是一个纳什均衡 余江锋的解法 对于王语嫣而言 D是一个占优策略 因此不需考虑王语嫣选择C 策略的情况 当王语嫣选择D的时候 段誉选择C好于D 就可以使 C D 成为 纳什均衡 故令6r 2 2r 解得r 1 2 3 宝玉和段誉的心理支付矩阵如下 黛玉 C D 宝玉 由原题目 C C 是一个纳什均衡 由于它是对称的 因此只需要解宝玉的选 择即可确定r的取值范围 对宝玉而言 4 4r 6 6r 2 2r 解得r 1 2 若 1 3 r 1 2 则6 4 4r 2 2r 6r 故而D是宝玉和黛玉的占优策略 均衡在 D D 点上达到 4 4 0 6 6 0 2 2 4 4r 4 6r 6 6 0 2 2r 2 4 4r 4 4r 6r 6 6 6r 2 2r 2 2r C D C D C D 4 5 考虑下面的囚徒困境博弈 B A 此时囚徒困境博弈的均衡是 不合作 不合作 1 假设你想用对不合作者罚款的方法促进A和B的合作 为了使 合作 合作 成为一个占优策略纳什均衡 你需要对不合作者罚款多少元 假设你可以观察到谁不合作 而且对不合作的人征缴罚款x元 这个题是让你 求x的取值范围 2 困难 假设在这个博弈中 你看不到具体的支付 也不知道G和H代表的 是 合作 还是 不合作 你只知道这是一个囚徒困境博弈 假设你想用 罚款的方式来促进A和B的合作 此时你应当如何设计罚款方案 而使 合作 合作 成为一个纳什均衡 B A 解答 1 如果对不合作的人罚款x元 则收益矩阵改为 B A 现在 合作 合作 是纳什均衡 亦即2 3 x 0 1 x 联合两式子 解得x 1 也 就是至少要对不合作的人罚款1元 2 这个题目的困难之处在于不知道G和B代表什么 也不知道具体的支付情况 因此 你是不能对G或H的特定行为去罚款的 即使你认为初次达到的均衡是 一个囚徒困境中最坏的结果 你也不能确定罚款的数额 但是 可以这样设想 我们不需要把囚徒困境转变成一个囚徒顺境 只需要把它 转变成一个协调博弈 根据这一思路 只需设计这样一个罚款制度 如果观察到 G H 或 H G 不妨设支付较高的一方的支付为 则应对其处以 数额以上的罚款 这样 就把囚徒困境博弈变成了一个协调博弈 此时 合作 合作 是纳 什均衡 但不是占优策略纳什均衡 合作 不合作 合作 2 2 0 3 不合作 3 0 1 1 G H G H 合作 不合作 合作 2 2 0 3 x 不合作 3 x 0 1 x 1 x 5 6 一个支付组合是帕累托有效率的 当且仅当没有任何其他的支付组合可以同时 改善所有人的处境 假定A和B两人组成一个社会 可能的支付组合如下 组合1 200 200 组合2 0 300 组合3 300 0 组合4 100 100 这里 200 200 表示A的支付为200 B的支付为200 1 假定只有如上可能的四个支付组合 找出下列支付组合中帕累托有效率的 支付 2 在一个囚徒困境博弈里面 例如可考虑习题5中的囚徒困境博弈 找出帕 累托有效的支付 帕累托有效的支付是否是纳什均衡 答案 1 在四种状态中 帕累托有效率的支付是组合1 3 组合4是帕累托无效 率的 组合1可以同时改善两人的支付 2 在囚徒困境博弈中 帕累托有效的支付不是纳什均衡 7 假定A和B一起参加一场奇特的拍卖 拍品是100元人民币 拍卖规则是价高者 得到100元 并付给拍卖商自己的出价 出价低者完全丧失自己的出价 例如 若A出价50元 B出价40元 则A的净收入为50元 即100元减去50元出价 而B 净损失40元 如果出价相同 则每人得50元 但需要支付给拍卖行自己的出价 现在 假定在这场拍卖中A和B只有两个策略 C 出价90元 D 出价120元 假定两人是同时出价 各写一个纸条交给拍卖商 由拍卖商根据A和B出价的多少 和以上的博弈规则决定100元的分配 1 写出此时两人的收益矩阵 并计算出纳什均衡 写出纳什均衡下的双方净 收入 2 这个博弈可以对应于真实世界中的哪些情况 1 这个博弈的收益矩阵如下 B C D A 用最优反应法可知 纳什均衡是 D D 双方的净收入均为 70 2 这个博弈其实不是真正的拍卖 虽然也有这样的