数学新学案同步课件选修北师大版：空间向量与立体几何33.1~3.2.ppt

3 1空间向量的标准正交分解与坐标表示3 2空间向量基本定理 第二章 3向量的坐标表示和空间向量基本定理 一 学习目标1 了解空间向量基本定理 2 了解基底 标准正交基的概念 3 掌握空间向量的坐标表示 能在适当的坐标系中写出向量的坐标 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一空间向量的坐标表示 空间向量的正交分解及其坐标表示 垂直 单位 p x y z i j k 知识点二空间向量基本定理 思考平面向量基本定理的内容是什么 答案如果e1 e2是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任一向量a 有且只有一对实数 1 2 使a 1e1 2e2 其中 不共线的e1 e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底 梳理 1 空间向量基本定理 2 基底条件 三个向量a b c 结论 叫作空间的一个基底 基向量 基底中的向量a b c都叫作基向量 不共面 任一 不共面 a b c p xa yb zc 思考辨析判断正误 1 空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示 2 若 a b c 为空间的一个基底 则a b c全不是零向量 3 如果向量a b与任何向量都不能构成空间的一个基底 则一定有a与b共线 4 任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底 题型探究 类型一基底的判断 答案 解析 答案 解析 2 设x a b y b c z c a 且 a b c 是空间的一个基底 给出下列向量 a b x b c z x y a b c 其中可以作为空间的基底的有A 1个B 2个C 3个D 0个 解析 均可以作为空间的基底 故选B 反思与感悟基底判断的基本思路及方法 1 基本思路 判断三个空间向量是否共面 若共面 则不能构成基底 若不共面 则能构成基底 2 方法 如果向量中存在零向量 则不能作为基底 如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示 则不能构成基底 假设a b c 运用空间向量基本定理 建立 的方程组 若有解 则共面 不能作为基底 若无解 则不共面 能作为基底 跟踪训练1 1 已知a b c是不共面的三个非零向量 则可以与向量p a b q a b构成基底的向量是A 2aB 2bC 2a 3bD 2a 5c 答案 2 以下四个命题中正确的是A 基底 a b c 中可以有零向量B 空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底 答案 D 空间向量的基底只能有一组 解析 解析使用排除法 因为零向量与任意两个非零向量都共面 故A不正确 空间基底可以有无数多组 故D不正确 类型二空间向量基本定理的应用 解答 反思与感悟用基底表示向量时 若基底确定 要充分利用向量加法 减法的三角形法则和平行四边形法则 以及向量数乘的运算律 若没给定基底 首先选择基底 选择时 要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量 再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求 解答 解答 类型三空间向量的坐标表示 例3 1 设 e1 e2 e3 是空间的一个单位正交基底 a 4e1 8e2 3e3 b 2e1 3e2 7e3 则a b的坐标分别为 4 8 3 2 3 7 答案 解析 解析由于 e1 e2 e3 是空间的一个单位正交基底 所以a 4 8 3 b 2 3 7 解答 2 已知a 3 4 5 e1 2 1 1 e2 1 1 1 e3 0 3 3 求a沿e1 e2 e3的正交分解 解因为a 3 4 5 e1 2 1 1 e2 1 1 1 e3 0 3 3 设a e1 e2 e3 即 3 4 5 2 3 3 反思与感悟用坐标表示空间向量的步骤 答案 解析 解析 OM 2MA 点M在OA上 解答 解因为PA AD AB 1 达标检测 答案 1 已知i j k分别是空间直角坐标系Oxyz中x轴 y轴 z轴的正方向上的单位向量 且A 1 1 1 B i j k C 1 1 1 D 不确定 1 2 3 4 5 解析 答案 1 2 3 4 5 2 在下列两个命题中 真命题是 若三个非零向量a b c不能构成空间的一个基底 则a b c共面 若a b是两个不共线向量 而c a b R且 0 则 a b c 构成空间的一个基底 A 仅 B 仅 C D 都不是 解析 为真命题 中 由题意得a b c共面 故 为假命题 故选A 解析 答案 解析 1 2 3 4 5 3 已知点A在基底 a b c 下的坐标为 8 6 4 其中a i j b j k c k i 则点A在基底 i j k 下的坐标是A 12 14 10 B 10 12 14 C 14 12 10 D 4 3 2 解析设点A在基底 a b c 下对应的向量为p 则p 8a 6b 4c 8i 8j 6j 6k 4k 4i 12i 14j 10k 故点A在基底 i j k 下的坐标为 12 14 10 答案 解析 1 2 3 4 5 4 若a e1 e2 e3 b e1 e2 e3 c e1 e2 e3 d e1 2e2 3e3 d a b c 则 的值分别为 解析 d e1 e2 e3 e1 e2 e3 e1 e2 e3 e1 e2 e3 e1 2e2 3e3 1 2 3 4 5 解答 1 2 3 4 5 解延长PG交CD于点N 则N为CD的中点 1 2 3 4 5 规律与方法 1 基底中不能有零向量 因零向量与任意一个非零向量都为共线向量 与任意两个非零向量都共面 所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量 2 空间几何体中 要得到有关点的坐标时 先建立适当的坐标系 一般选择两两垂直的三条线段所在直线为