数学新学案同步课件选修北师大版：常用逻辑用语33.3.ppt

3 3全称命题与特称命题的否定 第一章 3全称量词与存在量词 学习目标1 理解全称命题和特称命题的否定的意义 2 会对全称命题和特称命题进行否定 3 掌握全称命题的否定是特称命题 特称命题的否定是全称命题 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一全称命题的否定 思考尝试写出下面全称命题的否定 并归纳写全称命题否定的方法 1 所有矩形都是平行四边形 2 每一个素数都是奇数 3 任意x R x2 2x 1 0 答案 1 将量词 所有 换为 存在一个 然后将结论否定 即 不是平行四边形 所以原命题的否定为 存在一个矩形不是平行四边形 用同样的方法可得 2 3 的否定 2 存在一个素数不是奇数 3 存在x R x2 2x 1 0 梳理写全称命题的否定的方法 1 更换量词 将全称量词换为存在量词 2 将结论否定 全称命题的否定是命题 特称 知识点二特称命题的否定 思考尝试写出下面特称命题的否定 并归纳写特称命题否定的方法 1 有些实数的绝对值是正数 2 某些平行四边形是菱形 3 存在x R x2 1 0 答案 1 先将存在量词 有些 改写为全称量词 所有 然后将结论 实数的绝对值是正数 否定 即 实数的绝对值不是正数 于是得原命题的否定为 所有实数的绝对值都不是正数 同理可得 2 3 的否定 2 所有平行四边形都不是菱形 3 任意x R x2 1 0 梳理写特称命题的否定的方法 1 将存在量词改写为全称量词 2 将结论否定 特称命题的否定是全称命题 思考辨析判断正误 1 命题綈p的否定为p 2 存在x M p x 与任意x M 綈p x 的真假性相反 3 从特称命题的否定看 是对 量词 和 p x 同时否定 题型探究 类型一全称命题的否定 例1写出下列全称命题的否定 1 任何一个平行四边形的对边都平行 2 数列 1 2 3 4 5中的每一项都是偶数 3 任意a b R 方程ax b都有唯一解 4 可以被5整除的整数 末位是0 解其否定 数列 1 2 3 4 5中至少有一项不是偶数 解答 解其否定 存在一个平行四边形 它的对边不都平行 解其否定 存在a b R 使方程ax b的解不唯一或不存在 解其否定 存在被5整除的整数 末位不是0 反思与感悟全称命题的否定是特称命题 对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定 跟踪训练1写出下列全称命题的否定 1 p 每一个四边形的四个顶点共圆 2 p 所有自然数的平方都是正数 3 p 任何实数x都是方程5x 12 0的根 4 p 对任意实数x x2 1 0 解存在一个四边形 它的四个顶点不共圆 解有些自然数的平方不是正数 解答 解存在实数x不是方程5x 12 0的根 解存在实数x 使得x2 1 0 类型二特称命题的否定 例2写出下列特称命题的否定 并判断其真假 1 p 存在x R 2x 1 0 解答 解任意x R 2x 1 0 为假命题 3 r 有些分数不是有理数 解答 解一切分数都是有理数 是真命题 反思与感悟特称命题的否定是全称命题 写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词 跟踪训练2写出下列特称命题的否定 并判断其否定的真假 1 有些实数的绝对值是正数 解答 解命题的否定是 不存在一个实数 它的绝对值是正数 即 所有实数的绝对值都不是正数 它为假命题 2 某些平行四边形是菱形 解命题的否定是 没有一个平行四边形是菱形 即 每一个平行四边形都不是菱形 由于菱形是平行四边形 因此命题的否定是假命题 3 存在x y Z 使得x y 3 解答 类型三含量词的命题的应用 例3已知命题 对于任意x R x2 ax 1 0 是假命题 求实数a的取值范围 解答 解因为全称命题 对于任意x R x2 ax 1 0 的否定形式为 存在x R x2 ax 1 0 由 命题真 其否定假 命题假 其否定真 可知 这个否定形式的命题是真命题 由于函数f x x2 ax 1是开口向上的抛物线 借助二次函数的图像易知 a2 4 0 解得a 2或a 2 所以实数a的取值范围是 2 2 引申探究把本例中 假命题 改为 真命题 求实数a的取值范围 解答 解由题意知 a2 4 0 解得a 2 2 故a的取值范围为 2 2 反思与感悟含有一个量词的命题与参数范围的求解策略 1 对于全称命题 任意x M a f x 或a f x 为真的问题 实质就是不等式恒成立问题 通常转化为求函数f x 的最大值 或最小值 即a f x max a f x min 2 对于特称命题 存在x M a f x 或a f x 为真的问题 实质就是不等式能成立问题 通常转化为求函数f x 的最小值 或最大值 即a f x min 或a f x max 3 若全称命题为假命题 通常转化为其否定形式 特称命题为真命题解决 同理 若特称命题为假命题 通常转化为其否定形式 全称命题为真命题解决 跟踪训练3已知函数f x x2 2x 5 1 是否存在实数m 使不等式m f x 0对于任意x R恒成立 并说明理由 解答 解不等式m f x 0可化为m f x 即m x2 2x 5 x 1 2 4 要使m x 1 2 4对于任意x R恒成立 m 4即可 故存在实数m 使不等式m f x 0对于任意x R恒成立 此时 只需m 4 2 若存在一个实数x 使不等式m f x 0成立 求实数m的取值范围 解答 解不等式m f x 0可化为m f x 若存在一个实数x 使不等式m f x 成立 只需m f x min 又f x x 1 2 4 f x min 4 m 4 所求实数m的取值范围是 4 达标检测 答案 1 命题 任意x R x x2 0 的否定是A 任意x R x x2 0B 任意x R x x2 0C 存在x R x x2 0D 存在x R x x2 0 1 2 3 4 5 答案 1 2 3 4 5 2 存在m n Z 使得m2 n2 2017的否定是A 任意m n Z 使得m2 n2 2017B 存在m n Z 使得m2 n2 2017C 任意m n Z 有m2 n2 2017D 以上都不对 答案 1 2 3 4 5 3 命题 任意x R x sinx 的否定是 存在x R x sinx 答案 解析 1 2 3 4 5 4 由命题 存在x R 使e x 1 m 0 是假命题 得m的取值范围是 a 则实数a的值是 1 解析其否定为 x R 使e x 1 m 0 且为真命题 m e x 1 只需m e x 1 min 1 故a 1 1 2 3 4 5 5 写出下列命题的否定 并判断其真假 1 p 任意x R x2 2x 2 0 解存在x R x2 2x 2 0 真命题 因为任意x R x2 2x 2 x 1 2 1 0恒成立 解答 2 p 所有的正方形都是菱形 解至少存在一个正方形不是菱形 假命题 因为所有的正方形都是菱形 1 2 3 4 5 3 p 至少有一个实数x 使x3 1 0 解任意x R x3 1 0 假命题 因为当x 1时 x3 1 0 解答 规律与方法 1 对含有全称量词的命题进行否定需