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单元综合测试单元综合测试九一、选择题1(2008海南文)点P(x，y)在直线4x3y0上，且满足14xy7，则点P到坐标原点距离的取值范围是()A0,5B0,10C5,10 D5,15【答案】B【解析】根据题意可知点P在线段4x3y0(6x3)上，又线段过原点，故点P到原点最短距离为零，最远距离为点P(6,8)到原点距离且距离为10，故选B.2若过定点M(1,0)且斜率为k的直线与圆x2y24x50在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是()A(，0) B(0，)C(0，) D(0,5)【答案】B【解析】圆(x2)2y29与y轴正半轴交于点P(0，)，与x轴正半轴交于点A(1,0)，由题设条件知kMAkkMP，即0kb0)的离心率为，则双曲线1的离心率为()A. B.C. D.【答案】B【解析】因为椭圆离心率e，即，也即，所以，则1，即，双曲线离心率e，故选B.5方程1表示焦点在y轴上的双曲线，则其半焦距c的取值范围是()A(，) BC(，) D【答案】A【解析】由得k9，c，故选A.6设F1、F2是双曲线1(a0，b0)的左、右两个焦点，若在双曲线的右支上存在一点P，使()0(O为坐标原点)，且|PF1|PF2|，则双曲线的离心率为()A. B.1C. D.1【分析】本题主要考查双曲线、向量等有关知识顺利解题的关键是对向量条件的破译由()0易知F1PF2为直角三角形，再结合条件不难得出答案【答案】D【解析】如图，作，且ON交F2P于点M.由()0知ONF2P，从而易知四边形OF2NP为菱形，且点M为线段F2P的中点NP綊OF1，ONF1P，从而可知F1PF2为直角三角形结合|PF1|PF2|，可设|PF1|，|PF2|1，则|F1F2|2，故双曲线的离心率e1.7(2008四川)已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|AF|，则AFK的面积为()A4 B8C16 D32【答案】B【解析】y28x的焦点为F(2,0)，准线x2，K(2,0)，设A(x，y)，由|AK|AF|得，即(x2)2y22(x2)2y2，化简得，y2x212x4，与y28x联立解得：x2，y4，SAFK|FK|yA|448，故选B.8已知F1、F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是()A(1，) B(1,2C(1， D(1,3【答案】D【解析】|PF2|4a4a4a8a，当且仅当|PF2|，即|PF2|2a时取等号这时|PF1|4a.由|PF1|PF2|F1F2|，得6a2c，即e3，得e(1,39双曲线x2y22010的左、右顶点分别为A1、A2，P为其右支上的一点，且A1PA24PA1A2，则PA1A2等于()A无法确定 B.C. D.【分析】该题考查圆锥曲线中双曲线的性质，解题的关键是将“A1PA24PA1A2”转化为代数表达式【答案】D【解析】设P(x，y)，y0，过点P作x轴的垂线PH，垂足为H，则tanPA1H，tanPA2H(其中a22010)，tanPA1HtanPA2H1.PA1HPA2H，设PA1A2，则PA2H5，5，即PA1A2，故选D.10如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于两点A、B，交其准线于C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为()Ay2x By29xCy2x Dy23x【答案】D【解析】如题图所示，分别过点A、B作AA1、BB1与准线垂直，且垂足分别为A1、B1，由已知条件|BC|2|BF|得|BC|2|BB1|，BCB130，于是可得直线AB的倾斜角为60.又由|AF|3得|AF|AA1|3|AC|，于是可得|CF|AC|AF|633，|BF|CF|1.|AB|AF|BF|314.设直线AB的方程为y(x)，代入y22px得3x25pxp20，|AB|AF|BF|AA1|BB1|xAxBxAxBpppp4，p，即得抛物线方程为y23x.故选D.二、填空题11若a、b、c是直角三角形的三边(c为斜边)，则圆x2y22截直线axbyc0所得的弦长等于_【答案】2【解析】a、b、c是直角三角形的三条边，a2b2c2.设圆心O到直线axbyc0的距离为d，则d1，直线被圆所截得的弦长为22.12(2009山东青岛)F1是1的左焦点，P是椭圆上的动点，A(1,1)为定点，则|PA|PF1|的最小值为_【答案】6【解析】如图所示，连结F2A并延长交椭圆于P，在椭圆上任取一点P，连结PF1、PF2、PA.由三角形任意两边之和大于第三边得|PF1|PA|AF2|PF1|PF2|PF1|PF2|PF1|PA|AF2|，|PF1|PA|PF1|PA|.又F1(2,0)，F2(2,0)，写出F2A的方程，与椭圆联立求出P点坐标，则此|PF1|PA|即为所求最小值13过双曲线1的右焦点F(c,0)的直线交双曲线于M、N两点，交y轴于P点，则有的定值为.类比双曲线这一结论，在椭圆1(ab0)中，的定值为_【答案】【解析】对双曲线利用特殊位置法，即当直线过原点时，.同理，对椭圆也利用同样的办法可得.14如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道绕月飞行若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴的长，给出下列式子：a1c1a2c2；a1c1a2c2；c1a2a1c2；，即c1a2a1c2.正确15(2009江西理)若不等式k(x2)的解集为区间a，b，且ba2，则k_.【答案】【解析】考查数形结合的思想要使直线yk(x2)在半圆y之上，必须满足b3，a1，则直线yk(x2)过点(1,2)，又因为直线过点(2，)k.三、解答题16已知两点A(，0)、B(，0)动点P在y轴上的射影为Q，22.(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)设直线l过点A，斜率为k.当0k1时，曲线E的上支上有且仅有一点C到直线l的距离为，试求k的值及此时点C的坐标【解析】(1)设动点P的坐标为(x，y)，则点Q的坐标为(0，y)，(x,0)，(x，y)，(x，y)，x22y2.由题意22，得x22y22x2.所求动点P的轨迹方程为y2x22.(2)设直线l：yk(x)(0k|EM|，P的轨迹是以E、M为焦点，长半轴长为的椭圆，设方程为1(ab0)，c，a，b2a2c2.故动点P的轨迹方程是1.18(2010辽师大附中月考)已知P、Q、M、N四点都在中心为坐标原点，离心率为，左焦点为F(1,0)的椭圆C上，已知与共线，与共线，0.(1)求椭圆C的方程；(2)试用直线PQ的斜率k(k0)表示四边形PMQN的面积S，求S的最小值【解析】(1)设椭圆方程为1(ab0)，则a2b2c2，又依题意知c1，所以a，b1.所以椭圆C的方程为y21.(2)依题意，易知PQ与MN垂直且相交于点F，设PQ的方程为yk(x1)，由，消y得，(12k2)x24k2x2k220.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以|PQ|.同理可得|MN|.所以，四边形PMQN的面积为S|PQ|MN|22，当且仅当k21时，取等号所以四边形PMQN的面积S的最小值为.19已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点B的坐标为(0,1)，离心率等于.直线l与椭圆C交于M，N 两点(1)求椭圆C的方程；(2)问椭圆C的右焦点F是否可以为BMN的垂心？若可以，求出直线l的方程；若不可以，请说明理由【解析】(1)设椭圆C的方程为1(ab0)则由题意知b1.又e，即，a22.椭圆C的方程为y21.(2)假设右焦点F可以为BMN的垂心，F(1,0)，直线BF的斜率为1，从而直线l的斜率为1，设其方程为yxm.联立方程组，整理可得：3x24mx2m220，则16m224(m21)248m20，m20)相交于A、B、C、D四个点(1)求r的取值范围；(2)当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标【解析】(1)将y2x代入(x4)2y2r2，并化简得x27x16r20.E与M有四个交点的充要条件是方程有两个不等的正根x1，x2，由此得解得r20，所以r的取值范围是.(2)不妨设E与M的四个交点的坐标为：A(x1，)、B(x1，)、C(x2，)、D(x2，)则直线AC、BD的方程分别为y(xx1)，y(xx1)解得点P的坐标为(，0)设t，由t及(1)知0t.由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积S(22)|x2x1|，则S2(x1x22)(x1x2)24x1x2将x1x27，t代入上式，并令f(t)S2，得f(t)(72t)2(72t)求导数，f(t)2(2t7)(6t7)令f(t)0，解得t，t(舍去)当0t0；t时，f(t)0；t时，f(t)0.故当且仅当t时，f(t)有最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为.21已知平面内动点P(x，y)到定点F(1,0)的距离与其到定直线lx4的距离之比是，设动点P的轨迹为M，轨迹M与x轴的负半轴交于点A，过点F的直线交轨迹M于B、C两点(1)求轨迹M的方程；(2)证明：当且仅当直线BC垂直于x轴时，ABC是以BC为底边的等腰三角形；(3)ABC的面积是否存在最值？如果存在，求出最值；如果不存在，说明理由【分析】(1)根据已知条件求轨迹方程直接解决；(2)根据ABC是以BC为底边的等腰三角形，必满足|AB|AC|，进而确定直线BC垂直于x轴，再根据当直线 BC垂直于x轴时，ABC是以BC为底边的等腰三角形两个方面进行证明；(3)用适当的参数表示出动直线BC的方程，用这个参数表示出ABC的面积，通过函数的方法解决【解析】(1)由题意得，则4(x1)2y2(x4)2，即3x24y212，1，即是轨迹M的方程(2)由(1)易知轨迹M与x轴的负半轴交于点A(2,0)直线BC过点A时，A，B，C三点不能构成三角形，故直线BC的斜率不等于0，故可设直线BC的方程为xmy1，由，得(3m24)y26my90.设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则y1y2，y1y2.如果ABC是以BC为底边的等腰三角形，必有|AB|AC|，(x12)2y(x22)2y，(x1x24)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，m(y1y2)6m(y1y2)(y1y2)(y1y2)0，y1y2，(m21)(y1y2)6m0，(m21)()6m0，m0或1(无解)，即如果ABC是以BC为底边的等腰三角形，则m0，此时直线BC垂直于x轴反之，当直线BC垂直于x轴时，直线BC的方程是x1，易知B(1，)，C(1，)或B(1，)，C(1，)，此时|BC|3，|AB|AC|，ABC是以BC为底边的等腰三角形，故直线BC垂直于x轴时，ABC是BC为底边的等腰三角形综上可得：当且仅当直线BC垂直于x轴时，ABC是以BC为底边的等腰三角形(3)存在最大值，不存在最小值设ABC的面积存在最值由(2)知点A到直线BC的距离d；|BC|12.故ABC的面积S|BC|d.令t，则t1且m2t21，则.令g(t)3t，则g(t)3，当t1时g(t)恒大于0，故函数g(t)3t在1，)上单调递增，故函数g(t)的值域为4，)，故(0，所以ABC的面