大学文科数学-课件1.pdf

1 微积分的基础和研究对象 1 1 微积分的基础 集合 实数和极限 17 世纪上半叶笛卡儿 Descartes 法 1596 1650 创建解析几何之后 变量便进入了数学 随之 牛顿 Newton 英 1642 1727 和莱布尼茨 Leibniz 德 1646 1716 集众多数学家之大成 各自独立地 发明了微积分 被誉为数学史上划时代的里程碑 微 积分诞生不久 便在许多学科中得到广泛有效的应用 大大推动了那个时代科学技术的发展和社会进步 Newton 自然哲学的数学原理 三次数学危机 第一次数学危机 公元前 5 世纪 第二次数学危机 17 世纪 第三次数学危机 20 世纪初 罗素悖论 理发师悖论 Morris Kline 古今数学思想 Morris Kline 数学 确定性的丧失 由 的不足近似值构成的有理数序列 1 1 4 1 41 1 414 1 4142 1 41421 1 414213 1 4142135 1 41421356 1 414213562 1 4142135623 1 41421356237 1 414213562373 与点 距离小于 d 0 的全体实数的集合称为 点 的 邻域 记作 d 0 U x 称为邻域的中心 x x0 x0 x0 x x0 x0 x0 称为邻域的半径 d 0 xxx dd 00 xx 0 U x 如果点 的 邻域 d 0 U x不包括点 则称为点 的去心邻域 记作 d 0 Ux d 0 0 xxx 0 Ux 例 用邻域符号表示不等式e 0 所确 定的 的范围 解 由e 21x得 e 0a 且 1a 4 对数函数 logayx 0a 且 1a 5 三角函数 1 正弦函数 2 余弦函数 3 正切函数 0 2 2 3 2 3 2 1 0 1 4 余切函数 0 3 2 3 222 0 1 2 3 1 2 3 4 4 yxtan 5 正割函数 6 余割函数 1 0 1 0 2 2 3 2 3 2 2 2 0 2 2 3 2 3 2 2 2 1 0 1 和角公式 ababab sinsin coscos sin ababab coscos cossin sin ab ab ab tantan tan 1tan tan 倍角公式 aaa sin22sin cos aaaaa 2222 cos2cossin12sin2cos1 a a a 2 2tan tan2 1tan 和差与积关系公式 abab ab sinsin2sincos 22 abab ab sinsin2cossin 22 abab ab coscos2coscos 22 abab ab coscos2sinsin 22 ababab 1 sin cossinsin 2 ababab 1 cossinsinsin 2 ababab 1 coscoscoscos 2 ababab 1 sin sincoscos 2 6 反三角函数 arcsinyx 1 1x p p 2 2 y arccosyx 1 1x p 0 y 0 2 2 101 0 2 1 01 3 2 arctanyx x p p 2 2 y 0 0 123 1 2 3 3 2 2 3 2 2 arccotyx x p 0 y 恒等式 sin arcsincos arccostan arctanxxxx 例 2 sin arccos1xx 证 设 arccosyx p 0 y cosyx 22 sin1cos1yyx 例 2 tan arcsin 1 x x x 证 设 arcsinyx p p 2 2 y sinyx 22 sinsin tan cos 1sin1 yyx y y yx 例 2 cos arccot 1 x x x 例 p arcsinarccos 2 xx 证 设 arcsinyx p p 2 2 y sinyx p cos 2 yx p p 0 2 y p arccos cosarccos 2 yx p arccos 2 yx 例 p arctanarccot 2 xx 1 2 4 复合函数 p 2 Af rr 1rg tt p 2 1Af g tt 定义 设函数 yf u uU f ux xX 且 由 xX确定的函数值 f ux落在函数 yf u的 定义域 U 内 则 f yfx称为复合函数 称为中 间变量 f ux称为里层函数 yf u称为外层 函数 把一个复合函数分成不同层次的函数 叫做复合函数 的分解 分解的的步骤是从外向里 评判分解合理与否的准则 是 观察各层函数是否为基本初等函数或者多项式 例 设 f 2 xx及 y 2xx 求 f fx f yx y fx及 y yx 解 f f 2 24 xxx f y 2 2 22 xx x y f 2 2 x x y y 2 2 x x 例 设 1 1 f x x 求 f f x ff f x 解 11 1 1 1 1 f f x x x 1 1 11 ff f xx x 例 分解下列复合函数 1 arctan 2 x y 2 2 1sinyx 3 ln tan 2 x y 解 1 2uy arctanuv vx 2 1yu 2