江苏省南菁高级中学2009届高三考前模拟（数学）.doc

江苏省南菁高级中学2009届高三考前模拟（数学） 2009.6考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效 参考公式：锥体体积公式VSh其中S为底面积，h为高球的表面积、体积公式S4pR2，VpR3样本数据x1, x2,xn的标准差其中为样本平均数柱体体积公式VSh其中S为底面积，h为高一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。1、设集合A2，8，m，B2，3，若ABB，则m 开始x1,y1zxyz100xyyz输出2、(1i)4 3、双曲线x2y22的离心率为 4、某校有教师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从否女生中抽取的人数为80，则n 5、正方体的棱长为2，则其外接球（即正方体的八个顶点均是在球面上）的体积为 6、执行右边的程序框图，输出的结果为 7、关于x的方程x22kx3k10(kZ)在区间(0，3)内恰有w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 一个实根，则整数k 8、正方形ABCD中，AB4，在正方形内任取一点M，使AMD90的概率为 AB9、设zxy，其中变量x、y满足，则z的最大值为 10、如图所示，垂直于地平面竖立着一块半圆形的木板，某时刻太阳的光线恰与半圆的直径AB垂直，此时半圆木板在地面上的投影是半个椭圆面，已知半椭圆面的面积与半圆木板的面积之比等于，则光线与地面所成的角的大小为 (注：长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆面积为Spab) 11、等差数列an中，a760，公差为d，若使a1a2最小，则d ABCD12、已知f (x)，g (4x)3f (x)，两动点P、Q分别在函数f (x)、g (x)的图象上，则线段PQ的最大值与最小值之和为 13、如图，在四边形ABCD中，AC3，BD2，则()() 14、三位同学在研究函数f (x)(xR) 时，分别给出下面w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 三个结论：函数f (x)的值域为(1,1)；若x1x2，则一定有f (x1)f (x2)；若规定f1(x)f (x)，fn1(x)ffn(x)，则fn(x)对任意nN*恒成立。你认为上述三个结论中正确的命题序号是 （写出所有你认为正确的命题序号）二、解答题：本大题共6小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15、（本题满分14分）已知向量a(2cosq，cosx)，b(2sinq，sinx)，c(，1)。若ac，bc，求cos(qx)；设q，求函数f (x)a2ab的最大值及单调递增区间。16、（本题满分14分）如图PA平面ABCD，四边形ABCD是矩形，ABCDEFPE、F分别是AB，PD的中点 （）求证：AF平面PCE；（）若PAAD，求证：平面PEC平面PCD17、（本题满分14分）已知圆O的方程为x2y21，直线l1过点A(3，0)，且与圆O相切。（）求直线l1的方程；（）设圆O与x轴交与P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P ，直线QM交直线l2于点Q 。求证：以P Q 为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标。18、（本题满分16分）已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为1.8元/千克，每次购买配料需支付运费236元.每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下: 7天以内（含7天），无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付.高考资源网（）当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P是多少元？高考资源网（）设该厂x天购买一次配料，求该厂在这x天中用于配料的总费用y（元）关于x的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少?高考资源网19、（本题满分16分）已知点P在曲线C：y (x1)上，曲线C在点P的切线与函数ykx (k0)的图像交于点A，与x轴交于点B，设点P的横坐标为t，设A,B的横坐标分别为xA、xB，记f (t)xAxB（）求f (t)的解析式；（）设数列an满足a11，anf ()(n2)，则数列能否为等比数列？并求数列an的通项公式；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）在（）的条件下，当1k3时，证明不等式：a1a2an20、（本题满分16分）设函数fn(q )sinnq(1) ncosnq，0q，其中n为正整数.（）判断函数f1(q )、f3(q )的单调性，并就f1(q )的情形证明你的结论；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）证明：2f6(q )f4(q )(cos4q sin4q ) (cos2q sin2q )；（）对于任意给定的正整数n(n2)，求函数fn(q )的最大值和最小值.数学附加题姓名21、【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。A、选修41：几何证明选讲 如图，过平行四边形ABCD的顶点A、B、C作圆O1，分别交AD、BD于P、S，过S、C、D作圆O2，交AD于Q。求证：AC是圆O2的切线；若圆O1、圆O2的半径分别是7、5，求PQ：AD。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m B、选修42：矩阵与变换已知矩阵M，求M的特征向量和特征值；已知向量a，求M3aC、选修44：坐标系与参数方程在极坐标系中，动点P(r，q)运动时，r与cos2成反比，动点P的轨迹过点(1,0).（1）求动点P的轨迹的极坐标方程，并求当极角为时的极径；（2）将（1）中极坐标方程化为直角坐标方程，并指出轨迹是何种曲线. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m D、选修45：不等式选讲若不等式k对于任意正实数x，y成立，求k的取值范围。【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22、某中学要用三辆通勤车从新校区把教师接到老校区，已知从新校区到老校区有两条公路，汽车走公路堵车的概率为，不堵车的概率为；汽车走公路堵车的概率为p，不堵车的概率为1p。若甲、乙两辆汽车走公路，丙汽车由于其他原因走公路，且三辆车是否堵车相互之间没有影响。（I）若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为，求走公路堵车的概率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）在（I）的条件下，求三辆汽车中被堵车辆的个数x的分布列和数学期望。23、过点P（1，0）作曲线C：yxk(x(0,)，kN*，k1)的切线，切点为M1，设M1在x轴上的投影是点P1。又过点P1作曲线C的切线，切点为M2，设M2在x轴上的投影是点P2，。依此下去，得到一系列点M1，M2，Mn，设它们的横坐标a1，a2，an，构成数列为an。(a10) （1）求证数列an是等比数列，并求其通项公式； （2）求证：an1； （3）若k2，记bn，求b2009江苏省南菁高级中学09届高考数学模拟试题答案一、1、32、43、4、1925、36p6、7、18、9、610、11、1112、713、514、二、15、accosqcosx，即cosqcosx，bcsinqsinx4分平方相加得22（cosq cosxsinqsinx），cos（qx）7分f (x)4cos2qcos2x2sin2qsin2x（1cos2x）sin2x1 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m cos（2x）（9分）f (x) 的最大值为11分由2kpp2x2kp，得kpxkp，f (x)的单调递增区间为kp，kp（kZ）14分16、（1）证明：取PC中点M，连ME，MFFMCD，FMCD，AECD，AECDAEFN，且AEFM，即四边形AFME是平行四边形 4分AEEM，AF平面PCEAF平面PCE 7分（2）解：延长DA，CE交于N，连接PN，PA平面ABCD，PAAD，又PAADAPD45AECDADAN故PDPN 10分PA平面ABCD，PACD，又DACD，CD平面PAD CDPNPN平面PCD，12分PN平面PEC平面PEC平面PCD14分17、（1）直线l1过点A(3，0)，且与圆C：x2y21相切，设直线l1的方程为yk(x3)，即kxy3k0，2分则圆心O到直线l1的距离为d1，解得k，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 直线l1的方程为y(x3)5分（2）对于圆方程x2y21,令y0，得x1,即P(1,0)，Q(1,0)又直线l2过点A且与x轴垂直，直线l2方程为x3，设M(s,t)，则直线PM方程为y(x1) 解方程组,得P (3,) ,同理可得Q (3,) 10分以P Q 为直径的圆C 的方程为(x3)(x3)(y) (y )0， 又s2t21，整理得(x2y26x1)y0， 12分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 若圆C 经过定点，只需令y0，从而有x26x10，解得x32，圆C 总经过定点坐标为 (32,0) 14分18、（）当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用P700.03200（12）88(元) 4分 （）（1）当x7时y360x10x236370x236 5分（2）当 x7时y360x236706(x7)(x6)213x2321x4327分 y 8分 设该厂x天购买一次配料平均每天支付的费用为f(x)元f(x) 11分当x7时 f(x)为减函数，当且仅当x7时f(x)有最小值（元）当x7时f(x)3(x)321393 当且仅当x12时取等号393当x12时 f(x)有最小值393元 16分19、（）yy， 又点P的坐标为(t,)，曲线C在P点的切线斜率为，则该切线方程为y（xt），2分令y0得xB2t， 由得xA，xAxB w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 因此，f (t)的解析式为f (t)(t1) 5分（）当n2时，an，即 () 当k3时，首项为0，数列不成等比数列，此时an1；7分当k3时，数列为等比数列，此时an。9分又把n1代入得a11，综合、得an 10分() an1k30，0，即an12分a1a2an(a1)(a2)(an)8（1）8(1)881k30，故不等式a1a2an成立。16分20、（1）f1(q )、f3(q )在 0，上均为单调递增的函数. 2分 对于函数f1(q )sinq cosq，设q1q2，q1、q20，则 f1(q1 )f1(q2 )(sinq1 sinq2)(cosq2 cosq1)， sinq1sinq2cosq2cosq1， f1(q1 )f1(q2 )函数f1(q )在0，上单调递增.（也可用导数证） 4分（2）原式左边2(sin6q cos6q )(sin4q cos4q )2(sin2q cos2q ) (sin4q sin2q cos2qcos4q )(sin4q cos4q )(sin2q cos2q )2cos22q 6分 原式右边(sin2q cos2q )2cos22q. 2f6(q )f4(q )(cos4q sin4q ) (cos2q sin2q ) 8分（3）当n3时，函数f3(q )在0，上为单调递增，f3(q )的最大值为f3()0，最小值为f3(0)1. 当n4时，函数f4(q )1sin22q在0，上单调递减，f4(q )的最大值为f4(0 )1，最小值为f4(). 10分 下面讨论正整数n5的情形： 当n为奇数时，对任意q1、q20，且q1q2，fn(q1)fn(q2)(sin nq1sin nq2)(cos nq2 cos nq1)，以及0sinq1sinq21，0cosq2cosq11sin nq1sin nq2，cos nq2cos nq1，从而 fn(q1)fn(q2). fn(q )在 0，上为单调递增，则 fn(q )的最大值为fn()0，最小值为fn(0)1. 13分 当n为偶数时，一方面有fn(q )sin nqcos nqsin2q cos2q 1fn(0). 另一方面，由于对任意正整数l2，有2f2l (q )f2l2 (q )(cos2l2q sin2l2q ) (cos2q sin2q )0，fn(q )fn2(q ) f2(q )fn(). 函数fn(q )的最大值为fn(0)1，最小值为fn()2. 综上所述，当n为奇数时，函数fn(q )的最大值为0，最小值为1. 当n为偶数时，函数fn(q )的最大值为1，最小值为2.16分数学附加题21、A、连结CS、CQ，则ACSABSABCD，ABSCDS，故CDSACSAC是圆O2的切线（4分）由，同理可得CQ为圆O2的切线AC2AQAD，QC2PQAQ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （7分）在圆O1中，AC27sinABC，在圆O2中，QC25sinADC，又平行四边形ABCD，ABCADC，（10分）B、解：f (l)l22l8 f (l)0得l4或2l4时，得x2k，y5k（k0）。即M的一个特征向量为；l2时，同理得M的一个特征向量为；（6分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m M3a43（2）3（10分）C、（1）设r，1，k1，r，即r，这就是点P的轨迹的极坐标方程.3分当q时，r84 5分（2）r，rrcosq2，即r2rcosq，2x 8分y24(x1)，它表示以(1